Уравнения
<<  Уравнения с двумя неизвестными в целых числах Численные методы решения дифференциальных уравнений  >>
Вес одного кубометра
Вес одного кубометра
Действующие силы
Действующие силы
Материальная точка массы
Материальная точка массы
Величина сжатия пружины
Величина сжатия пружины
Картинки из презентации «Дифференциальные уравнения» к уроку алгебры на тему «Уравнения»

Автор: www.PHILka.RU. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Дифференциальные уравнения.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 248 КБ.

Дифференциальные уравнения

содержание презентации «Дифференциальные уравнения.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Дифференциальные уравнения. Номинация: 12определяется формулой. (13). Итак,
математика Выполнила: Желновакова Юлия. давление убывает с высотой по
ученица 11 «М» класса гимназии № 22 показательному закону в соответствии с
Научный руководитель: Захарьян А.А., полученной так называемой барометрической
учитель математики высшей квалификационной формулой. Формула (13) на больших высотах
категории гимназии № 22. (сравнимых по величине с радиусом Земли)
2I.Введение. При изучении явлений дает большую погрешность. Это связано с
природы, решении многих задач физики и тем, что пренебрегаем не только изменением
техники, химии и биологии, других наук не температуры, но и изменением ускорения
всегда удается непосредственно установить свободного падения.
прямую зависимость между величинами, 13Задача3. В благоприятных для
описывающими тот или иной процесс. Однако размножения условиях находится некоторое
в большинстве случаев можно установить количество N0 бактерий. Из эксперимента
связь между величинами (функциями) и известно, что скорость размножения
скоростями их изменения относительно бактерий пропорциональна их количеству.
других (независимых) переменных величин, Найти зависимость роста числа бактерий с
т.е. найти уравнения, в которых течением времени. Решение. Обозначим через
неизвестные функции входят под знак N(t) количество размножающихся бактерий в
производной. Эти уравнения называют момент времени t: N(0)=N0. Отвлекаясь от
дифференциальными. того, что численность может измеряться
3II.Основная часть. Теоретическая только целыми числами, считаем, что N(t)
часть. Простейшим примером изменяется во времени непрерывно
дифференциального уравнения является дифференцируемо. Тогда скорость
уравнение. Где f(x) – известная функция, а размножения есть производная от функции
y=y(x) – искомая функция независимого N(t); поэтому указанный в условии задачи
переменного x. Решения этого уравнения биологический экспериментальный закон
называют первообразными функциями для позволяет составить дифференциальное
функции f(x). Например, решениями уравнение размножения бактерий: k>0.
дифференциального уравнения. Являются (14). Коэффициент k зависит от вида
функции. С – произвольная постоянная, бактерий и условий, в которых они
причем других решений это уравнение не находятся. Его можно определить
имеет. экспериментально.
4Характерное свойство дифференциальных 14Задача свелась к чисто математической
уравнений – иметь бесконечное множество задаче: найти решение N уравнения (14),
решений. В этом смысле приведенный выше для которого N(0)=N0. Поскольку N(t)>0,
пример типичен. Поэтому, решив разделив обе части уравнения (14) на N(t)
дифференциальное уравнение, описывающее и продифференцировав получаем: (15). где
эволюцию некоторого процесса, нельзя С1 – произвольная постоянная; обозначим ее
одновременно найти зависимость между так: ,C>0. Из (15) имеем. (16). Чтобы
величинами, характеризующими данный из множества функций (16) выделить ту,
процесс. Чтобы выделить из бесконечного которая описывает процесс размножения
множества зависимостей ту, которая бактерий, воспользуемся начальным
описывает именно этот процесс, надо иметь условием: N(0)=N0, откуда N0=C.
дополнительную информацию, например знать Окончательно получим. (17). Т.Е.
начальное состояние процесса. Без этого Численность бактерий возрастает по
дополнительного условия задача показательному закону.
недоопределенна. Рассмотрим несколько 15Большое количество задач, приводящих к
конкретных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям, дает
дифференциальным уравнениям. механика. Классической задачей динамики
5Задача 1. Найти уравнение кривой, точки является задача отыскания закона
зная, что отрезок, который отсекается движения материальной точки, если известны
касательной в произвольной точке кривой на действующие силы. В этом случае второй
оси ординат, равен удвоенной ординате закон Ньютона приводит к дифференциальному
точки касания. Решение. Возьмем на искомой уравнению. В зависимости от действующих
кривой точку M(x,y) (Рисунок 1). Уравнение сил получаются уравнения самых различных
