Без темы
<<  Функция контроля Функция организации находит свое выражение в форме организационной структуры компании  >>
Картинок нет
Картинки из презентации «Функция нескольких переменных» к уроку алгебры на тему «Без темы»

Автор: Пахомова Е.Г.. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Функция нескольких переменных.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 363 КБ.

Функция нескольких переменных

содержание презентации «Функция нескольких переменных.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Математический анализ Тема: Функция 282) если поверхность задана уравнением
нескольких переменных. Лектор Пахомова F(x,y,z) = 0, F(x,y,z) – дифференцируема в
Е.Г. 2010 г. P0(x0,y0,z0), причем хотя бы одна из ее
2ГЛАВА III. Функции нескольких частных производных не обращается в P0 в
переменных. §8. Определение функции ноль, то касательная плоскость к
нескольких переменных. Предел и поверхности в точке P0(x0,y0,z0)
непрерывность ФНП 1. Определение функции существует и ее уравнение ? уравнения
нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X нормали к поверхности F(x,y,z) = 0 в
= {(x1, x2 , …, xn) | xi?Xi ? ? } , U ? ? P0(x0,y0,z0): Замечание. Точка
. Функция f : X ? U называется функцией n P0(x0,y0,z0) поверхности F(x,y,z) = 0, в
переменных . Записывают: u = f(x1, x2 , …, которой все частные производные функции
xn) , где f – закон, задающий соответствие F(x,y,z) обращаются в ноль, называется
между x1, x2 , …, xn и u . Значение u = особой точкой поверхности.
f(x1, x2 , …, xn) при x1 = x01, x2 = x02, 29Пусть функция z = f(x,y)
…, xn = x0n записывают в виде u = f(x01, дифференцируема в точке M0(x0,y0). ?
x02 , …, x0n) или. поверхность z = f(x,y) имеет в точке
3Называют: X – область определения P0(x0,y0,f(x0,y0)) касательную плоскость.
функции (Обозначают: D(u) ), x1, x2, …, xn Ее уравнение: Обозначим x – x0 = ?x, y –
– аргументы (независимые переменные), U – y0 = ?y. Тогда уравнение касательной
область значений (Обозначают: E(u) ), u (u плоскости примет вид: ТАКИМ ОБРАЗОМ,
?U) – зависимая переменная (функция). 2. полный дифференциал функции z = f(x,y) в
Предел функции нескольких переменных точке M0(x0,y0) равен приращению, которое
Напомним: Число A?? называется пределом получает аппликата точки
функции f(x) при x стремящемся к x0 P0(x0,y0,f(x0,y0)) касательной плоскости к
(пределом функции f(x) в точке x0), если поверхности z = f(x,y), когда ее
??>0 ??>0 такое, что если x?U*(x0, координаты x0 и y0 получают приращения ?x
?) , то f(x)?U(A, ?) . и ?y соответственно.
4?(x,y) ? M?xOy ; ? z = f(x,y) = f(M), 30
где M?D?xOy . ?(x,y,z) ? M?Oxyz ? u = 31Очевидно, что соответствие
f(x,y,z) = f(M), где M?D?Oxyz . По (x0,y0,?x,?y) ? df(x0,y0) является
аналогии, последовательность (x1, x2 , …, функцией (четырех переменных). Ее называют
xn) будем считать декартовыми координатами полным дифференциалом функции z = f(x,y) и
точки n-мерного пространства и обозначают dz или df(x,y). Легко доказать,
рассматривать функцию n переменных как что полный дифференциал функции n пере-
функцию точки этого пространства. менных обладает теми же свойствами, что и
Обозначают: ?n – n-мерное пространство, u дифференциал функции одной переменной. В
= f(M) , где M(x1, x2 , …, xn)??n – частности, для df(x,y) существует вторая,
функция n переменных. инвариантная форма записи:
5Если M1(x1), M2(x2)?Ox , то расстояние 323. Дифференциалы высших порядков ФНП.
между ними (обознача- ют: | M1M2 |) Пусть z = f(x,y) дифференцируема в области
находится по формуле: Если M1(x1,y1), D1?D(f) . Ее дифференциал dz(M) – функция
M2(x2,y2)?xOy , то Если M1(x1,y1,z1), переменных x, y, dx, dy. Далее будем dz(M)
M2(x2,y2,z2)?Oxyz , то Обобщая эти называть дифференциалом 1-го порядка.
формулы, будем считать, что расстояние Зафиксируем значение dx и dy. Тогда dz(M)
между точками n-мерного пространства станет функцией двух переменных x и y.
M1(x1, x2 , …, xn), M2(y1, y2 , …, yn)??n Дифференциал функции dz(M) (если он
равно. существует) называется дифференциалом 2-го
