Логика Скачать
презентацию
<<  Жизнь и логика Математическая логика  >>
Введение в математическую логику
Введение в математическую логику
Геометрия
Геометрия
Янош Бойяи
Янош Бойяи
Янош Бойяи
Янош Бойяи
Янош Бойяи
Янош Бойяи
Круг в определении
Круг в определении
Фото из презентации «Введение в логику» к уроку алгебры на тему «Логика»

Автор: Win7. Чтобы познакомиться с фотографией в полном размере, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все фотографии на уроке алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Введение в логику» со всеми фотографиями в zip-архиве размером 573 КБ.

Скачать презентацию

Введение в логику

содержание презентации «Введение в логику»
Сл Текст Эф Сл Текст Эф
1Введение в математическую логику и теорию1 13высказывания, то А – формула. Если Ф, ? – формулы, ? –11
алгоритмов Лекция 2. Алексей Львович Семенов. 1. связка: ? (конъюнкция), ? (дизъюнкция), ? (импликация),
01.11.2014. ? (эквивалентность), то ?Ф, (Ф ? ?) – формулы.
2План. Аксиомы теории множеств (повт.) Трудности с3 Индуктивное определение (построение) «Порочный круг»
полнотой Логика высказываний. Синтаксис и семантика. (цикл в определении – circulus in definiendo) –
3Аксиомы теории множеств (повт.). Существование8 определение понятия через его же само? 13. 01.11.2014.
множеств ?x ?y ? (y?x) [Аксиома пустого множества] ?u?v 14Круг в определении. «СЕПУЛЬКИ — важный элемент2
?s?w (w ? s ? (w = u ? w = v)) [Аксиома пары] Пример: цивилизации ардритов (см.) с планеты Энтеропия (см.).
{?} – непустое множество. Существование объединения См. СЕПУЛЬКАРИИ». «СЕПУЛЬКАРИИ — устройства для
множества: ?{{1,2,4},{4,5},{8,7,{9}}} = сепуления (см.)». «СЕПУЛЕНИЕ — занятие ардритов (см.) с
{1,2,4,5,8,7,{9}}. 3. 01.11.2014. планеты Энтеропия (см.). См. СЕПУЛЬКИ». Лем С.
4Построение натуральных чисел (повт.). Один из10 «Звёздные дневники Ийона Тихого. Путешествие
способов Построение каждого отдельного числа: 0 – это ? четырнадцатое.». 14. 01.11.2014.
1 – это {0} 2 – это {0,1} = {0,{0}} ……Операция S (x) = 15Синтаксис логики высказываний. Примеры формул: А2,12
x ? {x} Существование множества всех натуральных чисел (А1 ? А0), ?А1 ((А1 ? А0) ? ?А1), Как формула
– аксиома. Задача. Написать аксиому существования строилась: А1 А0 (А1 ? А0) А1 ?А1 ((А1 ? А0) ? ?А1)
натуральных чисел. 4. 01.11.2014. Задача. Как проверить, является ли слово формулой?
5Какие еще аксиомы нужны? (повт.). Существование5 Например, формулы ли: )))А0, ((А1?А2)) ? 15.
множества всех подмножеств данного множества: 01.11.2014.
?u?s?v(?w(w ? v ? w ? u) ? v ? s) [Аксиома степени] 16A. B. ?A. A?B. A?B. A?B. A?B. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 1.5
Множество всех подмножеств множества u можно 0. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1.
отождествлять с Bu. Что нужно для существования 1. 1. 1. Логика высказываний. Семантика. B = {0,1}.
множества действительных чисел? Что нужно для Семантика связок (таблица была):
доказательства свойств («аксиом») действительных чисел? 17Логика высказываний. Семантика. B N - множество6
5. 01.11.2014. бесконечных последовательностей из 0 и 1. Пояснение:
6Пределы расширения. Существует множество всех9 Выбор элемента ? = ?0, ?1, . . ., ?i … ?B N означает
объектов с данным свойством – Аксиома? Для каждого фиксацию значений имен высказываний А0, А1,…, Аi,… .
свойства Ф(x) добавить аксиому: ?s?v ( v ? s ? Ф(v )) Всякий элемент ? ?B N – интерпретация. Фиксируем
Можно рассмотреть только свойства, определяемые интерпретацию ?. Замечание. Нам удобно задавать