касательной в точке М имеет вид. где Х,Y – типов. Рассмотрим наиболее простую из
текущие координаты точек касательной, а - задач этого типа.
производная искомой функции в данной 16Задача4. Материальная точка массы m(г)
точке. Для нахождения отрезка ОВ, свободно падает под действием силы
отсекаемого касательной на оси Oy, положим тяжести. Найти закон движения точки без
Х=0. Тогда. учёта сопротивления воздуха. Решение.
6С другой стороны, по условию задачи Возьмем вертикальную ось, направленную
OB=2y; сравнивая оба выражения для отрезка вниз, с выбранной на ней точкой отсчёта О.
OB, получаем уравнение или. (1). Умножив Положение материальной точки определяется
обе части этого уравнения на , приведем координатой ОМ=s, изменяющейся в
его к виду, содержащему дифференциалы, зависимости от времени t (Рисунок 4)
(2). Левая часть уравнения (2) Запишем второй основной закон динамики в
представляет собой дифференциал виде. где m – масса, а - ускорение точки и
произведения переменных d(xy), поэтому F – действующая сила. По предположению, на
уравнение (2) можно записать в виде точку действует только сила тяжести, так
откуда. (3). где С – произвольное что. где g – ускорение силы тяжести.
постоянное. Равенство (3) дает уравнение Ускорение а есть вторая производная от
искомой кривой, которое также можно пути по времени, и мы получаем: Или. (18).
записать и в явном виде. (4). 17Равенство (18) представляет собой
7Уравнение (3), как и (4), дифференциальное уравнение, содержащее
представляет, собственно, не одну кривую, вторую производную неизвестной функции
а целое семейство кривых – семейство s=s(t). Так как эта вторая производная
равноосных гипербол, асимптотами которых оказывается здесь известной функцией от
служат координатные оси (Рисунок 2) Для аргумента (даже просто постоянной
выделения одной из кривых этого семейства величиной), то искомую функцию легко
необходимо, как и в предыдущих задачах, получить, произведя дважды интегрирование
задать значение искомой функции для по t. Последовательно находим. (19). (20).
некоторого значения аргумента. Для данной Равенство (20) дает искомый закон
задачи это эквивалентно заданию координат движения, однако, как и в предыдущих
точки, через которую проходит искомая задачах, оно содержит постоянные
кривая. Пусть, например, искомая кривая интегрирования, в данном случае – два. Их
проходит через точку M0 (3,2), т.е. при можно определить, зная начальное положение
х=3 функция принимает значение у=2. и начальную скорость точки. Пусть в
Подставив эти значения в (3) или в (4), начальный момент (t=0) скорость точки
получаем С=6, поэтому уравнение искомой равна , а ее расстояние от точки отсчета О
кривой имеет вид. (5). Или. (6). равно s0. Так как выражает скорость, то из
8Задача2. Определить давление воздуха в (19) получаем , а из (20) - , и закон
зависимости от высоты над уровнем моря. движения приобретает вид. Таким образом,
Решение. Обозначим высоту над уровнем моря получили известную формулу пути,
через h и давление воздуха через p. Задача пройденного точкой при равномерно
состоит в том, чтобы отыскать функцию ускоренном движении.
p=p(h), описывающую зависимость давления 18Задача5. Вычислить работу, совершаемую
от высоты. Рассмотрим горизонтальную при сжатии пружины на 10 см, если известно
площадку размером 1 м2, расположенную на (по закону Гука), что действующая сила
уровне моря, и призматический столб пропорциональна сжатию пружины и что для
воздуха, опирающийся на эту площадку. Если сжатия пружины на 1 см необходима сила в
мысленно провести сечение столба на высоте 20Н. Решение. По закону Гука сила сжатия
h (Рисунок 3), то давление в этом сечении равна F(s)=ks, где s (в метрах) – величина
определяется весом части столба, сжатия пружины, 0?s?0,1. Для нахождения
находящейся над сечением. Проведем второе коэффициента k воспользуемся тем, что по
горизонтальное сечение на высоте h+?h. условию F(0,01)=20. Имеем: 20=k?0,01,
9Давление в этом сечении будет меньше откуда k=2?103 , и поэтому F(s)=2?103s
на величину ?p, равную весу воздуха в (Н), 0?s?0,1. Вычислим работу по формуле.
столбе между двумя сечениями. Поэтому Имеем: (Дж).
можно написать , где s – вес одного 19Задача6. Резервуар, наполненный водой,
кубометра воздуха при давлении p. Но имеет форму цилиндра с высотой H и
величина s сама пропорциональна давлению. площадью основания S. В дне резервуара
Действительно, пусть s0 – вес кубометра сделано отверстие площади s, через которое
воздуха при давлении p0=1. В силу закона за 1 час вылилось 7/16 всей воды. Через
Бойля-Мариотта (pV=p0V0) это же количество сколько времени вся вода вытечет из
воздуха будет при давлении p занимать резервуара, если скорость истечения воды
объём. кубометров и весить по-прежнему s0. выражается формулой ,где h – высота