6Пусть M0(x01, x02 , …, x0n)??n . порядка функции z = f(x,y) (или вто- рым
Множество точек ?n , находя- щихся от M0 дифференциалом функции z = f(x,y)) и
на расстоянии меньшем ?, будем называть обозначается d 2z, d 2f(x,y). d 2z(M) –
?-окрестностью точки M0 и обозначать функция переменной x и y. Дифференциал
U(M0,?). Иначе говоря, ?-окрестность функции d 2z(M) (если он существует)
M0(x01, x02, …, x0n) состоит из таких называют дифференциалом третьего порядка
точек M(x1, x2 , …, xn), для которых имеет функции z = f(x,y) (или третьим
место неравенство При n = 1 U(M0,?) = дифференциалом функции z = f(x,y)) и
{M?Ox | |M0M| = |x – x0| < ?} = (x0 – обозна- чается d 3z, d 3f(x,y).
?, x0 + ?) . При n = 2 т.е. U(M0,?) точки 33Продолжая далее этот процесс,
M0(x0,y0) – круг с центром в точке определим дифференциал n-го порядка
M0(x0,y0) и радиусом ? . При n = 3 т.е. функции z = f(x,y) как дифференциал от ее
U(M0,?) точки M0(x0,y0,z0) – шар с центром диффе- ренциала порядка n – 1. Обозначают:
в точке M0(x0,y0,z0) и радиусом ? . d nz, d nf(x,y). Замечание. Значение
7?-окрестность точки M0??n без самой дифференциала n-го порядка функции f(x,y)
точки M0 будем называть проколотой и в точке (x0,y0) обозначают d nz(M0), d nf
обозначать U*(M0,?) Пусть функция n (x0,y0) . Дифференциалы порядка n > 1
переменных u = f(M) определена в некоторой называют дифференциалами высших порядков.
окрестности точки M0??n , кроме, может Если функция z = f(x,y) имеет дифференциал
быть, самой M0 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число A?? порядка n, то ее называют n раз
называется пределом функции f(M) при M дифференцируемой. ТЕОРЕМА 3 (о связи
стремящемся к M0 (пределом функции f(M) в дифференциала n-го порядка и n-х частных
точке M0), если ??>0 ??>0 такое, что производных). Если все производные k-го
если M?U*(M0, ?) , то f(M)?U(A, ?) . порядка функции z = f(x,y) в области D
Записывают в общем случае: Для функции z = непрерывны, то она k раз дифференцируема.
f(x,y): При этом имеет место символическая
8Замечания. 1) Условие M?U*(M0,?) формула.
означает, что выполняется неравен- ство: 34Замечание. 1) Чтобы записать
2) Условие f(M)?U(A,?) означает, что для дифференциал по формуле (6) необходимо: а)
f(M) выполняется неравенство | f(M) – A | формально раскрыть скобку по биномиальному
< ? 3) Так как формально определение закону, б) умножить получившееся выражение
предела функции n пере- менных ничем не на f(x,y), в) заменить каждое произведение
отличается от определения предела функции частной производной Например, для n = 2
одной переменной, то все утверждения, получим: Для n = 3 получим:
которые были получены о пределах функции 352) Символическая формула для
одной переменной и в которых не нахождения дифференциала dku функции u =
используется упорядоченность точек f(x1,x2,…xn) будет иметь вид при условии,
числовой прямой, остаются верными и для что x1,x2,…xn – независимые аргументы. 3)
предела функции n переменных. 4) В теореме 3 предполагается, что z = f(x,y)
Определение бесконечно большой функции – k раз дифференцируемая функция 2-х
переносится на случай функции n переменных независимых переменных. Если x,y –
тоже дословно (сформулировать функции, то она не будет справедлива. Т.е.
самостоятельно). формула (6) не является инвариантной.
93. Непрерывность функции нескольких 36§12. Частные производные сложных ФНП.
переменных. Пусть u = f(M) определена в Пусть z = f(x,y), где x = ?1(u,v), y =
некоторой окрестности M0 ??n . ОПРЕДЕЛЕНИЕ ?2(u,v). Тогда z – сложная функция
1. Функция f(M) называется непрерывной в независимых переменных u и v. Переменные x
точке M0 если справедливо равенство и y называются для z промежуточными
Справедливы утверждения: 1) арифметические переменными. ЗАДАЧА: найти частные
операции над непрерывными в точке M0 производные функции z по u и v. ТЕОРЕМА 1
функциями приводят к непрерывным в этой ( о производной сложной функции). Пусть z
точке функциям (при условии, что деление = f(x,y), где x = ?1(u,v), y = ?2(u,v).
