Числа
<<  Тема 5. Числовые функции Числовые и буквенные выражения  >>
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Картинки из презентации «Числовые ряды» к уроку алгебры на тему «Числа»

Автор: Пахомова Е.Г.. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Числовые ряды.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 952 КБ.

Числовые ряды

содержание презентации «Числовые ряды.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Математический анализ Раздел: Числовые 21Тогда а) если ? < 1 , то ряд сходится;
и функциональные ряды Тема: Числовые ряды. б) если ? > 1 , то ряд расходится; в)
Лектор Кабанова Л.И. 2014 г. если ? = 1 , то вопрос о сходимости ряда
2Числовые ряды. §1 . Основные понятия остается открытым.
теории числовых рядов 1. Основные 22
определения Пусть задана числовая 23
последовательность {un} ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 24ТЕОРЕМА 5 (признак Коши). Пусть ?un –
Выражение вида u1 + u2 + … + un + … = знакоположительный ряд и существует Тогда
называют числовым рядом. При этом, члены а) если ? < 1 , то ряд сходится; б)
последовательности {un} называются члена- если ? > 1 , то ряд расходится; в) если
ми ряда (1-м, 2-м, …, n-м (общим членом) ? = 1 , то вопрос о сходимости ряда
). остается открытым. Замечания. 1) В обеих
3Если начиная с некоторого номера N для теоремах 4 и 5 случай ? = ? включается в ?
членов ряда справедливо равенство uN = uN > 1 . 2) В ходе доказательства теорем 4
+ 1 = uN + 2 = … = 0 , то ряд называют и 5 показывается, что если ? > 1 , то.
конечным. В противном случае ряд 25
называется бесконечным . Ряд ?un называют 26ТЕОРЕМА 6 (интегральный признак Коши).
знакоположительным, если un ? 0 , ?n?? ; Пусть ?un – знакоположительный ряд, f(x) –
знакоотрицательным, если un ? 0 , ?n?? ; непрерывная, неотрицательная, монотонно
знакопостоянным, если он убывающая на [c;+ ?) (где c?? , c ? 1)
знакоположительный или знакоотрицательный; функция такая, что f(n) = un (для любого n
знакопеременным, если он содержит = 1,2,3 …). Тогда несобственный интеграл и
бесконечное число как положительных, так и ряд ведут себя одинаково относительно
отрицательных членов. сходимости.
4Для ряда ?un запишем 27
последовательность S1 = u1 , S2 = u1 + u2 28
, … , Sn = u1 + u2 + … + un , … Числа S1, 29
S2 , …, Sn называют частичными суммами 30§ 2. Сходимость знакопеременных рядов.
ряда ?un (1-й, 2-й, …, n-й ). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1. Знакочередующиеся ряды ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Ряд ?un называется сходящимся, если Ряд, у которого любые рядом стоящие члены
существует конечный предел имеют противоположные знаки, называется
последовательности его частичных сумм { Sn знакочереду- ющимся. Будем считать, что
}. При этом, число называют суммой ряда 1-й член знакочередующегося ряда
?un . Если то говорят, что ряд ?un положителен. ? знакочередующийся ряд имеет
расходится и не имеет суммы. Если S – вид: u1 – u2 + u3 – u4 + … (–1)n + 1un + …
сумма ряда ?un , то записывают: ?un = S . =?(–1)n + 1 ? un , (1) где un > 0 ,
5ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РЯДОВ 1) ?n?? .
Рассматривается в математическом анализе: 31ТЕОРЕМА 1 (признак сходимости
Определить, сходится или расходится Лейбница). Пусть знакочередующийся ряд
заданный ряд (говорят: «исследовать ряд на ?(–1)n + 1 ? un удовлетворяет условиям: 1)
сходимость») 2) Рассматривается в члены ряда монотонно убывают по абсолютной
вычислительной математике: Найти сумму величине, т.е. u1 > u2 > … >un
сходящегося ряда. Найти точное значение > … , 2) Тогда ряд ?(–1)n + 1 ? un
суммы S сходящегося ряда удается редко. сходится, причем его сумма S поло-
Обычно полагают S ? Sn где n выбирают так, жительна и не превосходит первого члена
чтобы | Rn | = | S – Sn | < ? (? ряда.
заранее задано). Число Rn называют 32
остатком ряда. 33Замечания. 1) Ряд ?(–1)n + 1 ? un
6 будет сходиться и в том случае, когда
7 условие 1 теоремы Лейбница выполняется,
8 начиная с некоторого номера N. Но
9 утверждение о сумме ряда в этом случае не
10 будет иметь места. 2) Если ряд ?(–1)n + 1
112. Основные свойства числовых рядов. ? un удовлетворяет условиям теоремы
ТЕОРЕМА 1. Поведение ряда относительно Лейбница, то погрешность, получаемая при
сходимости не изменится, если добавить замене суммы ряда S его частичной суммой
(отбросить) конечное число членов ряда. Sn, не превосходит модуля первого