Вес s одного кубометра будет тогда равен. жидкости над отверстием, а k – числовой
Или вообще. где k – коэффициент коэффициент? Решение. Пусть через t часов
пропорциональности. Таким образом получаем после начала истечения уровень оставшейся
соотношение: (7). воды равен h. За промежуток времени [t,
10Равенство (7) является неточным: здесь t+?t] уровень воды изменится на ?h, где
предположено, что во всех сечениях между h ?h<0. По формуле объема цилиндра
и h+?h давление постоянно и равно p. На получаем, что объём вылившейся воды
самом же деле давление в этих сечениях выражается равенством. (Рисунок5).
различно и падает с увеличением h. Однако 20Эта вода вылилась в виде
функцию p=p(h) естественно предположить цилиндрической струйки, площадь основания
непрерывной, поэтому ошибка равенства (7) которой равна s, а высота l равна пути,
невелика и будет тем меньше, чем меньше пройденному за время ?t струйкой,
величина ?h. Если разделить теперь обе вытекавшей из отверстия (сопротивлением
части равенства (7) на ?h и перейти к воздуха мы пренебрегаем). Если промежуток
пределу при ?h?0, то ошибка в нем также времени [t, t+?t] достаточно мал, то можно
будет стремиться к нулю, и мы получим уже пренебречь изменением на этот промежуток
точное равенство: (8). Равенство (8) есть времени уровня жидкости над отверстием,
дифференциальное уравнение, связывающее которое влечет за собой изменение скорости
неизвестную (искомую) функцию p(h) и её истечения. Тогда приближенно получаем,
производную. Решением этого уравнения что. Значит, объем вытекший за этот
является функция, выражающая зависимость промежуток времени жидкости приближенно
давления воздуха p от высоты h. Рассмотрим выражается формулой. Сравнивая
в соотношении (7) высоту h над уровнем получившиеся выражения для ?V, приходим к
моря как функцию от давления p. Так следующему равенству: То есть.
приходится поступать, например, при 21Полученное равенство становится тем
барометрическом моделировании, когда более точным, чем меньше величина ?t
требуется определять высоту места по промежутка времени. Поэтому точным
показаниям барометра. В этом случае, является равенство. (21). Задача свелась к
разделив обе части равенства (7) на ?p и решению дифференциального уравнения (21).
перейдя к пределу при ?p?0, получим. Или. Нам известно, кроме того, что в начале
(9). процесса высота воды равнялась H, а через
11Равенство (9) также является 1 ч осталось 9/16 всей воды, и потому
дифференциальным уравнением, но здесь мы высота равна . Таким образом, имеем еще
имеем простейшую зависимость: производная условия: И. Разделяя переменные в
неизвестной функции выражается как уравнении (21), получаем: После
известная функция аргумента. Поэтому для интегрирования обеих частей, находим.
нахождения неизвестной функции h остается (22). Мы получили соотношение между
только взять неопределенный интеграл, моментом времени t и высотой уровня воды
после чего находим. (10). Величина C1 h. В это соотношение входят две
представляет произвольное постоянное неизвестные нам постоянные: C и. Их
интегрирования, которое удобнее для значения определяются из условий. И.
дальнейшего записать в виде . Тогда 22Подставляя в соотношение (22) значения
равенство (4) можно будет переписать так: t=0, h=H, получаем. Значит, Подставляя в
(11). Равенство (11) дает выражение для это равенство значения t=0, h= H, находим,
искомой функции h=h(p), однако это что. Итак, , И потому. Теперь уже легко
выражение остается не вполне определенным найти, когда вытечет вся вода из
вследствие наличия в нем произвольного резервуара, т.е. когда будет выполняться
постоянного С. Для того, чтобы достичь равенство h=0, находим, что t=4, т.е. вся
полной определенности, необходимо знать С, вода выльется через 4 ч. На рисунке 6
что достигается заданием значения p при изображен график зависимости h от t. t.
каком-либо значении h. В данном случае это 23III.Заключение. Дифференциальные
удобнее всего сделать, приняв, что на уравнения имеют большое прикладное
уровне моря (при h=0) атмосферное давление значение, являясь мощным орудием
равно p=p0. Подставив эти значения в (11), исследования многих задач естествознания и
мы получим С=p0, так что окончательно техники: они широко используются в
искомая функция выражается формулой. механике, астрономии, физике, во многих
12(12). Равенство (12) можно разрешить задачах химии, биологии. Это объясняется
относительно p и тем самым получить тем, что весьма часто объективные законы,
решение первоначально поставленной задачи. которым подчиняются те или иные явления
Выражением давления воздуха p в (процессы), записываются в форме
зависимости от высоты h над уровнем моря дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения.ppt
http://900igr.net/kartinka/algebra/differentsialnye-uravnenija-54860.html
cсылка на страницу

