Вероятность
<<  Учебный курс «Теория вероятностей и статистика» Элементы комбинаторики и ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ  >>
Лекция 1. Соотношения между событиями
Лекция 1. Соотношения между событиями
Лекция 1. Соотношения между событиями
Лекция 1. Соотношения между событиями
Лекция 1. Соотношения между событиями
Лекция 1. Соотношения между событиями
Лекция 1. Соотношения между событиями
Лекция 1. Соотношения между событиями
Лекция 1. Соотношения между событиями
Лекция 1. Соотношения между событиями
Лекция 1. Соотношения между событиями
Лекция 1. Соотношения между событиями
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Вероятность события и способы ее определения
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностей
Лекция 2. Формула полной вероятности и теорема гипотез (формула
Лекция 2. Формула полной вероятности и теорема гипотез (формула
Лекция 2. Формула полной вероятности и теорема гипотез (формула
Лекция 2. Формула полной вероятности и теорема гипотез (формула
Лекция 2. Формула полной вероятности и теорема гипотез (формула
Лекция 2. Формула полной вероятности и теорема гипотез (формула
Лекция 2. Формула полной вероятности и теорема гипотез (формула
Лекция 2. Формула полной вероятности и теорема гипотез (формула
Лекция 2. Формула полной вероятности и теорема гипотез (формула
Лекция 2. Формула полной вероятности и теорема гипотез (формула
Лекция 2. Формула полной вероятности и теорема гипотез (формула
Лекция 2. Формула полной вероятности и теорема гипотез (формула
Лекция 2. Формула полной вероятности и теорема гипотез (формула
Лекция 2. Формула полной вероятности и теорема гипотез (формула
Лекция 2. Формула полной вероятности и теорема гипотез (формула
Лекция 2. Формула полной вероятности и теорема гипотез (формула
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 2. Повторение испытаний
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 3. Законы распределения случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 4. Числовые характеристики случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 5. Некоторые законы распределения случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 6. Законы распределения системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 8. Нормальный закон распределения системы двух случайных
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 9. Закон распределения функции одного случайного аргумента
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Лекция 10
Картинки из презентации «Курс теории вероятностей и основы математической статистики» к уроку алгебры на тему «Вероятность»

Автор: user. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Курс теории вероятностей и основы математической статистики.pptx» со всеми картинками в zip-архиве размером 808 КБ.