производится на функцию, не обращающуюся в Если f(x,y), ?1(u,v), ?2(u,v)
ноль); 2) сложная функция, составленная из дифференцируемы, то справедливы формулы
нескольких непрерывных функций, тоже будет (1).
непрерывной. Если функция u = f(M) 37Теорема 1 естественным образом
определена в некоторой окрестности точки обобщается на случай функции большего
M0 (за исключением, может быть, самой M0), числа независимых и промежуточных
но не является в этой точке непрерывной, аргументов. А именно, если u = f(x1, x2 ,
то ее называют разрывной в точке M0, а …, xn), где xi = ?i(t1, t2 , …, tm) (i =
саму точку M0 – точкой разрыва. 1,2, …, n), то.
10§9. Частные производные. Для 38ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ сложной ФНП 1) Пусть z
наглядности, здесь и далее все определения = f(x,y), где x = ?1(t), y = ?2(t). Тогда
и утверждения будем формулировать для z – сложная функцией одной переменной t.
функции 2-х (или 3-х) переменных. На Если f(x,y), ?1(t), ?2(t) дифференцируемы,
случай большего числа неизвестных они то справедлива формула (2) 2) Пусть z =
обобщаются естественным образом. Пусть z = f(x,y), где y = ?(x) Тогда z – сложная
f(x,y) , D(z) = D ? xOy , D – открытая функцией одной переменной x. Если f(x,y),
область. Пусть ?M0(x0,y0)?D . Придадим x0 ?(x) дифференцируемы, то справедлива
приращение ?x, оставляя значение y0 неиз- формула (3) Производная в левой части
мененным (так, чтобы точка M(x0 + формулы (3) называется полной производной
?x,y0)?D). При этом z = f(x,y) получит функции z.
приращение ?xz(M0) = f(M) – f(M0) = f(x0 + 39§13. Дифференцирование неявных
?x,y0) – f(x0,y0). ?xz(M0) называется функций. ТЕОРЕМА 1 (существования неявной
частным приращением функции z = f(x,y) по функции). Пусть функция F(x1, x2 , …, xn ,
x в точке M0(x0,y0). u) и все ее частные произ- водные 1-го
11ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предел (если он порядка определены и непрерывны в
существует и конечен) называется частной некоторой окрестности точки P0(x01 , x02 ,
производной функции z = f(x,y) по …, x0n , u0). Если F(P0) = 0 и , то ?
переменной x в точке M0(x0,y0). такая окрестность U точки M0(x01 , x02 ,
Обозначают: или. …, x0n), в которой уравнение F(x1, x2 , …,
12Замечания. 1) Обозначения и надо xn , u) = 0 определяет непрерывную функцию
понимать как целые символы, а не как u = f(x1, x2 , …, xn), причем 1) f(M0) =
частное двух величин. Отдельно взятые u0 ; 2) для любой точки M(x1, x2 , …,
выражения ?z(x0,y0) и ?x смысла не имеют. xn)?U 3) функция u = f(x1, x2 , …, xn)
2) характеризует скорость изменения имеет в окрестности U непрерывные частные
функции z = f(x,y) по x в точке M0(x0,y0) производные по всем аргументам.
(физический смысл частной производной по 40ЗАДАЧА. Найти частные производные
x). Аналогично определяется частная неявно заданной функции. 1) Пусть F(x,y)
производная функции z = f(x,y) по удовлетворяет условиям теоремы 1 в
переменной y в точке M0(x0,y0): некоторой окрестности P0(x0,y0) Тогда
Обозначают: уравнение F(x,y) = 0 определяет в
13Соответствие (и ) является функцией, некоторой окрестности U точки x0,
определенной на D1(D2)? D(f). Ее называют непрерывную функцию y = f(x). (1) 2) Пусть
частной производной функции z = f(x,y) по F(x,y,z) удовлетворяет условиям теоремы 1
переменной x (y) и обозначают Операция в окрестности P0(x0,y0,z0) . Тогда
нахождения для функции z = f(x,y) ее уравнение F(x,y,z) = 0 определяет в
частных производных называется некоторой окрест- ности U точки M0(x0,y0)
дифференцированием функции z = f(x,y) по непрерывную функцию z = f(x,y). Так как
переменной x и y соответственно. фактически это обыкновенная производная
14Фактически, – это обыкновенная про- функ- ции z = f(x,y), рассматриваемой как
изводная функции z = f(x,y), функция одной пере- менной при постоянном
рассматриваемой как функция одной значении другой, то по формуле (1)
переменной x (соответственно y) при получаем.
постоянном значении другой переменной. 41§14. Экстремумы ФНП. Пусть z = f(x,y)