формулами. Формула Ф(x): ? (x?x) [Диагональ Рассела] значения сразу для всех имен высказываний. 17.
Задача. Может ли существовать требуемое s ? Можно 01.11.2014.
добавить: ?u?s?v (v ? s ? (v ? u ? Ф(v ))) [Аксиомы 18Логика высказываний. Семантика. Значение формулы12
выделения, для каждой Ф]. 6. 01.11.2014. при данной интерпретации ? ?B N . Вычисление индукцией
7Теорема Кантора. Неравномощность множества и11 по построению: Значением логической константы является
множества всех его подмножеств Д. Пусть f – функция, она сама. Значением имени высказывания Ai является ?i .
отображающая множество A на множество всех его Значением: - формулы (??) является отрицание значения
подмножеств. Будем писать f (x) = y вместо < x; y ?, т.е. Зн (??) = 1- Зн ?. - формулы (???), где
> ? f . Формула Ф(x) : ?y (f (x) = y ? ? (x?y)). ????,?,?, ?? является результат применения ? к
Аксиома выделения дает B ? A: ?x (x ? B ? (x ? A ? ?y значениям формул ?, ?. Значение формулы – функция BN ?
(f (x) = y ? ? (x?y)))). По предположению f (b) = B для B. Наибольший номер имени высказвания в формуле равен n
некоторого b ? A. b ? B ? (b ? A ? ?y (f (b) = y ? ? - 1. формула задает функцию B n ? B.
(b?y))). Для этих b, B левая часть эквивалентности 19Логика высказываний. Семантика. Нахождение значения5
истинна, а правая – нет (y должно совпадать с B…). Задача. Почему процесс заканчивается? Задача. Почему
Противоречие. 7. 01.11.2014. результат процесса однозначно определен? (однозначность
8Границы математики. Диагональ Рассела –7 анализа) Может ли быть, например: ? = (?1??1) =
противоречие. Диагональ Кантора – теорема. Множество (?2??2)? 19. 01.11.2014.
действительных чисел не равномощно множеству 20Булевы функции. - Функции Bn ? B. Формула задает5
натуральных. Существует ли бесконечное множество функцию Bn ? B. Задача. Сколько существует функций: Bn?
действительных чисел, не равномощное ни всему множеству B ? Задача. Всякую ли функцию можно задать подходящей
действительных чисел, ни множеству натуральных чисел? формулой? 20. 01.11.2014.
Кантор считал, что нет (Гипотеза Континуума) – 21Лишние скобки. Задача. Придумать разумные правила1
содержание Первой Проблемы Гильберта. Гедель доказал в опускания и восстановления скобок. 21. 01.11.2014.
1940 году, что Гипотезу Континуума нельзя опровергнуть: 22Семантика. Терминология и обозначения для формул9
она не приводит к противоречию (если теория множеств Обозначение: ?? ? – значение ? при интерпретации ?
без нее – не противоречива). Пол Коэн (02.04.1934 – равно 1. ? выполнена в (при) интерпретации ?.
23.03.2007) доказал в 1964 году, что Гипотезу Обозначение: ? ? – значение ? при любой интерпретации
Континуума нельзя доказать, если принять естественную равно 1 (? всегда истинно). Такие ? называются
систему аксиом о множествах. 8. 01.11.2014. тавтологиями. ? ложные (получающие значение 0) при
9Геометрия. Пятый постулат. Через точку, лежащую вне6 любой интерпретации называются противоречиями. ?, для
данной прямой, можно провести не более одной прямой, не которой существует интерпретация, в которой она
пересекающейся с данной. «И если прямая, падающая на истинна, называется выполнимой. 22. 01.11.2014.
две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, 23Семантика. Терминология и обозначения для множеств5
[в сумме]меньшие двух прямых, то продолженные формул Множество формул совместно, если существует
неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где интерпретация, при которой все его формулы истинны.
углы меньше двух прямых.» Попытки доказательства: Множество формул противоречиво, если не существует