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1) Произведением ряда ?un на отбрасываемого члена, т.е. | Rn | = | S –
число c?? называется ряд ?c ? un . 2) Sn | < un + 1 3) Если ряд ?(–1)n + 1 ?
Суммой (разностью) рядов ?un и ?vn un не удовлетворяет 2-му условию теоремы
называется ряд ?(un + vn) [ ?(un – vn) ]. Лейбница, то он расходится (т.к. не
ОБОЗНАЧАЮТ: c ? ?un – произведение ряда на выполнено необходимое условие сходимости).
число c ; ?un ? ? vn – сумма (разность) Если ряд ?(–1)n + 1 ? un удовлетворяет
рядов ?un и ?vn. 2-му условию теоре- мы Лейбница, но не
12ТЕОРЕМА 2 (об арифметических действиях удовлетворяет ее 1-му условию, то о
над сходящимися рядами) Если ряд ?un сходимости ряда ничего сказать нельзя.
сходится и его сумма равна U , ряд ?vn 342. Абсолютная и условная сходимость
сходится и его сумма равна V , то а) ряд знакопеременных рядов. Пусть ?un –
?cun – сходится и его сумма равна cU знакопеременный ряд. Рассмотрим ряд ?| un
(?c??); б) ряд ?(un ? vn) – сходится и его | . ТЕОРЕМА 2 (признак абсолютной
сумма равна U ? V . СЛЕДСТВИЯ теоремы 2. сходимости). Если ряд ?| un | сходится, то
1) Если ?un расходится, то ?c?0 (c??) ряд ряд ?un тоже сходится. Замечание. Признак
?cun – тоже расходится. 2) Если ряд ?un абсолютной сходимости достаточный, но не
сходится , а ряд ?vn расходится, то ряд необходимый. Т.е. существуют сходящиеся
?(un ? vn) – расходится . . знакопере- менные ряды ?un , для которых
13ТЕОРЕМА 3 (необходимый признак ?| un | – расходится. ОПРЕДЕЛНИЕ. Ряд ?un
сходимости ряда). Если ряд ?un сходится, называют абсолютно сходящимся, если его
то СЛЕДСТВИЕ теоремы 3 (достаточное ряд модулей ?| un | сходится. Если ряд ?un
условие расходимости ряда) Если , то ряд – сходится, а его ряд модулей ?|un| –
?un расходится. ТЕОРЕМА 4 (закон расходится, то ряд ?un называют условно
ассоциативности для сходящихся рядов). сходящимся.
Пусть ряд ?un сходится и его сумма равна U 35
Если сгруппировать члены этого ряда, НЕ 36СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО
ИЗМЕНЯЯ ИХ ПОРЯДКА, то полученный в СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 1) ТЕОРЕМА 3. Если ряды
результате этого ряд будет сходиться и ?un и ?vn сходятся абсолютно, то ряд ?(?un
иметь ту же сумму U. ? ?vn) тоже сходится абсолютно (??,???).
14 СЛЕДСТВИЕ теоремы 3. Если ряд ?un –
15 сходятся абсолютно, ?vn – сходятся
16§15. Сходимость знакоположительных условно, то ряд ?(?un ? ?vn) сходится
рядов. ЛЕММА 1 (необходимое и достаточное условно (??,???, ? ? 0 ) .
условие сходимости знакоположительного 372) ТЕОРЕМА 4 (о перестановке членов
ряда). Знакоположительный ряд сходится ? ряда). а) Если ряд ?un сходится абсолютно,
последовательность его частичных сумм то ряд, полученный из него в результате
ограничена. ТЕОРЕМА 2 (первый признак перестановки членов, также сходится
сравнения). Пусть ?un и ?vn – абсолютно и имеет ту же сумму. б) Если ряд
знакоположительные ряды, причем un ? vn , ?un сходится условно, то можно так
?n?N (N??). Тогда 1) если ряд ?vn переставить члены ряда, что сумма
сходится, то и ряд ?un тоже сходится; 2) получившегося ряда будет равна любому,
если ряд ?un расходится, то и ряд ?vn тоже заранее заданному числу. Более того, можно
расходится. так переставить члены ряда, что
17ТЕОРЕМА 3 (второй признак сравнения). получившийся ряд будет расходиться
Пусть ?un и ?vn – знакоположительные ряды. (теорема Римана).
Если при n ? ? существует конечный и 38ТЕОРЕМА 5 (о сходимости произведения
отличный от нуля предел отношения их общих рядов). Пусть ряды ?un и ?vn сходятся
членов, т.е. то ряды ?un и ?vn ведут себя абсолютно и их суммы равны U и V
одинаково по отношению к сходимости. соответственно. Тогда ряд ?un ? ?vn тоже
18ЭТАЛОННЫЕ РЯДЫ, которые используются в сходится абсолютно и его сумма равна U ? V
признаках сравнения: а) гармонический ряд .
– расходится; б) обобщенный гармонический 39ТЕОРЕМА 6 (признак Дирихле). Пусть 1)
ряд (ряд Дирихле) в) ряд геометрической последовательность {an} монотонна и 2)
прогрессии. последовательность частичных сумм ряда ?bn
19 ограничена. Тогда ряд ? an ? bn – сходится
20 . ТЕОРЕМА 7 (признак Абеля). Пусть 1) {an}
21ТЕОРЕМА 4 (признак Даламбера). Пусть монотонная и ограниченная; 2) ряд ?bn –
?un – знакоположительный ряд и существует сходится. Тогда ряд ? an ? bn – сходится.
Числовые ряды.ppt
http://900igr.net/kartinka/algebra/chislovye-rjady-235317.html
cсылка на страницу