Поэтому, вычисление частных производных определена в некоторой области D?xOy ,
производится по тем же самым правилам, что M0(x0,y0)?D . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Точка
и для функции одной переменой. При этом, M0(x0,y0) называется точкой максимума
одна из переменных считается константой. функции f(x,y), если ?M(x,y)?U(M0,?)
ПРИМЕР. Найти частные производные по x и выполняется неравенство f(x,y) ? f(x0,y0)
по y функции f(x,y) = x2 + xy2 + y3. . Точка M0(x0,y0) называется точкой
15ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ частных минимума функции f(x,y), если
производных функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. Пусть ?M(x,y)?U(M0,?) выполняется неравенство
функция z = f(x,y) имеет в M0(x0,y0) f(x,y) ? f(x0,y0) . Точки максимума и
частную произ- водную по x (y). Пусть минимума функции называются ее точками
поверхность S – график функции z = f(x,y). экстремума. Значения функции в точках
Тогда где ?(?) – угол наклона к оси Ox(Oy) максимума и минимума называются
касательной, проведен- ной в точке соответственно максимумами и минимумами
P0(x0,y0, f(x0,y0)) к линии пересечения (экстремумами) этой функции.
поверхнос- ти S и плоскости y = y0 (x = 42Замечания. 1) По смыслу точкой
x0). максимума (минимума) функции f(x,y) могут
16§10. Частные производные высших быть только внутренние точки области D. 2)
порядков. Пусть z = f(x,y) имеет и , Если ?M(x,y)?U*(M0,?) выполняется
определенные на D ? xOy . Функции и неравенство f(x,y) < f(x0,y0) [ f(x,y)
называют также частными производными > f(x0,y0) ], то точку M0 называют
первого порядка функции f(x,y) (или точкой строгого максимума (соответственно
первыми частными производными функции точкой строгого минимума) функции f(x,y).
f(x,y)). и в общем случае функции Определенные в 1 точки максимума и
переменных x и y . Частные производные по минимума называют иногда точками
x и по y от и , если они существуют, нестрогого максимума и минимума. 3)
называются частными производ- ными второго Понятия экстремумов носят локальный
порядка (или вторыми частными производ- характер. В рассматриваемой области
ными) функции f(x,y). функция может совсем не иметь экстремумов,
17Обозначения. может иметь несколько (в том числе
18Частные производные второго порядка в бесчисленно много) минимумов и максимумов.
общем случае являют- ся функциями двух При этом некоторые минимумы могут
переменных. Их частные производные (если оказаться больше некоторых ее максимумов.
они существуют) называют частными 43ТЕОРЕМА 2 (необходимые условия
производными третьего порядка (или экстремума). Если функция z = f(x,y) в
третьими частными производными) функции z точке M0(x0,y0) имеет экстремум, то в этой
= f(x,y). Продолжая этот процесс, назовем точке либо обе ее частные производные
частными производными порядка n функции z первого порядка равны нулю, либо хотя бы
= f(x,y) частные производные от ее частных одна из них не существует. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ
производных (n – 1)-го порядка. СМЫСЛ теоремы 2. Если M0(x0,y0) – точка
Обозначения аналогичны обозначениям для экстремума функции z = f(x,y), то
частных производ- ных 2-го порядка. касательная плоскость к графику этой
Например: Частные производные порядка n функции в точке P0(x0,y0,f(x0,y0)) либо
> 1 называют частными производными параллельна плоскости xOy, либо вообще не
высших порядков. существует. Точки, удовлетворяющие
19Частные производные высших порядков, условиям теоремы 2, называются
взятые по разным аргументам, называются критическими точками функции z = f(x,y).
смешанными. Частные производные высших 44ТЕОРЕМА 3 (достаточные условия
порядков, взятые по одному аргументу, экстремума функции ДВУХ переменных). Пусть
называют иногда несмешанными. ПРИМЕР. M0(x0,y0) – критическая точка функции z =
Найти частные производные 2-го порядка от f(x,y) и в некоторой окрестности точки M0
функции z = x4 + 3x2y5 . ТЕОРЕМА 1 функция имеет непрерыв- ные частные
(условие независимости смешанной производные до 2-го порядка включительно.
