Математики Скачать
презентацию
<<  Великие математики и их открытия Брадис  >>
Карта презентации
Карта презентации
Краткие биографические сведения о Леонардо Эйлере
Краткие биографические сведения о Леонардо Эйлере
Доказательство: Перепишем соотношение Эйлера дважды, один раз в виде Р
Доказательство: Перепишем соотношение Эйлера дважды, один раз в виде Р
Фото из презентации «Леонард Эйлер» к уроку математики на тему «Математики»

Автор: Екатерина. Чтобы познакомиться с фотографией в полном размере, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все фотографии на уроке математики, скачайте бесплатно презентацию «Леонард Эйлер» со всеми фотографиями в zip-архиве размером 76 КБ.

Скачать презентацию

Леонард Эйлер

содержание презентации «Леонард Эйлер»
Сл Текст Эф Сл Текст Эф
1Леонард Эйлер и его вклад в математическую науку.1 13дважды, один раз в виде Р + 2 = В + Г И другой раз в12
2Карта презентации.5 виде 4 = 2В - 2Р + 2Г Складывая эти равенства, получаем
3Блокнот. x. y. Z = (x+ky)/(k+1), где k= x1/ y1. 1.0 Р + 6 = 3В + 3Г - 2Р Так как у каждой грани
z. x1. y1. 4. 3d=a+b+c. 2. 5. 3. d=a+b+c. Для многогранника не менее трех сторон, то 3Г? 2Р. Отсюда
многогранников, где: Р – рёбра, В – вершины и Г – сразу получаем Р + 6? 3В. Утверждение доказано.
грани: - Центроид. 1)в - р + г = 2. 2)Р + 6? 3В и Р + Доказательство: Обозначим через Гi число i-угольных
6? 3Г. M – точки n – дуги, попарно не пересекаются, не граней в многограннике М. Ясно, что Г = Г3 + Г4 + Г5 +
проходят через m-2 точки l – количество областей m – n … Ясно также, что каждая i-угольная грань содержит i
+ l = 2. - Ортоцентр. - Центр описанной окружности. ребер многогранника. С другой стороны, каждое ребро
4Краткие биографические сведения о Леонардо Эйлере.4 многогранника принадлежит в точности двум граням.
Идеальный математик 18 века - так часто называют Поэтому в сумме 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + … каждое ребро
Эйлера(1707-1789). Он родился в маленькой тихой многогранника подсчитано, причем подсчитано дважды.
Швейцарии. Примерно в то же время переселилась в Базель Отсюда имеем 2Р = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 +… Рассмотрим теперь
из Голландии семья Бернулли: уникальное созвездие сумму S плоских углов многогранника: S = Г3 ·? + Г4 ·
научных талантов во главе с братьями Якобом и Иоганном. 2? + Гi · ( i -2 )? + … С учетом полученных соотношений
По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию. Но и теоремы Эйлера соотношение можно переписать так: S =
когда ребята подросли, выяснилось, что в Швейцарии не Г3 ( 3 - 2 )? + Г4 (4 -2 )? + Гi ( i - 2 )? + … = 2Р? -
хватит места для их умов. Зато в России была учреждена 2Г? = 2В? - 4?.
в 1725 году Академия Наук. Русских ученых не хватало, и 14Теорема Эйлера о многогранниках. Задача. Доказать12
тройка друзей отправилась туда. Поначалу Эйлер теорему Эйлера для плоского графа. (Граф называется
расшифровывал дипломатические депеши, обучал молодых плоским, если его можно расположить на плоскости так,
моряков высшей математике и астрономии, составлял чтобы ребра пересекались только в вершинах.). Если в
таблицы для артиллерийской стрельбы и таблицы движения графе есть цикл, то есть внутренняя грань. Возьмем
Луны. В 26 лет Эйлер был избран российским академиком, цикл, ограничивающий внутреннюю грань. Выкинем из него
но через 8 лет он переехал из Петербурга в Берлин. Там одно ребро. Граф остался связным, плоским. Число Р
"король математиков" работал с 1741 по 1766 уменьшилось на один, но и число Г уменьшилось на один,
год; потом он покинул Берлин и вернулся в Россию. т.к. грань, которая была по сторону от стертого ребра
Удивительно: слава Эйлера не закатилась и после того, стерлась. Таким образом, число В+Г-Р не изменилось.
как ученого поразила слепота (вскоре после переезда в Если в графе опять есть цикл мы поступаем так же. Т.к.