Числовые ряды

другие презентации на тему «Числовые ряды»

«Математический турнир» - Луч 2. Луч 1. Луч 3. Задание 1 луч 1. Задание 4 луч 3. Задание 3 луч 3. Дидактическая игра. Задание 5 луч 3. Результаты игры. Задание 1 луч 2. Задание 2 луч 2. Задание 5 луч 2. "Математический турнир". Задание 4 луч 1.

«Числовые последовательности» - Геометрическая прогрессия. Числовые последовательности. Урок-конференция. Способы задания. «Числовые последовательности». Арифметическая прогрессия.

«Числовые неравенства» - Пример. Да мы сами уже могли убедиться в необходимости умения работать с неравенствами. Свойство 6. Свойство 4. Если a>b, то a+c>b+c . Свойство 1. Оглавление. Если a, b, c, d – положительные числа, и a>c, c>d,то ac>bd. Свойство 2. Если a>b и m<0, то am<bm. Решение неравенств.

«Математические игры» - Игра – один из основных видов человеческой деятельности. Смешанные. Личная устная олимпиада. Что получится, если разрезать ЛМ вдоль, отступив треть от края? Мгновенное обучение Зрелищность Ярко выраженная развивающая направленность. В течение четырех дней ребята соревнуются за право называться лучшими.

«Числовая последовательность» - 1. Определение. Последовательности. 1. Формула n-го члена последовательности: - позволяет найти любой член последовательности. 2. Способы задания последовательностей. Порядковый номер члена последовательности. Член последовательности. 3. График числовой последовательности. Обозначение последовательности.

«Числовые функции» - Введение Числовые функции Кусочное задание функции График функции. Содержание: Выражение данной функции имеет вид. Числовые функции. Множество Х называют областью задания или об-ластью определения функции f и обозначают D (f). Например, график функции [x] состоит из бесконечного множества промежутков единичной длины.

Числа

38 презентаций о числах
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки