Статика Скачать
презентацию
<<  Задачи по статике Система сил  >>
Курс лекций по сопротивлению материалов
Курс лекций по сопротивлению материалов
Лекция 10 (продолжение – 10
Лекция 10 (продолжение – 10
Лекция 15 (продолжение – 15
Лекция 15 (продолжение – 15
Лекция 17 (продолжение – 17
Лекция 17 (продолжение – 17
Автор благодарит вас, уважаемые студенты, за то, что вы
Автор благодарит вас, уважаемые студенты, за то, что вы
Автор благодарит вас, уважаемые студенты, за то, что вы
Автор благодарит вас, уважаемые студенты, за то, что вы
Фото из презентации «Напряжение» к уроку физики на тему «Статика»

Автор: Бондаренко. Чтобы познакомиться с фотографией в полном размере, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все фотографии на уроке физики, скачайте бесплатно презентацию «Напряжение» со всеми фотографиями в zip-архиве размером 1648 КБ.

Скачать презентацию

Напряжение

содержание презентации «Напряжение»
Сл Текст Эф Сл Текст Эф
1Курс лекций по сопротивлению материалов. Часть 1.2.1 17криволинейное очертание, то для получения рационального4
Бондаренко А.Н. Москва - 2007. Электронный учебный курс сечения размеры, например высота или толщина полок,
написан на основе лекций, читавшихся автором для должны непрерывно изменяться. Из технологических
студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ соображений вместо этого используют ступенчатое
в ХабИИЖТе, СГУПСе и МИИТе (1965-2006 гг.). Учебный изменение толщины, достигаемое приваркой или
материал соответствует календарным планам в объеме двух приклепыванием дополнительных горизонтальных листов: На
семестров. Для полной реализации анимационных эффектов рисунке изображена, так называемая, эпюра материалов,
при презентации необходимо использовать средство ординаты которой равны произведению момента
просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в сопротивления поперечного сечения на допускаемое
Microsoft Office операционной системы Windows-ХР напряжение: 15.
Professional. Запуск презентации – F5, навигация – 18Лекция 14. ?zy. Прямой поперечный изгиб – в57
Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки. поперечном сечении балки, кроме изгибающего момента,
Завершение – Esc. Замечания и предложения можно послать действует также поперечная сила. При прямом поперечном
по e-mail: bond@miit.ru . Московский государственный изгибе изгибающий момент действует в плоскости,
университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра строительной совпадающей с одной из главных плоскостей инерции
механики Научно-технический центр транспортных поперечного сечения балки. Поперечная сила при этом
технологий. обычно параллельна плоскости действия изгибающего
2Содержание. Лекция 9. Краткие сведения о0 момента. ? Касательные напряжения при поперечном изгибе
напряженном и деформированном состояниях в точке. Виды - В общем случае при поперечном изгибе балок
напряженных состояний. Анализ плоского напряженного произвольного профиля могут возникать две компоненты
состояния. Напряжения на наклонных площадках. Лекция полного касательного напряжения в сечении. Компонента
10. Главные напряжения и положения главных площадок. ?zx для такого сечения не может быть найдена методами
Максимальные касательные напряжения. Понятие о круге сопротивления материалов. Касательные напряжения ?zy,
Мора для напряжений. Главные деформации. Лекция 11. возникающие в поперечном сечении, связаны с поперечной
Геометрические характеристики поперечных сечений. силой, действующей в этом сечении бруса, интегральной
Статические моменты. Определение координат центра зависимостью: Qy. Mx. Выделим малый элемент двумя
тяжести поперечного сечения. Осевой, центробежный и нормальными к оси бруса и заменим действие отброшенных
полярный моменты инерции. Моменты инерции простейших частей нормальными напряжениями и касательными
фигур. Зависимость между моментами инерции при напряжениями. Под их действием элемент находится в
параллельном переносе осей. Лекция 12. Зависимость равновесии. При действии поперечной силы изгибающий
между моментами инерции при повороте осей. Главные оси момент в сечении, отстоящем на расстоянии dz от другого
и главные моменты инерции. Понятие о радиусе инерции. сечения, имеет приращение dMx. ?zy. ?z. ?zy. ?z+d?z.
Лекция 13. Изгиб балок. Основные допущения. Нормальные ?z. Aотс. Согласно зависимости нормальные напряжения
напряжения при чистом изгибе. Момент сопротивления при также получают приращения: A1. ?yz. z. Отсечем от
изгибе. Условие прочности по нормальным напряжениям. рассматриваемого элемента некоторую ее часть
Понятие рационального сечения при изгибе. Лекция 14. горизонтальной плоскостью и заменим ее действие
Вывод формулы касательных напряжений при поперечном касательными напряжениями (нормальные напряжения в
изгибе. Распределение касательных напряжений для соответствии с гипотезой об отсутствии сдавливания
некоторых типов поперечных сечений. Условие прочности продольных волокон не рассматриваются). Оставшийся
на сдвиг. Понятие центра изгиба. Лекция 15. Расчеты на элемент по-прежнему находится в равновесии. Уравнение
прочность по касательным напряжениям и усилиям сдвига. равновесия в проекции на ось z: Или. Здесь Aотс –
Составные балки (клееные, сварные и заклепочные площадь отсеченной части поперечного сечения, A1 –
соединения). Анализ напряженного состояния при изгибе. площадь горизонтального сечения элемента, равная bdz.
Изгиб стержня в упруго-пластической стадии. Лекция 16. Перенесем первый интеграл в правую часть и подставим в
Понятие о чистом сдвиге. Закон Гука при сдвиге. Связь него выражение для нормальных напряжений: Приращение
между модулями упругости при растяжении и сдвиге. изгибающего момента и осевой момент инерции сечения не
Кручение стержней круглого поперечного сечения. зависят от площади отсеченной части и их можно вынести
Напряжения и перемещения. Анализ напряженного за знак интеграла. Оставшееся подинтегральное выражение
состояния. Лекция 17. Статически неопределимые задачи совпадает с выражением для статического момента площади
при кручении. Основные результаты теории кручения отсеченной части поперечного сечения: Полагая
стержней прямоугольного сечения. Рекомендуемая касательные напряжения постоянными по площади A1, что
литература 1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин соответствует предположению постоянства деформаций
Б.П. Сопротивление материалов для вузов. М.: Высшая сдвига по ширине поперечного сечения, учитывая закон
школа. 1995, 2001 г. 560 с. 2. Сборник задач по парности касательных перемещений и дифференциальную
сопротивлению материалов под ред. Александрова А.В., зависимость поперечной силы, получаем: Или. 16.
М.: Стройиздат. 1977г. 335 с. 3. Методические указания Поскольку закон изменения касательных напряжений по
к выполнению расчетно-графических работ. Изд. МИИТ. 4. сечению неизвестен, то из этого уравнения найти
Лабораторные работы по сопротивлению материалов касательные напряжения для известной поперечной силы
(Методические указания под ред. Александрова А.В., нельзя. Формула Журавского.