Дифференциальные уравнения

другие презентации на тему «Дифференциальные уравнения»

«Уравнения 5 класс» - Корень уравнения. Решение уравнения. «Было-х грибов Добавили-6грибов Стало-75 грибов Х+6=75. Знакомство с основными понятиями: П р а в и л о. Чтобы найти неизвестное слагаемое надо от суммы вычесть известное слагаемое. Можно ввести краткую запись: Составим и решим уравнение: Х + 6 = 75 Х = 75 - 6 Х = 69 Ответ: 69 грибов.

«Дифференциальное уравнение» - К какому типу относятся дифференциальные уравнения. Общий интеграл. Обыкновенные дифференциальные уравнения. ОДУ первого порядка. Общее решение уравнения. Решение. Уравнение четвёртого порядка. Уравнения с однородной правой частью. Уравнения вида. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.

«Решить уравнение» - Если a<=0, то х-любое из d(f) если a>0, то. Неравенства, содержащие модуль. Через критические точки. |f(x)| <a. |f(x)|>a. |f(x)|+|g(x)| <h(x). Решить уравнения: |f(x)|>g(x). |f(x)| |g(x)|. 1) если а<=0, то решения нет 2) если a>0, то. |f(x)|<g(x).

«Решение уравнений с модулем» - Закрепление навыков решения уравнений. Решение уравнений, содержащих знак модуля. Самостоятельная работа. Задания для самостоятельной работы. Ознакомление учащихся с нестандартными приемами решения уравнений, содержащих модули. Использование свойств модуля. Закрепление решения уравнений, содержащих несколько модулей.

«Квадратное уравнение» - Биквадратные квадратные уравнения. Формулы решения квадратного уравнения. История. Квадратное уравнение не имеет корней. Нидерландский математик А.Жирар. Немецкий математик М.Штифель. Квадратное уравнение имеет один корень. Полные квадратные уравнения. Квадратные уравнения бывают: полные, неполные, приведенные, биквадратные.

«Линейное уравнение» - Примеры решения линейных уравнений. Линейные уравнения. Цель работы. Линейное уравнение с одной переменной. Линейные уравнения могут иметь одно решение, множество решений или не иметь решение. Сколько корней имеет линейное уравнение? Исследованеи решения линейного уравнения. Линейное уравнение с одной переменной.

Уравнения

49 презентаций об уравнениях
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по алгебре > Уравнения > Дифференциальные уравнения