производной от последовательности Обозначим Тогда 1) если A ? C – B2 < 0
дифференцирований). Пусть z = f(x,y) в , то точка M0(x0,y0) не является точкой
некоторой области D ? xOy имеет все экстремума; 2) если A ? C – B2 > 0 и A
частные производные до n-го порядка > 0 , то в точке M0(x0,y0) функция
включительно и эти производные непрерывны. имеет минимум; 3) если A ? C – B2 > 0 и
Тогда смешанные производные порядка m (m ? A < 0 , то в точке M0(x0,y0) функция
n), отлича- ющиеся лишь имеет максимум; 4) если A ? C – B2 = 0 ,
последовательностью дифференцирований, то никакого заключения о крити- ческой
совпадают между собой. точке M0(x0,y0) сделать нельзя и требуются
20§11. Дифференцируемость функций дополнительные исследования.
нескольких переменных. 1. Дифференцируемые 45Замечание. 1) Если с помощью теоремы 3
функции нескольких переменных Пусть z = исследовать критическую точку M0(x0,y0) не
f(x,y) , D(z) = D ? xOy , D – область удалось, то ответ на вопрос о наличии в M0
(т.е. открытое связное множество). Пусть экстремума даст знак ?f(x0,y0) : а) если
?M0(x0,y0)?D . Придадим x0 и y0 приращение при всех достаточно малых ?x и ?y имеем
?x и ?y соответственно (так, чтобы точка ?f(x0,y0) < 0, то M0(x0,y0) – точка
M(x0 + ?x,y0 + ?y)?D). При этом z = f(x,y) строгого максимума; б) если при всех
получит приращение ?z(M0) = f(M) – f(M0) = достаточно малых ?x и ?y имеем ?f(x0,y0)
f(x0 + ?x,y0 + ?y) – f(x0,y0). ?z(M0) > 0, то M0(x0,y0) – точка строгого
называется полным приращением функции z = минимума. В случае нестрогих экстремумов
f(x,y) в точке M0(x0,y0), соответствующим при некоторых значениях ?x и ?y приращение
?x и ?y. функции будет нулевым 2) Определения
21ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция z = f(x,y) максимума и минимума и необходимые условия
называется дифференци- руемой в точке экстремума легко переносятся на функции
M0(x0,y0) если ее полное приращение в этой трех и более числа переменных. Достаточные
точке может быть записано в виде ?z(M0) = условия экстремума для функции n (n >
A ? ?x + B ? ?y + ?1 ? ?x + ?2 ? ?y , (1) 2) переменных ввиду их сложности в данном
где A, B – некоторые числа, ?1,?2 – курсе не рассматриваются. Определять
бесконечно малые при ?x ? 0, ?y ? 0 (или, характер критических точек для них мы
что то же, при ). Замечание. Функции ?1 и будем по знаку приращения функции.
?2 зависят от x0,y0,?x,?y. Равенство (1) 46§15. Скалярное поле. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
можно записать и в более сжатой форме: Пусть G – некоторая область в простран-
?z(M0) = A ? ?x + B ? ?y + ? ? ? , (2) где стве Oxyz [на плоскости xOy]. Говорят, что
– бесконечно малая при ? ? 0. Функция z = на G задано скалярное поле, если в каждой
f(x,y), дифференцируемая в каждой точке точке M?G определена функция 3-х
некото- рой области D, называется переменных u = f(M) [функция 2-х
дифференцируемой в D. переменных z = f(M)]. Поведение скалярного
22Напомним: для дифференцируемой функции поля характеризуют 1) производная по
y = f(x) справед- ливы утверждения: 1) y = направлению; 2) градиент.
f(x) дифференцируема в x0 ? ?f ?(x0); 2) y 471. Производная по направлению. Пусть z
= f(x) дифференцируема в x0 ? y = f(x) = f(x,y) определена в области D?xOy ,
непрерывна в x0 . ТЕОРЕМА 1 (необходимые M0(x0,y0)?D, s? – некоторый вектор. Пусть
условия дифференцируемости ФНП) Пусть M(x0+?x,y0+?y) ?D , такая, что ? s?? .
функция z = f(x,y) дифференцируема в точке ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует и конечен то
M0(x0,y0). Тогда она непрерывна в этой его называют производной функции z =
точке и имеет в ней частные производные по f(x,y) в точке M0(x0,y0) по направлению
обеим независимым переменным. Причем. вектора s? . Обозначают:
23Замечания. 1) С учетом теоремы 1 48ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ПО
равенства (1) и (2) можно записать НАПРАВЛЕНИЮ – средняя скорость изменения
соответственно в виде: (3) (4) где ?1,?2 – функции z = f(x,y) на отрезке M0M . –