часть 1, МИИТ, 1974 г.). 19Лекция 14 (продолжение – 14.2). Распределение36
3Лекция 9. Напряженное состояние в точке - При22 касательных напряжений по высоте сечения – Из формулы
анализе напряжений в окрестности рассматриваемой точки Журавского следует, что касательные напряжения в
выделяется бесконечно малый объемный элемент волокнах поперечного сечении, расположенных на
(параллелепипед со сторонами dx, dy, dz), по каждой некотором расстоянии от оси, зависят от величины
грани которого действуют, в общем случае, три статического момента площади отсеченной части и ширины
напряжения, например, для грани, перпендикулярной оси x сечения на высоте секущей плоскости: Построим эпюры
(площадка x) – ?x, ?xy, ?xz . Этот элемент можно по касательных напряжений для некоторых простых сечений:
разному ориентировать в пространстве. При поворотах Прямоугольное сечение. Проведем горизонтальное сечение
элемента нормальные и касательные напряжения на его на высоте y и вычислим статический момент отсеченной
наклонных гранях будут принимать новые значения. части: y. Aотс. yo. y. Подставим в формулу Журавского
Представляет интерес исследовать, как изменяются эти выражения для статического момента и момента инерции:
напряжения от изменения ориентации элемента. Это x. h. Полученная зависимость является квадратичной от
позволит найти наклонные площадки, по которым координаты рассматриваемого слоя. Таким образом,
напряжения принимают максимальные и нулевые значения. касательные напряжения по высоте сечения изменяются по
Рассмотрим эту проблему вначале для более простого квадратной параболе: y = ? h/2, ?zy = 0; y = 0, ?zy =
случая – плоского напряженного состояния. Плоское ?zymax =3Qy/(2bh) =1,5 ?zyср. Можно убедиться, что
напряженное состояние – такое состояние, при котором объем эпюры напряжений ?zy(y)?b/Qy равен 1, что
две параллельные грани элемента свободны от напряжений, означает выполнение равенства . Сечение имеет
т.е. на них отсутствуют и нормальные и касательные ступенчатое изменение ширины и поэтому следует
напряжения. Такое напряженное состояние возникает в рассматривать отдельно два участка изменения
тонких пластинах, поверхности которых свободны от координаты: 0 < y1< h/2 – стенка и h/2 <
нагрузок, на незагруженной поверхности тел, при изгибе y2< H/2 – полка. ? Толстостенный двутавр. Для
балок, кручении валов. Ниже будет показано, в этом стенки: y2. y1. Для полки: На обоих участках
случае напряжения ?zx и ?zу также должны отсутствовать. соблюдается квадратичная зависимость от координаты
Пусть, например, по площадкам z напряжения отсутствуют: волокна. В местах резкого изменения ширины сечения в
Теперь элемент можно представить в виде его проекции на соответствии с формулой Журавского эпюра имеет скачки:
плоскость x, y. На рисунке показаны положительные 17.
направления напряжений, соответствующие правилам: 20Лекция 14 (продолжение – 14.3). ?zx. ?zx. ?zy. ?zx.69
положительные нормальные напряжения направлены в Тонкостенное сечение – Эпюра вертикальных касательных
сторону внешней нормали соответствующей грани, т.е. они напряжений ?zy строится аналогично рассмотренному ранее
вызывают деформацию растяжения элемента. 2. для толстостенного двутавра. F. В полках возникают
положительные касательные напряжения вращают элемент по горизонтальные касательные напряжения ?zx , которые
часовой стрелке (при взгляде навстречу оси z). dy. dx. могут быть определены по формуле Журавского, при этом
A. В общем случае, напряжения в деформированном статический момент площади, отсекаемой вертикальной
состоянии меняются от точки к точке, т.е. являются плоскостью на расстоянии x1, вычисляется по-прежнему
функциями координат. Здесь при рассмотрении бесконечно относительно оси x: Это следует из того факта, что при
малого элемента можно считать, что напряженное сечении вертикальной плоскостью в продольном сечении
состояние однородное и напряжения по каждой из граней возникают касательные напряжения ?xz , равные
постоянные и на параллельных гранях элемента равны касательным напряжениям ?zx в поперечном сечении на
между собой. Выделенный элемент должен находиться в расстоянии x1. Далее, следуя процедуре вывода формулы
равновесии и удовлетворять уравнениям равновесия для Журавского, приходим к той же формуле. x1. z0. d. A. В
произвольной плоской системы сил – равнодействующих по отличие от предыдущего (определение вертикальных
каждой из граней приложенных напряжений: Суммы проекций касательных напряжений) теперь статический момент
на координатные оси тождественно равны нулю. Составим отсеченной части изменяется по линейному закону: Отсюда
сумму моментов относительно левого нижнего угла: рассматриваемые горизонтальные касательные напряжения
Получен закон парности касательных напряжений: изменяются также по линейному закону: Максимальные
Касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных касательные напряжения: В случае изгиба одновременно в
площадках равны друг другу по величине и противоположны двух плоскостях касательные напряжения получаются как
по знаку. Таким образом, показанные направления алгебраическая сумма: Первый интеграл равен площади
касательных напряжений на рисунке, посвященном правилам эпюры касательных напряжений ?zx, умноженной на толщину
знаков, не соответствуют равновесному состоянию полки: Условие прочности на срез: где Rср – расчетное
элемента. Возможные, правильные направления касательных сопротивление материала на срез. Условие прочности –
напряжений: 1. Эпюры распределения касательных напряжений показывают,
4Лекция 9 (продолжение – 9.2). ?? Напряжения по66 что максимальные касательные напряжения возникают на
наклонным площадкам - Для определения напряжений по уровне нейтрального слоя, где нормальные напряжения от
наклонной площадке, внешняя нормаль которой повернута изгибающего момента равны нулю. Тогда прочность балки
на угол ? от оси x, используем метод сечений: 1. проверяется по срез. Таким образом, крутящий момент
Проведем наклонное сечение, 2. Отбросим правую часть, равен: Приведение системы касательных напряжений к
n. ? 3. Заменим отброшенную часть внутренними усилиями, равнодействующей дает: Понятие о центре изгиба –
которые представим в виде компонент напряжений - Направления касательных напряжений по сечению
нормального и касательного (все напряжения показаны тонкостенных балок показывают, что в поперечном сечении
положительными), ?? dy. t. 4. Составим уравнения возникает крутящий момент относительно центра
равновесия для равнодействующих напряжений в проекциях приведения, совпадающим с центральной осью балки, т.е.
на нормаль к наклонному сечению и ось, касательную к система внутренних сил (касательных напряжений) в
сечению: ? dz. dy.tg? После деления уравнений на dydz, сечении приводится к главному вектору и главному
умножения на cos?, подстановки закона парности моменту. Это означает, что кроме сдвига в плоскости
касательных напряжений и переноса в правую часть действия поперечной нагрузки сечение подвергается
получим: Или используя известные тригонометрические деформации кручения, хотя поперечная нагрузка находится
формулы двойного угла: Получены формулы для определения в главной плоскости инерции. Полученный центр
напряжений в любых площадках, проходящих через данную приведения определяет положение равнодействующей
точку, если известны напряжения ?x, ?y и ?yx = - ?xy. касательных напряжений и называется центром изгиба. Для
Определим, каковы будут напряжения на площадке, рассмотренного сечения он находится вне контура
перпендикулярной к рассмотренной наклонной площадке: Из сечения. При прохождении поперечной силы через центр
сравнения выражений для касательных напряжений вновь изгиба кручение сечения не возникает. Для
получаем закон парности касательных напряжений: ?? +900 предотвращения кручения необходимо сместить плоскость
= - ??. Складывая выражения для нормальных напряжений действия поперечной нагрузки таким образом, чтобы
получаем закон постоянства суммы нормальных напряжений появившийся крутящий момент уравновесил момент от
в любых взаимно перпендикулярных площадках: Из касательных напряжений, равный: = Tx. = Qy. Последний
постоянства суммы нормальных напряжений следует, что интеграл равен поперечной силе Qy. 18.