Петербург). В 1770-е годы вокруг Эйлера выросла ребер в графе конечное число, а количество ребер
Петербургская математическая школа, более чем постепенно уменьшается, то когда-нибудь наше стирание
наполовину состоявшая из русских ученых. Тогда же его рёбер закончится. Т.е. мы придем к ситуации, что
завершилась публикация главной его книги - "Основ число В+Г-Р не изменилось по сравнению с
дифференциального и интегрального исчисления". В первоначальным, граф остался связным, плоским и циклов
начале сентября 1783 Эйлер почувствовал легкое в графе нет. => граф стал деревом, а грань осталась
недомогание. 18 сентября он еще занимался одна - внешняя. Продолжаем стирать грани. Число Р
математическими исследованиями, но неожиданно потерял уменьшается на один, число В уменьшается на один, число
сознание и «прекратил вычислять и жить». Похоронен на В+Г-Р не меняется. Полученный граф снова дерево, он
Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге, откуда плоский и связный, а число вершин у него уменьшилось
его прах перенесен осенью 1956 в некрополь => поступаем так, пока не останется две вершины,
Александро-Невской лавры. Л. Эйлер. соединенные ребром. Тут уже не сложно посчитать, что
5Прямая Эйлера. = Н. Прямая Эйлера – прямая, которой7 В+Г-Р=2+1-1=2, а число В+Г-Р не менялось => для
принадлежат ортоцентр (точка пересечения высот) , начального графа оно тоже 2.
центроид (точка пересечения медиан) и центр описанной 15Теория графов и задача Эйлера. Издавна среди3
окружности треугольника. Дан прямоугольный треугольник жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка:
АСВ. Проведем медиану СО. Середина O гипотенузы AB как пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из
является центром описанной около него окружности. них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту
Центроид G делит медиану CO в отношении 2:1, считая от задачу, как теоретически, так и практически, во время
вершины C. Катеты AC и BC являются высотами прогулок. Но никому это не удавалось, однако доказать,
треугольника, поэтому вершина C прямого угла совпадает что это даже теоретически невозможно. В 1736 году
с ортоцентром H треугольника. Таким образом, точки задача о семи мостах заинтересовала выдающегося
O,G,H лежат на одной прямой, причем OH=3OG. математика, члена Петербургской академии наук Леонарда
6Прямая Эйлера. Деление отрезка в данном отношении.4 Эйлера, Эйлер пишет о том, что он смог найти правило,
7Прямая Эйлера.8 пользуясь которым легко определить есть ли у неё
8Прямая Эйлера.8 решение. На упрощённой схеме части города (графе)
9Прямая Эйлера.2 мостам соответствуют линии (рёбра графа), а частям
10Прямая Эйлера. Задача. Какие стороны пересекает3 города — точки соединения линий (вершины графа). В ходе
прямая Эйлера в остроугольном и тупоугольном рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам: Число
треугольниках? Решение Пусть AB > BC > CA. Легко нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число
проверить, что для остроугольного и тупоугольного рёбер) графа всегда чётно. Невозможно начертить граф,
треугольников точка H пересечения высот и центр O который имел бы нечётное число нечётных вершин. Если
описанной окружности расположены именно так, как на все вершины графа чётные, то можно, не отрывая
рис. (т. е. для остроугольного треугольника точка O карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно
лежит внутри треугольника BHC1, а для тупоугольного начинать с любой вершины графа и завершить его в той же
точки O и B лежат по одну сторону от прямой CH). вершине. Граф с более чем двумя нечётными вершинами
Поэтому в остроугольном треугольнике прямая Эйлера невозможно начертить одним росчерком. Граф
пересекает наибольшую сторону AB и наименьшую сторону кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины,
AC, а в тупоугольном треугольнике — наибольшую сторону следовательно невозможно пройти по всем мостам, не