бесконечно малые при ?x ? 0, ?y ? 0, ? – скорость изменения функции z = f(x,y) в
бесконечно малая при ? ? 0. 2) Утверждение точке M0(x0,y0) в направлении вектора s? .
обратное теореме 1 неверно. Из Так же как и для функции одной переменной
непрерывности функции двух переменных в доказывается, что 1) если , то функция в
точке и существования в этой точке ее точке M0(x0,y0) в направле- нии вектора s?
частных производных еще не следует возрастает; 2) если , то функция в точке
дифферен- цируемость функции. M0(x0,y0) в направле- нии вектора s?
24ПРИМЕР. Функция непрерывна в точке убывает; 3) если , то в направлении
(0;0) и имеет в этой точке частные вектора s? функция не изменяется. ?
производные, но не явля- ется в этой точке направление вектора s? – направление линии
дифференцируемой. ТЕОРЕМА 2 (достаточные уровня функ- ции, проходящей через точку
условия дифференцируемости ФНП) Пусть M0 (вектор s? является касательным к линии
функция z = f(x,y) имеет в некоторой уровня в точке M0).
окрестности точки M0(x0,y0) частные 49Замечание. Частные производные функции
производные и , причем в самой точке M0 являются частным случаем производной по
эти производные непрерывны. Тогда функция направлению. А именно: – производная
z = f(x,y) дифференцируема в этой точке. функции по направлению век- тора i
252. Дифференциал ФНП. Пусть функция z = (направлению оси Ox); – производная
f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0). функции по направлению век- тора j
Тогда где ?1,?2 – бесконечно малые при ?x (направлению оси Oy).
? 0, ?y ? 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если z = f(x,y) 50Пусть z = f(x,y) дифференцируема в
дифференцируема в точке M0(x0,y0), то точке M0(x0,y0). Тогда где ? – бесконечно
линейная относительно ?x и ?y часть ее малая при Обозначим | M0M | = ? . Тогда ?x
пол- ного приращения в этой точке, т.е. = ? ? cos? , ?y = ? ? cos? где cos?, cos?
называется полным дифференциалом функции z – направляющие ко синусы вектора s? .
= f(x,y) в точке M0(x0,y0) и обозначается Следовательно, Разделив на | M0M | = ? и
dz(M0) или df(x0,y0). перейдя к пределу при ? ? 0, полу- чим.
26ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ полного 51где cos? , cos? – направляющие
дифференциала функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. косинусы вектора s? . Замечание.
Пусть S – поверхность, P0 – фиксированная Аналогично определяется и обозначается
точка на поверхности S, P – текущая точка производ- ная по направлению для функции
на поверхности S. Проведем секущую прямую 3-х переменных u = f(x,y,z). Для нее
PP0. Плоскость, проходящая через точку P0, получим где cos? , cos? , cos? –
называется касатель- ной плоскостью к направляющие косинусы вектора s?.
поверхности S в точке P0, если угол между 522. Градиент. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Градиентом
секущей PP0 и этой плоскостью стремится к функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0)
нулю когда точка P стремится к P0, называется вектор с координатами
двигаясь по поверхности S произвольным Обозначают: gradz(M0). СВОЙСТВА ГРАДИЕНТА
образом. 1) gradz(M0) определяет направление, в
27Прямая, проходящая через точку P0 котором функция в точке M0 возрастает с
перпендикулярно касатель- ной плоскости к наибольшей скоростью. При этом | gradz(M0)
поверхности в этой точке, называется | равен наибольшей скорости изменения
нормалью к поверхности в точке P0. функции в точке M0. 2) gradz(M0)
ДОКАЗАНО, что 1) если функция z = f(x,y) перпендикулярен к линии уровня функции z =
дифференцируема в точке M0(x0,y0), то f(x,y), проходящей через точку M0.
поверхность z = f(x,y) имеет в точке Замечание. Для функции 3-х переменных
P0(x0,y0,f(x0,y0)) касательную плоскость. градиент определя- ется и обозначается
Ее уравнение: ? уравнение нормали к аналогичным образом, и сохраняет все свои
поверхности z = f(x,y) в свойства.
P0(x0,y0,f(x0,y0)):
Функция нескольких переменных.ppt
http://900igr.net/kartinka/algebra/funktsija-neskolkikh-peremennykh-119731.html
cсылка на страницу