при повороте этих площадок приращения (изменения) 21Лекция 15. ?zymax,1. Aотс. ?zymax. Опасным сечением46
нормальных напряжений равны и противоположны по знаку: для углового сварного шва является сечение, проходящее
Соответственно, если на одной из площадок нормальные по биссектрисе прямого угла, соответствующее наименьшей
напряжения достигает максимума, то на второй площадке площади среза шва. За расчетное сечение принимается Aш
они приходят к минимуму. 2. = bш? lш =hш?cos450?lш, где lш - длина шва (сегментная
5Лекция 10. Главные напряжения - При расчете19 часть площади поперечного сечения шва отбрасывается,
конструкций на прочность необходимо определить величину как область, в которой не обеспечивается качество шва).
максимальных напряжений. Максимальные и минимальные В общем случае принимается Aш = hш???lш, где ? -
нормальные напряжения называются главными напряжениями, коэффициент формы углового шва, зависящий от вида
а площадки, по которым они действуют – главными сварки (для авто- и полуавтоматической многопроходной
площадками. Для определения положения главных площадок сварки ? =0,7). Aотс. Aотс. Расчеты на прочность по
достаточно положить нулю первую производную нормальных касательным напряжениям и усилиям сдвига – Составные
напряжений по углу наклона: Поскольку тангенс имеет изгибаемые элементы собираются на основе клеевых,
одинаковые значения для углов, отличающихся друг от сварных, заклепочных и болтовых соединений, позволяющих
друга на 1800, полученное выражение определяет две создать рациональные сечения. Эти соединения
площадки, отличающиеся друг от друга на 900. Таким непосредственно воспринимают касательные усилия
образом, обе главные площадки взаимно перпендикулярны. (напряжения). ? Клеевые соединения – рассчитываются на
Заметим, что производная нормальных напряжений в сопротивление сдвигу составных частей. y. Где rкл –
наклонной площадке по углу наклона оказывается равной расчетное сопротивление клея на срез. Условие
удвоенной величине касательных напряжений по этой прочности: x. Кроме того должна быть обеспечена
площадке: Таким образом, на главных площадках прочность на срез основного материала по наибольшим
касательные напряжения обращаются в нуль. Для касательным напряжениям на уровне нейтрального слоя: ?
определения величины максимальных и минимальных Где rср – расчетное сопротивление материала на срез.
нормальных напряжений надо найти значения угла через Если материал дерево, прочность которого на скалывание
arctg(…) и подставить в исходное выражение для ниже чем на срез поперек волокон, то берется расчетное
нормальных напряжений, но проще непосредственно сопротивление на скалывание, поскольку ?zx = ?yz по
использовать следующие тригонометрические формулы: закону парности касательных напряжений. ? Сварные
Подстановка этих тригонометрических функций в формулу соединения – рассчитываются на прочность сварного шва,
нормальных напряжений дает для одной из главных воспринимающего продольное сдвигающее усилие. При
площадок: Поскольку угол для другой главной площадки расчете на смятие следует полагать, что сдвигающая
отличается от первой на 900, то синус и косинус сила, как равнодействующая касательных напряжений в
двойного угла изменят знак на противоположный, что плоскости сдвига, вычисленная как для сплошного
приведет к изменению знака второго слагаемого : Таким сечения, вызывает смятие боковой поверхности заклепок.
образом, по двум главным площадкам действуют главные Расчетной площадью смятия является наименьшая из
напряжения: 3. площадей, образованной сечением диаметральной
6Лекция 10 (продолжение – 10.2). Максимальные42 плоскостью тела заклепки. В данном случае Aсм = dз?б,
касательные напряжения - Существуют площадки, в которых где б – толщина стенки. Условие прочности на смятие,
касательные напряжения достигают максимальных значений. подобное условию прочности на срез, принимает вид:
Для определения их положения достаточно положить нулю Касательные напряжения, возникающие в расчетном сечении
первую производную касательных напряжений по углу шва, не должны превышать расчетного сопротивления на
наклона: Поскольку тангенс имеет одинаковые значения срез материала шва: Отсюда можно определить требуемую
для углов, отличающихся друг от друга на 1800, высоту шва: ? Заклепочные и болтовые соединения –
полученное выражение определяет две площадки, рассчитываются на срез и смятие заклепок (болтов),
отличающиеся друг от друга на 900. Таким образом, обе воспринимающих продольное сдвигающее усилие. Пусть шаг
площадки взаимно перпендикулярны. Хотя в этих площадках заклепок, соединяющих стенку и полку с уголками
в общем случае нормальные напряжения на обращаются в одинаков. В этом случае, в более тяжелых условиях
ноль, площадки, в которых касательные напряжения работают заклепки на стенке балки, поскольку
максимальные, называют площадками сдвига. Определим статический момент отсеченной части для них больше, чем
угол между площадкой сдвига и главной площадкой. для заклепок на полке. ? Касательные напряжения,
Сравним формулы для углов наклона главных площадок и возникающие в поперечном сечении заклепки, не должны
площадок сдвига: Поскольку правые части обратные друг превышать расчетного сопротивления на срез материала
другу, то. Таким образом, площадки сдвига повернуты заклепки (a – шаг заклепок, dз – диаметр поперечного
относительно главных площадок на угол 450. Для сечения заклепки): Отсюда можно определить требуемый
определения величины максимальных касательных шаг заклепок по смятию. Окончательно принимается
напряжений надо найти значения угла через arctg(…) и наименьший шаг из определенных по условиям среза и
подставить в исходное выражение для касательных смятия. Отсюда можно определить требуемый шаг заклепок:
напряжений, но проще принять в качестве исходного 19. 2 – количество швов узла. 2 – количество срезов
состояния главные площадки и перейти к площадкам заклепки.