AB и среднюю по длине сторону BC. проходя ни по одному из них дважды.
11В. Р. Г. Х. 4. 6. 4. 2. 8. 12. 6. 2. n+1. 2n. n+1.27 16Теория графов и задача Эйлера. Теорема Эйлера. (5).5
2. 2n. 3n. n+2. 2. Теорема Эйлера о многогранниках. Пусть на плоскости задано m точек и n попарно
Многогранник. Тетраэдр. Куб. N-угольная пирамида. непересекающихся дуг, каждая из которых соединяет
N-угольная призма. (4)Теорема Эйлера: Пусть В - число какие-либо две данные точки и не проходит через
вершин выпуклого многогранника, Р - число его ребер и Г остальные m–2 точки, и пусть эти дуги делят плоскость
- число граней. Тогда верно равенство В - Р + Г = 2 на l областей. Если из каждой данной точки в любую из
Число х = В - Р + Г называется эйлеровой остальных можно попасть, двигаясь по этим дугам, то m –
характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, n + l = 2. В случае, изображенном на рисунке 1, все
для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. условия теоремы Эйлера выполнены, m=12, n=18, l=8 и
То, что эйлеровая характеристика равна 2 для многих m–n+l=2. На рисунках 2 и 3 изображены случаи, когда
многогранников, видно из следующей таблицы: условия этой теоремы не выполняются. Так, на рисунке 2
12Теорема Эйлера о многогранниках. F. Имеется много6 из точки A1 нельзя попасть в точку A5 и m–n+l=3?2, а на
доказательств теоремы Эйлера. В одной из них рисунке 3 линия, соединяющая точки A1 и A2, является
используется формула для суммы углов многоугольника. самопересекающейся и опять m–n+l=3?2. В некоторых
Рассмотрим это доказательство. Возьмем снаружи задачах совокупность, состоящую из нескольких точек и
многогранника точку О вблизи от какой-либо грани F и соединяющих их попарно непересекающихся дуг, мы
спроектируем остальные грани на F из центра О . Их называем картой; при этом точки из этой совокупности мы
проекции образуют разбиение грани F на многоугольники. называем вершинами, а области, на которые дуги делят
Подсчитаем двумя способами сумму ? углов всех плоскость, — странами.
полученных многоугольников и самой грани F. Сумма угов 17Теория графов и задача Эйлера. Теорема Эйлера. (5)15
n-угольника равна ?(n - 2). Сложим эти числа для всех Задача. Три поссорившихся соседа имеют три общих
граней (включая грань F). Сумма членов вида ?n равна колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от
общему числу сторон всех граней, т.е. 2Р- ведь каждое каждого дома к каждому колодцу? Изобразим дома синими,
из Р рёбер принадлежит двум граням. А так как у нас а колодцы — чёрными точками и каждую синюю точку
всего Г слагаемых, ? = ?(2Р - 2Г). Теперь найдем сумму соединим дугой с каждой чёрной точкой так, чтобы девять
углов при каждой вершине разбиения и сложим эти суммы. полученных дуг попарно не пересекались. Тогда всякие
Если вершина лежит внутри грани F, то сумма углов две точки, изображающие дома или колодцы, будут
вокруг нее равна 2?. Таких вершин В-k, где k- число соединены цепочкой дуг, и в силу теоремы Эйлера эти
вершин самой грани F, а значит, их вклад равен 2?(В - девять дуг разделят плоскость на 9–6+2=5 областей.
k). Углы при вершинах F считаются в сумме дважды (как Каждая из пяти областей ограничена по крайней мере
углы F и как углы многоугольников разбиения); их вклад четырьмя дугами, так как по условию задачи ни одна из
равен 2?(k - 2). Таким образом, ? = 2?(B - k) + 2?(k - дорожек не должна непосредственно соединять два дома
2) = 2?(B - 2). Приравнивая два результата и сокращения или два колодца. Поэтому число дуг должно быть не
на 2?, получаем требуемое равенство Р - Г = В - 2. меньше ?·5·4 = 10, и, следовательно, наше предположение
13Доказательство: Перепишем соотношение Эйлера12 неверно.
17 «Леонард Эйлер» | Эйлер 122
http://900igr.net/fotografii/matematika/Ejler/Leonard-Ejler.html
cсылка на страницу
Урок

Математика

67 тем
Фото
Презентация: Леонард Эйлер | Тема: Математики | Урок: Математика | Вид: Фото