Функция нескольких переменных

другие презентации на тему «Функция нескольких переменных»

«Переменные Visual Basic» - Типы переменных. Имена переменных. Присваивание переменным значений. Объявление переменных. Переменная. Пример программного кода Visual Basic. Переменные: тип, имя, значение. A = 216 b = -31576 c = 3.1415926 D = “visual basic” А = А - 10. Byte, short, integer, long, single, double – типы числовых значений.

«Трансформатор переменного тока» - Трансформаторы и электрические машины переменного тока. Переменный электрический ток. Трансформатор может работать только на переменном токе. Переменный ток. Практическое применение: Снижение илы тока в n раз снижает потери в n2 раз. При k< 1трансформатор называется повышающим, а при k>1 – понижающим.

«Переменный электрический ток» - Ф=b*s*cos ?. P=I2R. i=Im cos ?t. Переменный Электрический ток. При равномерном вращении рамки угол ? увеличивается прямо пропорционально времени. P=i2R. P = i*U = ImUm cos2 ?t. Свободные электромагнитные колебания в контуре быстро затухают и поэтому практически не используются. В результате средняя мощность за период.

«Предел переменной» - f(0,9)=2,9 f(0,99)=2,99 f(0,999)=2,999 f(1,1)=3,1 f(1,01)=3,101. Определение. Предел переменной величины. Вычислить пределы: Определение: lim a=a; lim (x+y+z+…+t)=lim x+lim y+…+lim t; lim (xy…t)=lim x lim y …lim t; lim (cx)=c lim x; lim (x/y)=(lim x) / (lim y); Найти предел. F(x)=x+2, при х 1. Основные свойства пределов:

«Многочлен с одной переменной» - Многочлены х2 + 5 и х – 3 — делители многочлена х3 – Зх2 + 5х – 15. Деление многочлена на многочлен с остатком. Теорема Безу. Познакомиться с действием деления многочленов от одной переменной. Теорема. Деление многочлена на многочлен. Многочлены от одной переменной. Теорема 5. Пусть все коэффициенты многочлена р(х) — целые числа.

«Графики функций» - Область значений функции – все значения зависимой переменной у. Область определения и область значений функции. Графиком функции является кубическая парабола. Графиком функции является ветвь параболы. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат. Каждую прямую соотнесите с её уравнением:

Без темы

326 презентаций
Урок

Алгебра

35 тем

Похожие
презентации

Картинки
900igr.net > Презентации по алгебре > Без темы > Функция нескольких переменных