сдвига: При подстановке угла 1350 или -450 (вторая 22Лекция 15 (продолжение – 15.2). Анализ напряженного56
площадка сдвига) получим тот же результат, но с состояния при изгибе – Ранее были получены и
обратным знаком. Таким образом, вновь соблюдается закон рассмотрены выражения для нормальных и касательных
парности касательных и в общем случае можно записать: напряжений, возникающих при изгибе. При расчетах на
Подставим выражения для главных напряжений: Понятие о прочность должны быть определены те сечения и те
круге Мора для напряжений- Существуют графический волокна, в которых эти напряжения достигают
способ определения положений главных площадок и максимальных значений. И это разные сечения и разные
напряжений, а также напряжений по любым другим волокна. Например, при поперечном изгибе двухопорной
площадкам. Способ основан на том, что зависимость между балки максимальный изгибающий момент возникает в
нормальными и касательными напряжениями описывается середине пролета, а максимальная поперечная сила – в
уравнением II порядка, а именно уравнением окружности: опорных сечениях. При этом максимальные нормальные
Возведем в квадрат обе части уравнений для напряжений и напряжения возникают в наиболее удаленных волокнах, а
сложим: = 1. = 1. = 0. 4. максимальные касательные напряжения – на нейтральной
7Лекция 10 (продолжение – 10.3). ? ? ? max. ? ? ?97 оси. y. В элементе балки, находящейся в некотором
yx. ? xy. ? min. Таким образом, прямая CM, соединяющая сечении, в котором одновременно действуют достаточно
изображающую точку M с полюсом C, показывает большие изгибающий момент и поперечная сила, на
направление наклонной площадки, по которой действуют произвольном расстоянии от нейтральной оси, возникают
напряжения ?? ,? ? . Построение круга Мора и его одновременно нормальные и касательные напряжения.
использование - Из сравнения уравнений координаты Главные напряжения в этом элементе и тангенс угла
центра круга Мора и радиус равны: Построим круг Мора наклона главных площадок определяются выражениями: При
для напряженного состояния: M. Точка пересечения поперечном плоском изгибе ?x = ?z = ?, ?y = 0, ?yx =
направлений площадок с окружностью (точка C) называется ?yz = ?: получаем: Поскольку эпюры касательных
полюсом для данного исходного состояния, и определяет напряжений имеют скачки в местах резкого изменения
направление любой наклонной площадки, напряженное ширины поперечного сечения (двутавр, швеллер), то это
состояние в которой изображается точкой круга Мора, найдет свое отражение на эпюрах главных напряжений.
например, точкой M: B. ?? O. ?? ?min. ? Вычислим Определив величины главных напряжений для ряда точек
тангенс угла наклона площадки, соответствующей точке M, данного сечения на различном расстоянии от нейтральной
к площадке x : ?y. Напряженное состояние по площадке x оси, можно построить эпюры главных напряжений:
характеризуется точкой A на круге напряжений. С. A. Наглядное представление о потоке внутренних сил в теле
?max. Напряженное состояние по площадке y (стенке) балки могут дать траектории главных напряжений
характеризуется точкой B на круге напряжений. ?x. С – линии, в каждой точке которого касательная совпадает
помощью круга Мора легко определяются главные с направлением главного напряжения в этой точке. На
напряжения и направления главных площадок, рисунке показаны траектории растягивающих главных
Экстремальные касательные напряжения и направления напряжений. Они пересекают нейтральную ось под углом
площадок сдвига. 5. 450. При армировании бетона стальными стержнями
8Лекция 10 (продолжение – 10.4). Главные деформации8 учитывается характер этих траекторий, т.к. бетон плохо
- Подобно тому, как определялись напряжения на сопротивляется растяжению: Траектории сжимающих главных
наклонных площадках, могут быть определены деформации. напряжений учитываются при постановке ребер жесткости
Выражения деформаций в новой системе координат, для предотвращения выпучивания тонких стенок,
повернутой относительно начальной на некоторый угол, вследствие наличия сжатых областей в стенке. Анализ
аналогичны выражениям для напряжений. Достаточно напряженного состояния при изгибе балки показывает, что
подставить вместо нормальных напряжений линейные необходимо проверять условия прочности по нормальным
деформации, а вместо касательных напряжений – половины напряжениям в крайних волокнах сечений с максимальной
углов сдвига: Так же, как и для напряжений, существуют величиной изгибающего момента ( в середине пролета), по
такие площадки, для которых отсутствуют углы сдвига, а касательным напряжениям – на нейтральной оси опорных
линейные деформации принимают максимальные значения. сечений и по главным напряжениям – в точках соединения
Эти площадки и линейные деформации называются главными. стенки и полки сечений, в которых действуют изгибающий
Для их определения используются формулы, аналогичные момент и поперечная сила. 20.
полученным для напряжений: С помощью круга Мора, 23Лекция 15 (продолжение – 15.3). Изгиб стержня в27
построенного для деформаций легко определяются главные упругопластической стадии – Рассмотренные ранее условия
деформации и направления главных площадок. Лучше не прочности основываются на сравнении максимальных
пользоваться таким шнуром. Думай, студент. 6. напряжений с расчетным сопротивлением в предположении
9Лекция 11. Геометрические характеристики поперечных51 упругой работы материала. Для хрупких материалов за
сечений - Величина нормальных напряжений в поперечном расчетное сопротивление принимается величина, связанная
сечении растянутого (сжатого) стержня зависит от с пределом прочности, для пластичных – с пределом
площади этого сечения. Таким образом, площадь текучести. Для хрупких материалов возникновение
поперечного сечения является геометрической максимальных напряжений, больших расчетного
характеристикой, определяющей напряжение при растяжении сопротивления, действительно означает исчерпание
(сжатии). В случае других видов несущей способности рассматриваемого сечения и балки в
напряженно-деформируемого состояния (изгиб, кручение) целом. ? Это не так для материалов, имеющих стадию
напряжения зависят не от площади, а от некоторых других текучести. Можно заметить, что в случае изгиба при
геометрических характеристик поперечного сечения. достижении напряжениями в крайних волокнах предельных
Иерархия геометрических характеристик устанавливается значений, волокна, находящиеся ближе к нейтральной оси,
видом подинтегрального выражения и представляется испытывают меньшие, вплоть до нуля, напряжения. Для
следующей: Площадь поперечного сечения: yC. Статические этих материалов, возникновение напряжений, равных
моменты площади поперечного сечения: Статические пределу текучести, не является предельным состоянием,
моменты используются при определении положения центра поскольку другие волокна еще остаются упругими и могут
тяжести: Определение координат центра тяжести. Методы воспринимать увеличение нагрузки. При увеличении
определения положения центра тяжести плоских фигур нагрузки зона текучести начинает увеличиваться,
рассматривались в курсе теоретической механики, продвигаясь к нейтральной оси. Исчерпание несущей
например, метод разбиения: xC. Здесь xi, yi – способности сечения произойдет в момент, когда зона
координаты центров тяжести простых фигур, для которых текучести распространится вплоть до нейтральной оси и
они известны или легко находятся. Напомним процедуру материал по всему сечению будет деформироваться при
определения положения центра тяжести: 1. выбрать постоянной нагрузке. Состояние сечения, когда во всех
произвольную (начальную) систему координат x, y; 2. его точках развиваются пластические деформации,
разбить заданную фигуру на более простые фигуры. 3. называют пластическим шарниром. При возникновении
вычислить статические моменты и использовать формулы пластического шарнира балка не может остаться в
координат центра тяжести. Оси, проходящие через центр равновесии и превращается в механизм: F. При
тяжести фигуры, называются центральными. Можно образовании пластического шарнира нулевая линия
показать, что относительно центральных осей статические занимает положение, разделяющее сечение на две
моменты обращаются в ноль. Пример 1 – Определить равновеликие части. Это следует из равенства нулю
положение центра тяжести уголкового поперечного суммарного продольного усилия: Развившийся пластический
сечения. 1. Выбираем систему координат x, y с началом в шарнир не является идеальным (совершает работу при
нижнем левом углу сечения. 2. Разбиваем фигуру на два взаимном повороте смежных сечений, т.е. оказывает
прямоугольника, вычисляем площади и координаты центров определенное сопротивление). Момент сопротивления
тяжести каждого: C. 3. Вычисляем статические моменты и повороту смежных сечений можно определить приведением
координаты центра тяжести всего сечения: O. 7. 1. 2. напряжений относительно любой оси, например,
10Лекция 11 (продолжение – 11.2). y. dy. Моменты37 центральной (равнодействующие сжимающих и растягивающих
инерции площади поперечного сечения: Центробежный напряжений образуют пару): Выражение в скобках можно
момент инерции площади. Осевые моменты инерции площади, рассматривать как пластический момент сопротивления,
y. ? Полярный момент инерции площади. x. dx. x. O. проводя аналогию с моментом сопротивления сечения в
Моменты инерции площади используются при определении упругой стадии: Пластический момент сопротивления
напряжений при изгибе и кручении. Можно показать, что всегда больше момента сопротивления сечения в упругой
центробежный момент инерции относительно осей, одна из стадии. Например, для прямоугольного сечения: Таким
которых совпадает с осью симметрии, равен нулю. В самом образом, пластический момент сопротивления
деле, в этом случае элементарной площадке dA с прямоугольного сечения в 1,5 раза больше упругого, и
координатами x, y всегда будет соответствовать такая же это означает, что нагрузка может быть увеличена в 1,5
площадка координатами –x, y или x, -y. Суммирование раза с момента возникновения текучести до полного
(интегрирование) произведений xydA даст нуль. Далее исчерпания ею несущей способности. 21.