привести к противоречию отрицание. Николай Иванович интерпретации, при которой все его формулы истинны.
Лобачевский (20.11.1792 — 12.02.1856) пришел к Пусть ? – множество формул. Обозначение: ?? ? – при
убеждению: если к геометрии Евклида добавить всякой интерпретации значение ? равно 1, если значение
утверждение о существовании нескольких прямых, всех формул из ? в той же интерпретации – это 1. ?
проведенных через одну точку и параллельных данной, то следует из ?. 23. 01.11.2014.
противоречия не возникнет, 1829 г. «О началах 24Примеры и применения. Распространенные способы8
геометрии» – «неэвклидова геометрия». 9. 01.11.2014. рассуждения. Пусть ?? (? ? ?) и ?? ?. Тогда ?? ?. Всюду
10Геометрия. Пятый постулат. Янош Бойяи (15.12.1802 —7 вычеркнем ? (то есть – «при всех ?» ) и запишем: ? ?, ?
27.01.1860) Результат был опубликован в книге его отца (? ? ?) -------------------------- – Modus ponens
в 1832 году. Отец Бойяи привлек внимание Карла Фридриха («правило вывода») ? ? То есть, если в каком-то
Гаусса (30.4.1777 — 23.02.1855) к этой публикации. рассуждении мы получили ? и ? ? ?, то можем получить ?.
Гаусс – давно знал! Доказательство утверждения 24. 01.11.2014.
Лобачевского получено Феликсом Клейном (25.4.1849 - 25Распространенные способы рассуждения. ??? 07
22.6.1925) в 1871 году. Принципиально выдвижение и ------------ – доказательство от противного ? ? ? ? ?
отстаивание гипотезы известным ученым – Лобачевским. ??? ? ? ? – контрапозиция (? ? ?), (?? ? ?) ? ? –
10. 01.11.2014. разбор случаев (? ? ?), (? ? ?) ? (? ? ?) –
11Математика. Программа Гильберта. Гипотеза2 доказательство эквивалентности. 25. 01.11.2014.
Континуума – не поправимый случай, а неизбежная 26Теорема компактности. О. Компактное пространство:4
ситуация Гедель: полная и не противоречивая математика Из любого покрытия открытыми можно выбрать конечное
невозможна. 11. 01.11.2014. подпокрытие. Т. Топология: Компактное пространство.
12Задачи нашего курса. Построить систему6 Семейство замкнутых множеств. Если всякое конечное
доказательств Построить систему аксиом теории множеств подсемейство имеет непустое пересечение, то и
Изучить полноту и непротиворечивость для построенной пересечение всех множеств семейства не пусто. Т.
системы или ее частей Будут рассмотрены произвольные Логика. Семейство формул. Если всякое конечное
системы доказательства, и еще более общие подсемейство выполнимо, то и все семейство выполнимо.
математические объекты – исчисления Вычислимость… В Задача. Доказать Теоремы компактности в топологии (для
наших рассмотрениях мы (как и других разделах множеств на прямой, например) и логике. 26. 01.11.2014.
математики) используем неформальную теорию множеств. 27Логика высказываний. Построение сложных4
12. 01.11.2014. высказываний из простых Для простых – существенна
13Логика высказываний. Первый из логических языков11 только их истинность. О чем высказывания – не
нашего курса. Последовательность имен высказываний А0, существенно и не видно. Значение сложного высказывания
А1, А2,… . Определение формулы (логики высказываний). определяется значением его частей. В конце концов –
Логические константы 0 и 1 – формулы. Если А – имя «атомных» высказываний.
27 «Введение в логику» | Введение в логику 171
http://900igr.net/fotografii/algebra/Vvedenie-v-logiku/Vvedenie-v-logiku.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

34 темы
Фото
Презентация: Введение в логику | Тема: Логика | Урок: Алгебра | Вид: Фото
900igr.net > Презентации по алгебре > Логика > Введение в логику