будет показано, что для любой, в том числе 24Лекция 16. ?yz. До напряжения ?пц , называемого40
несимметричной, фигуры можно найти такое положение пределом пропорциональности при сдвиге справедлива
осей, при котором центробежный момент обращается в линейная зависимость (закон Гука при сдвиге): Здесь ? -
нуль. Полярный момент инерции не зависит ориентации относительный сдвиг: G – модуль сдвига. Удлинение
координатных осей x, y и всегда равен сумме осевых диагонали элемента вследствие деформации растяжения (?1
моментов инерции: Моменты инерции площади простейших = ? , ?2 = -? ): Понятие о чистом сдвиге – Кроме
сечений: Прямоугольник. ? Треугольник. Элементарная деформации растяжения или сжатия материал нагруженного
площадка имеет переменную ширину и зависит от ее элемента конструкции может испытывать деформацию
координаты по оси y: Известно, что центр тяжести сдвига. Примером этому может служить
прямоугольника находится на пересечении осей симметрии напряженно-деформированное состояние элемента стенки
(xC = b/2, yC = h/2). Для вычисления моментов инерции балки в произвольном сечении, рассмотренное в
относительно центральных осей достаточно считать, что предыдущей лекции. Там же было показано, что в опорных
координата y измеряется от центральной оси xC и сечениях на нейтральной оси на гранях элемента
изменить пределы интегрирования: Момент инерции отсутствуют нормальные напряжения, а касательные
относительно центральной оси xC : Аналогично получим напряжения максимальны. Другим примером, можно сказать
для других осей: Центробежный момент инерции (по классическим, является кручение тонкостенной трубы, при
симметрии): Момент инерции относительно центральной оси котором любой элемент находится только под действием
yC : Полярный момент инерции: 8. касательных напряжений. Напряженно-деформированное
11Лекция 11 (продолжение – 11.3). Круглое сечение:40 состояние, характеризуемое тем, что на гранях элемента
Вычислим вначале полярный момент инерции: Моменты возникают только касательные напряжения, называют
инерции площади составных сечений вычисляются , так же чистым сдвигом. Закон Гука сдвиге – Деформации чистого
как и при вычислении координат центра тяжести, методом сдвига экспериментально изучаются путем кручения
разбиения на простые фигуры, для которых известны или трубчатых образцов. Экспериментальная диаграмма сдвига,
легко вычисляются координаты центров тяжести и моменты связывающая напряжения и угол сдвига, для пластичной
инерции. Например, момент инерции кольцевого сечения стали имеет такой же характер изменения, как и
может быть вычислен как разность моментов инерции диаграмма растяжения: y. Касательное напряжение, при
круглого сплошного сечения радиуса R и такого же котором угол сдвига возрастает при постоянном
сечения, но радиуса r. Заметим, что при сложении напряжении называется пределом текучести при сдвиге. ?
моментов инерции по каждой из координатных осей для Связь между модулем сдвига и модулем упругости при
каждой из фигур моменты инерции должны вычисляться растяжении – Модуль сдвига и модуль упругости при
относительно осей, являющихся общими для растяжении являются физическими постоянными материала,
рассматриваемого сечения и всех составляющих фигур. характеризующими жесткость в каждом из этих двух видов
Отсюда следует необходимость располагать формулами, деформации. Поскольку удлинение диагонали элемента,
позволяющими переходить от одних осей к другим. y. d? вызванное сдвигом, может быть получено также
R. Моменты инерции относительно центральных осей с растяжением этого волокна под действием нормальных
учетом симметрии: ? x. В технике часто используют напряжений, эти константы должны быть связаны между
приближенные значения (погрешность менее 2%): Кольцевое собой некоторым соотношением: Удлинение диагонали
сечение: Достаточно изменить пределы интегрирования: элемента вследствие деформации сдвига (dy = dz): ?ds.
Зависимость между моментами инерции при параллельном ds. Или. Таким образом существует соотношение между
переносе осей. Моменты инерции относительно центральных модулем сдвига и модулем упругости при растяжении с
осей с учетом симметрии: Для тонкостенного кольца (t участием коэффициента Пуассона. Любую из этих величин
< 0,075R) можно приближенно считать, что ? = Rср = можно определить, если известны две другие. 22.
const по его толщине и A = 2?Rсрt: Аналогично для оси 25Лекция 16 (продолжение – 16.2). ? Касательное112
y1: Формулы упрощаются, если исходные оси являются напряжение произвольного направления в каждой точке
центральными, т.к. SxC = SyC = 0: В технике иногда плоскости поперечного сечения можно разложить по двум
используют приближенные значения в виде: 9. другим направлениям, а именно, по радиусу ?,
12Лекция 12. y. v. Зависимость между моментами72 соединяющему точку с центром тяжести сечения, и по
инерции при повороте осей. dA. x. u. Координаты перпендикуляру к этому радиусу. Момент относительно
элементарной площадки dA в системе координат u, v центральной оси z будет создавать лишь вторая
выражаются через исходные координаты x, y линейными компонента, обозначаемая одним символом ?. Тогда: ? ? ?
зависимостями: v. u. ycos? ? y. xcos? Осевые моменты Кручение стержней круглого поперечного сечения –
инерции относительно осей u и v: xsin? ? x. O1. ysin? Кручение характерно тем, что в поперечных сечениях
x. Сумма осевых моментов инерции относительно двух возникают касательные напряжения ?, приводящиеся к
перпендикулярных осей не зависит от угла ? и при крутящему моменту Mz. Деформация стержня при кручении
повороте осей сохраняет постоянное значение. выражается тем, что поперечные сечения поворачиваются
Центробежный момент инерции относительно осей u и v: вокруг оси стержня z на некоторые углы ? = ?(z) ,
Главные оси и главные моменты инерции – Полученные называемые углами закручивания. y. x. Касательные
зависимости показывают, что при изменении угла поворота напряжения при кручении – Как указывалось ранее, задача
осей значения моментов инерции изменяются, при этом определения напряжений является статически
сумма осевых моментов инерции остается постоянной. Это неопределимой, для решения которой необходимо
означает, что можно определить такое положение осей, последовательно рассмотреть три стороны задачи: z. 1.
при котором один из осевых моментов достигает Статика: Выделим малый элемент двумя нормальными к оси
максимального значения, а другой – соответственно бруса сечениями и заменим действие отброшенных частей
минимального значения: Максимальные и минимальные касательными напряжениями. Под их действием элемент
осевые моменты инерции называются главными моментами находится в равновесии. ? Ранее приведением
инерции, а оси, относительно которых они вычисляются, – распределенных сил к центру и центральным осям было
главными осями. Для определения положения главных осей получено интегральное соотношение, связывающие крутящий
достаточно положить нулю первую производную осевого момент с касательными напряжениями: Mz. dz. z. Mz. K1.
момента инерции по углу поворота: Полученный результат ? z. d? ? K. Mz. ? dz. 2. Геометрия: Согласно гипотезе
показывает, что для искомого положения осей плоских сечений при своем повороте сечения остаются
центробежный момент обращается в нуль. Отсюда же плоскими (справедливо лишь для круглых сечений).
следует: Поскольку тангенс имеет одинаковые значения Следующее допущение состоит в том, что все радиусы
для углов, отличающихся друг от друга на 1800, сечения остаются прямыми и поворачиваются на один тот
полученное выражение определяет два положения осей, же угол (угол закручивания). Полученная формула
отличающиеся друг от друга на 900. Таким образом, обе показывает, что касательные напряжения линейно зависят
главные оси взаимно перпендикулярны. 10. от расстояния рассматриваемого волокна до центральной
13Лекция 12 (продолжение – 12.1). Для определения31 оси и принимают Максимальные значения при ? =?max: Угол
величины максимальных и минимальных моментов инерции закручивания двух смежных сечений отличается на
(главных моментов инерции) надо найти значения угла величину d?. 3. Физика: По закону Гука при сдвиге: Угол
через arctg(…) и подставить в исходное выражение для сдвига в произвольной точке сечения, находящейся на
осевых моментов инерции, или непосредственно расстоянии ? от центральной оси, равен отношению длины
использовать тригонометрические формулы двойных углов, дуги KK1 к dz: Подставляем в интеграл: Условие
как это было сделано, например, при определении главных прочности при кручении: [?] – допускаемое касательное
напряжений (лекция 10). Здесь попробуем чуть иначе. напряжение материала стержня, W? - полярный момент
Представим осевой момент в виде: Подставляя последнее сопротивления: Подставляем в выражение для напряжений:
выражение и сокращая разность моментов инерции получаем Длина дуги KK1: 23. Из этого соотношения найти
окончательно: Знак плюс перед вторым слагаемым напряжение по известному крутящему моменту пока нельзя,
относится к максимальному моменту, знак минус – к поскольку закон изменения напряжений по радиусу сечения
минимальному. Замечание. Полученные формулы для неизвестен.
моментов инерции, связанные с поворотом осей, а также 26Лекция 16 (продолжение – 16.3). Анализ напряженного33
для главных моментов инерции, практически аналогичны по состояния при кручении – По закону парности касательных
структуре соответствующим формулам для нормальных и напряжений полученная формула для касательных
касательных напряжений по наклонным площадкам и для напряжений, возникающих в поперечном сечении,
главных напряжений. Отсюда можно заключить, что одновременно определяет касательные напряжения в
положения осей, соответствующих экстремальным значениям плоскости, перпендикулярной продольному диаметральному
моментов инерции и сами значения можно находить с сечению: Каждый прямоугольный элемент материала
помощью круга Мора, построенного для моментов инерции. испытывает напряженное состояние чистого сдвига.
Iu. Iv. Imax. Здесь же проиллюстрируем характер Определение углов закручивания – При выводе формулы
изменения моментов инерции при последовательном касательных напряжений при кручении была получена
повороте осей в диапазоне 0 - 2? (графики построены в дифференциальная зависимость: Угол закручивания
системе MathCAD): Хорошо видно, что при достижении определяется из этого дифференциального соотношения
осевыми моментами инерции максимальных и минимальных интегрированием левой и правой части: где ?0 – угол
значений центробежный момент инерции обращается в ноль. поворота при z = 0. z. ? Mz. ? Mz. В частном случае при
А при достижении центробежным моментом инерции постоянном моменте Mz, постоянной жесткости GIpи
максимального значения (при повороте от главных осей на неподвижном сечении в начале координат (?0 = 0)
45о) осевые моменты становятся равными между собой. получаем: Этой формулой можно пользоваться при
Imin. Iuv. 11. определении угла для вала постоянного или ступенчато
14Лекция 12 (продолжение – 12.2). Радиус инерции –57 постоянного сечения, нагруженного сосредоточенными
есть величина, связывающая момент инерции с площадью моментами. При этом на каждом из участков, на котором
поперечного сечения и определяемая из равенств: Радиус крутящий момент, жесткость постоянны, угол закручивания
инерции представляет собой расстояние от изменяется по линейному закону. Как следует из общей
рассматриваемой оси до той точки, в которой условно формулы определения угла закручивания, при построении
можно сосредоточить всю площадь поперечного сечения. эпюры углов закручивания ординаты эпюры откладываются
Эта величина характеризует насколько хорошо “развито” от уровня предыдущего угла закручивания, т.е. строятся
сечение, как далеко отстоят от оси отдельные области нарастающим итогом, учитывая угол закручивания
сечения, что в свою очередь характеризует экономичность предыдущего участка. 2. 1. Пример: Построить эпюру
сечения при изгибе и сжатии с изгибом. Радиусом инерции углов закручивания для стержня нагруженного
удобно пользоваться при оценке гибкости сжатых сосредоточенными моментами: M1=5M, M2=4M, где M –
стержней. Конечно для этого радиусы инерции параметр нагрузки, Ip2/Ip1 = 2. 1. Сечение I-I (0 <
предварительно вычисляются для типовых и прокатных z1< l): 2. Сечение II-II (0 < z2< l): Расчеты
сечений по формулам: Радиусы инерции, соответствующие на жесткость – Валы машин испытывают переменные
главным осям, называются главными радиусами инерции и (динамические) нагрузки. При малой жесткости валов
определяются по формулам: Вычисление моментов инерции могут возникать нежелательные крутильные колебания.
сложных фигур – выполняется в следующем порядке: Поэтому, помимо условий прочности должны выполняться
Сечение разбивается на части, для которых известны условия жесткости, ограничивающие величину
координаты центров тяжести и моменты инерции или легко максимального угла закручивания, отнесенного к длине
находятся. Выбираются начальные оси, относительно (погонного угла закручивания): 24.
которых вычисляются координаты центра тяжести сечения. 27Лекция 17. a. a. a. a. Статически неопределимые102
Вычисляются координаты центра тяжести сечения. задачи при кручении – решаются так же, как и при других
Проводятся центральные оси (проходящие через центр видах деформации, т.е. последовательно раскрываются три
тяжести сечения), относительно которых вычисляются стороны задачи (статика, геометрия и физика). Специфика
моменты инерции. Вычисляются осевые и центробежные лишь состоит в том, что составляются другие уравнения
моменты инерции сечения относительно центральных осей. равновесия, сопоставляются угловые перемещения (углы
Вычисляются главные центральные моменты и определяется закручивания) и используется физические соотношения
положение главных осей. Пример 1 – Определить главные упругости, связывающие деформации и усилия при
центральные моменты и положение главных осей уголкового кручении. Пример. Вал круглого сечения имеет
поперечного сечения. Пример дается в виде документа в ступенчатое изменение диаметра (d = 0.707D) и нагружен
среде MathCAD. Его можно использовать для любого тремя скручивающими моментами M. 1. Статика –
другого составного сечения. C. O. 12. 2. 1. 1. 2. Отбрасываем жесткие заделки, заменяем их реактивными
15Лекция 13. Изгиб балок. Основные допущения:86 моментами: MB. Составляем моментное уравнение
Продольные волокна стержня (параллельные его оси) равновесия относительно оси вала: z. MA. Или: B. Это
испытывают лишь деформации растяжения-сжатия и не уравнение единственное, которое связывает нагрузку и
оказывают давления друг на друга (гипотеза об реактивные моменты. Все другие (сумма проекций на
отсутствии сдавливания продольных волокон). Mx. Mx. 2. координатные оси и суммы моментов относительно осей x,
Каждое поперечное сечение стержня, плоское до y) обращаются в тождества. Следовательно, задача
деформаций, остается плоским и нормальным к является статически неопределимой с одним “лишним”
деформированной оси стержня после деформации (гипотеза неизвестным. A. M. M. M. 2. Геометрия – При наличии на
плоских сечений). ?z. Первая гипотеза пренебрегает обоих концах вала неподвижных заделок сумма углов
влиянием нормальных напряжений ?x и ?y на продольную закручивания на каждом из участков при любом нагружении
деформацию элемента, вторая – деформациями сдвига. Обе должна быть равной нулю - уравнение совместности
гипотезы подтверждаются экспериментально на основной деформаций): Построим эпюру крутящих моментов:
части длины стержня. В общем случае балка может Уравнение совместности принимает вид: Mz. +. 3. Физика
испытывать изгиб под действием изгибающих моментов – На каждом из участков угол закручивания связан с
относительно осей x и y. Если один из них равен нулю, а крутящим моментом в сечении (соотношения упругости):
другой лежит в главной плоскости сечения (плоскости, Здесь первые три слагаемые есть углы закручивания,
проходящей через ось стержня и одну из главных вычисленные для сечения B, от действия трех заданных
центральных осей инерции) , то такой изгиб называется моментов по отдельности. Последнее слагаемое – угол
плоским изгибом. Если при этом изгибающий момент закручивания от действия неизвестного опорного момента
постоянный, и это означает отсутствие поперечной силы, MB. -. Соотношения упругости: Полученные 6 уравнений
то такой изгиб называется чистым изгибом. ?z. Подставим образуют полную систему уравнений с 6-ю неизвестными (2
напряжение в выражение для изгибающего момента (y0 ? y реактивных момента и 4 угла закручивания). Подставим
) : Нормальные напряжения при чистом изгибе – Как соотношения упругости в уравнение совместности.
указывалось ранее, задача определения напряжений Одинаковые сомножители вынесем за скобки и сократим:
является статически неопределимой, для решения которой Построим эпюру углов закручивания: Подстановка этих
необходимо последовательно рассмотреть три стороны соотношений после некоторых сокращений дает: откуда
задачи: = Ix. 1. Статика: Выделим малый элемент двумя получаем: +. Далее находится из уравнения равновесия
нормальными к оси бруса сечниями и заменим действие левый опорный момент и строится эпюра крутящих моментов
отброшенных частей нормальными напряжениями. Под их обычным образом или ее можно построить без нахождения
действием элемент находится в равновесии. A. Ранее левого опорного момента, двигаясь справа. ? +. Или:
приведением распределенных сил к центру и центральным Выразим, например, MA из уравнения равновесия через MB
осям было получены интегральные соотношения, и подставим в полученное уравнение: Эту задачу можно
связывающие нормальное усилие и изгибающий момент с решить иначе, используя в качестве основной системы
нормальными напряжениями: Так как нормальное усилие при статически определимую систему, для которой можно найти
изгибе равно нулю, то: Последнее указывает на то, что в углы закручивания с использованием принципа
сечении возникают напряжения разного знака и следует независимости сил от заданных моментов и неизвестного
предполагать, что существуют волокна, в которых опорного момента: Для построения эпюры углов
напряжения равны нулю (нейтральная ось). ?z. ?zdA. 2. закручивания придется вычислить для каждого из участков
Геометрия: Согласно гипотезе плоских сечений, относительные углы, как это было показано при
продольные волокна испытывают деформации предыдущем подходе к решению. 25. 0,9M. 0,9M. 0,1M.
растяжения-сжатия, пропорциональные расстоянию от 0,1M. 1,1M. 1,1M. 2,1M. 2,1M. ?2= -0,1Ma/(GIp1).
нейтральной оси. Нейтральная ось, как и центральная ось ?1=0,9Ma/(GIp1). ?3= -0,275Ma/(GIp1). ?3=
стержня, изгибается и имеет радиус кривизны ? (т. А – -0,525Ma/(GIp1). 0. 0. ?1 +?2 +?3 = 0,525Ma/(GIp1). ?1
центр кривизны). +. y. Mx. z. z0. ?z. Абсолютное +?2 = 0,8Ma/(GIp1).
удлинение волокна, находящегося на произвольном 28Лекция 17 (продолжение – 17.2). ? Основные37
расстоянии от нейтральной оси, из подобия треугольников результаты теории кручения стержней прямоугольного
равно: Таким образом, нормальное напряжение линейно сечения – При рассмотрении деформации кручения стержней
зависит от расстояния до нейтральной оси. При y0 > 0 круглого сечения использовалась гипотеза плоских
– сжатие. 3. Физика: По закону Гука: Подставим сечений. При кручении стержней прямоугольного сечения
напряжение в выражение для нормальной силы: Этот возникает депланация сечения – точки плоского до
интеграл представляет собой статический момент площади деформации поперечного сечения дополнительно
и равенство его нулю означает, что нейтральная ось перемещаются из этой плоскости по некоторому
проходит через центр тяжести. 13. Замечание: Знак минус нелинейному закону: y. M. M. Из рисунка [1] видно, что
учитывает правило знаков для изгибающего момента и угол сдвига элемента, выделенного на поверхности бруса,
напряжений. Из этих соотношений найти напряжения и происходит не только за счет наклона образующих, но и
положение нейтральной оси пока нельзя, поскольку закон за счет наклона сторон, лежащих в поперечных сечениях:
изменения напряжений по высоте сечения неизвестен. –. x. z. w =w (x,y). При вычислении касательных напряжений
16Лекция 13 (продолжение – 13.2). Момент22 в угловых точках по формуле, выведенной при
сопротивления при изгибе – Из формулы напряжений при использовании гипотезы плоских сечений (круглые
изгибе следует, что наибольшие (положительные – сечения), в углах прямоугольного сечения должны
растягивающие) и наименьшие (отрицательные – сжимающие) получаться максимальные касательные напряжения (? =
напряжения в поперечном сечении возникают в точках, ?max), а на самом деле в этих точках прямой угол
наиболее удаленных от нейтральной оси, расположенных по остается прямым и касательные напряжения равны нулю.
обе стороны от нее: При симметричном сечении Таким образом гипотеза плоских сечений не применима и
относительно нейтральной оси абсолютные величины задача кручения прямоугольного стержня не может быть
наибольших растягивающих и сжимающих напряжений равны и решена в рамках допущений, принимаемых в сопротивлении
могут быть определены по формуле: В других случаях материалов. Строгое решение такой задачи
необходимо специально искать ymax , но формула остается рассматривается в курсе теории упругости (кто не сдаст
в силе. Величина, зависящая только от размеров и формы сопромат, тому не грозит изучение теории упругости - и
поперечного сечения, называется осевым моментом ему хорошо, и преподавателю тоже). Приведем некоторые
сопротивления: С использованием осевого момента основные результаты решения методами теории упругости
сопротивления максимальные напряжения вычисляются как: задачи кручения стержней прямоугольной формы:
Моментом сопротивления удобно пользоваться при расчете Мембранная аналогия – позволяет установить качественную
на прочность (подбор сечения) балки при изгибе. Конечно картину распределения касательных напряжений. В теории
для этого моменты сопротивления предварительно упругости доказывается, что полное касательное
вычисляются для типовых и прокатных сечений по напряжение пропорционально тангенсу угла наклона
предыдущей формуле. Момент сопротивления типовых и касательной к поверхности идеальной гибкой мембраны,
прокатных сечений: 1. Прямоугольное сечение: 2. Круглое натянутой на контур сечения, равномерно растягиваемой
сечение: 3. Для прокатных сечений все геометрические во всех направлениях и нагруженной постоянно
характеристики, в том числе и моменты сопротивления, распределенной поперечной нагрузкой. Некоторое
уже вычислены и содержатся в специальных таблицах – представление от такой мембране дает мыльная пленка,
сортаментах. Во всех случаях, кроме круглого сечения, выдуваемая на проволочный контур. 1. Наибольшие
следует использовать моменты сопротивления, максимальные напряжения – возникают в средних точках
соответствующие ориентации Плоскости действия (1) длинных сторон прямоугольного контура. Они могут
изгибающего момента. Например, при действии на балку быть представлены в виде, подобном ранее полученной
прямоугольного сечения момента My при вычислении формуле: Здесь момент сопротивления при кручении
максимальных нормальных напряжений необходимо вычисляется с помощью табличного коэффициента,
использовать Wy: Условие прочности по нормальным зависящего от соотношения длин сторон (b/d ):
напряжениям: Максимальные напряжения не должны Поперечная нагрузка, например, давление воздуха
превышать расчетных или допускаемых напряжений. В (дутье), вызывает прогибы поверхности. Сечения
случае, например, прямоугольного сечения необходимо поверхности горизонтальными плоскостями дают линии
задать один из размеров или соотношение между ними. равных прогибов (горизонтали), расстояния между
Пусть h / b = k. Тогда требуемая высота сечения: Отсюда которыми обратно пропорциональны тангенсу угла наклона
при подборе сечения определяется требуемая величина касательной и, значит, величине касательных напряжений.
момента сопротивления для прокатных сечений или Направление вектора касательных напряжений совпадает с
характерных размеров для других сечений: 14. касательными к горизонталям. 2. 2. В средних точках (2)
17Лекция 13 (продолжение – 13.3). Понятие4 коротких сторон прямоугольного контура возникают
рационального сечения при изгибе – Из формулы несколько меньшие касательные напряжения. Они
напряжений при изгибе следует, что наибольшие определяются через максимальные выражением: 1. 1. 3.
(положительные – растягивающие) и наименьшие Угол закручивания определяется выражением: где. С
(отрицательные – сжимающие) напряжения в поперечном помощью мембранной аналогии можно качественно
сечении зависят от величины осевого момента инерции или предсказать положение точек, в которых возникают
осевого момента сопротивления: При изменении размеров максимальные касательные напряжения (сгущение
сечения изменяются как осевой момент сопротивления, так горизонталей) и минимальные (нулевые). На рисунке
площадь сечения. При этом величина осевого момента изображены (по техническим причинам) эллипсы, на самом
сопротивления зависит, например, для прямоугольного деле при приближении к контуру должны быть некоторые
сечения, от квадрата высоты сечения, а площадь – овалы. Тем не менее можно увидеть, что в углах
линейно. Увеличение площади увеличивает расход прямоугольного контура касательные напряжения должны
материала на изготовление балки. Более рациональным обращаться в ноль. 2. 4. В углах сечения касательные
сечением считается такое сечение, при котором отношение напряжения равны нулю. 26.
момента сопротивления к площади имеет большее значение. 29Автор благодарит вас, уважаемые студенты, за то,0
Для этого следует возможно большую часть площади что вы воспользовались этим материалом для подготовки к
поперечного сечения располагать как можно дальше от экзаменам по рассмотренным разделам сопротивления
нейтральной оси. Ниже показаны 5 поперечных сечений материалов. Это только первая часть увлекательной и
балки, составленных из неравнобоких уголков и листа, важной дисциплины. Дальше будет еще интереснее для тех,
площадь всех сечений одинакова, а моменты сопротивления кто продолжит обучение. Тем, кто оставит нас – с теми
различны: В связи с тем, что площади этих сечений попрощаемся без обид (“Каждому – - свое” было написано
одинаковы, наиболее рациональным из них является то, у на воротах Бухенвальда). Если представленный материал
которого момент сопротивления Wx больше. ? Добиться поможет молодым преподавателям сопротивления материалов
снижения веса балки можно также путем изменения подготовиться к чтению лекций или послужит основой для
размеров сечения по ее длине в соответствии с разработки собственного курса лекций, то авторы будут
изменением величины изгибающего момента. Поскольку только рады. Успеха всем! Об авторе. Список трудов. 36.
эпюра изгибающего момента имеет в общем случае
29 «Напряжение» | Напряжение 1270
http://900igr.net/fotografii/fizika/Naprjazhenie/Naprjazhenie.html
cсылка на страницу
Урок

Физика

133 темы
Фото
Презентация: Напряжение | Тема: Статика | Урок: Физика | Вид: Фото