Курс теории вероятностей и основы математической статистики

содержание презентации «Курс теории вероятностей и основы математической статистики.pptx»
Сл Текст Сл Текст
1Курс теории вероятностей и основы 50такое возможное значение, которому
математической статистики. Лекционный соответствует наибольшее значение
материал Преподаватель – В.Н. Бондаренко. плотности распределения ? (х) Медиана
2Содержание. Тема 1. Случайные события случайной величины X – такое значение
Тема 2. Случайные величины Тема 3. Системы случайной величины, которое определяется
двух случайных величин Тема 4. Функции из следующего соотношения:
случайных величин Тема 5. Статистические 51Лекция 4. Числовые характеристики
функциональные и числовые характеристики. случайных величин. Дисперсия и среднее
3Тема 1. Случайные события. Лекция 1. квадратическое отклонение – характеристики
Соотношение между событиями. Вероятность рассеивания (разброса) возможных значений
события и способы ее определения. Формулы случайной вели­чины относительно
сложения и умножения вероятностей Лекция математического ожидания: Расчетные
2. Формула полной вероятности и теорема формулы: где X – дискретная случайная
гипотез (формула Байеса). Повторение величина, где X – непрерывная случайная
испытаний. величина.
4Лекция 1. Соотношения между событиями. 52Лекция 4. Числовые характеристики
Событием называется результат некоторого случайных величин. Пример 2.4 В условиях
опыта. Событие называется случайным, если примера 2.1. найти значения: Решение: Мо =
в данном опыте оно может наступить, но 1, Ме – не существует,
может и не наступить. Случайные события 53Лекция 4. Числовые характеристики
обозначаются буквами А, В, С, … Событие U случайных величин. Пример 2.5 В условиях
называется достоверным, если в данном примера 2.3. найти значения: Решение: Для
опыте оно обязательно наступит. Событие V расчета Dx в данном случае удобнее
называется невозможным, если в данном пользоваться формулой:
опыте оно наступить не может. 54Лекция 5. Некоторые законы
5Лекция 1. Соотношения между событиями. распределения случайных величин. Пример
Событие А называется частным случаем 2.1 По мишени производится 3 независимых
события В, если при наступлении А выстрела. Вероятности попадания в мишень
наступает и событие В, что записывается при первом, втором и третьем выстреле,
символом А В. События А и В называются соответственно, равны: 0,3; 0,4; 0,5.
равными, если каждое из них является Составить ряд распределения числа
частным случаем другого, что записывается попаданий в мишень. Решение: Обозначим
символом А=В. Событие А+В называется через Х число попаданий в мишень.
суммой событий А и В и наступает тогда, Возможные значения этой случайной
когда наступает хотя бы одно из этих величины: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3.
событий: А или В. Событие АВ называется Для построения ряда распределения Х
произведением событий А и В и наступает необходимо найти вероятности этих
тогда, когда наступают оба из этих возможных значений. С этой целью введем
событий: А и В. Понятия суммы и события: A1, A2, A3 – попадание в мишень,
произведения двух событий очевидны для соответственно, при первом, втором,
случая любого количества событий. третьем выстреле.
6Лекция 1. Соотношения между событиями. 55Лекция 5. Некоторые законы
События А и В называются несовместными, распределения случайных величин.
если они не могут наступить вместе в одном Дискретные распределения: – Биномиальный
и том же опыте, т.е. АВ=V. Событие ? закон распределения – Закон распределения
называется противоположным по отношению к Пуассона Непрерывные распределения: –
событию А, если при наступлении события ? Равномерное распределение – Показательное
событие А не наступает. Наиболее простые распределение – Нормальное распределение.
исходы опыта E1, E2, …, En называются 56Лекция 5. Некоторые законы
элементарными исходами, которые образуют распределения случайных величин.
полную группу попарно несовместных Биномиальный закон распределения – это
событий. закон распределения случайной величины Х –
7Лекция 1. Соотношения между событиями. числа появлений события A в n независимых
Пример 1.1 Опыт состоит в бросании испытаниях, в каждом из которых
игральной кости: – событие Аi (i= ) – вероятность появления события A равна p.
выпадение i очков; – событие А – выпадение Пусть для заданного целого числа m Pn(m)
четного числа очков; – событие В – обозначает вероятность того, что в n
выпадение нечетного числа очков; – событие испытаниях событие A наступает ровно m раз
С – выпадение числа очков, кратного 3; – (X = m). Эта вероятность вычисляется по
событие D – выпадение числа очков, формуле Бернулли:
большего 3. Выразите события А, В, С и D 57Лекция 5. Некоторые законы
через Аi. Решение: распределения случайных величин. Закон
8Лекция 1. Соотношения между событиями. распределения Пуассона – это закон
Пример 1.2 Электрическая схема состоит из распределения случайной величины Х в
четырех однотипных элементов, включенных условиях биномиального закона
по схеме, представленной на рис. 1. Выход распределения при больших n и p – очень
из строя элемента i (i= ) – событие Аi. малая величина. В этих условиях
Записать через Аi события С и , если С – вероятности Рn(m) определяются по формуле
разрыв цепи. Решение: Пуассона: где – среднее число появлений
9Лекция 1. Вероятность события и события в n испытаниях. Для этого
способы ее определения. Каждому событию А распределения.
ставится в соответствие неотрицательное 58Лекция 5. Некоторые законы
число Р(А), называемое вероятностью распределения случайных величин. Пример
события А и представляющее количественную 2.6 Техническое устройство состоит из 1000
меру объективной возможности появления независимо работающих элементов.
события A при проведении испытания. Вероятность отказа любого элемента в
Вероятность события A обладает следующими течение времени t одинакова и равна 0,002.
свойствами: Определить вероятность того, что за время
10Лекция 1. Вероятность события и t откажут ровно 3 элемента. Решение:
способы ее определения. Классический 59Лекция 5. Некоторые законы
способ определения вероятности Вероятность распределения случайных величин.
Р(А) вычисляется по формуле: где NA – Равномерное распределение где a и b –
число равновозможных элементарных исходов постоянные величины.
испытания, благоприятствующих появлению 60Лекция 5. Некоторые законы
события А; N – общее число равновозможных распределения случайных величин. Графики
элементарных исходов испытания. функций ?(x) и F(x) представлены на рис.
11Лекция 1. Вероятность события и 16 и рис. 17.
способы ее определения. Пример 1.3 Из 61Лекция 5. Некоторые законы
урны, содержащей m белых и n черных шаров, распределения случайных величин.
наугад извлекается один шар. Какова Показательное распределение.
вероятность того, что этот шар будет: 62Лекция 5. Некоторые законы
белым, черным? Решение: Введем события А и распределения случайных величин. Графики
В – извлекаемый шар будет, соответственно, функций ?(x) и F(x) представлены на рис.
белым, черным. Тогда числа 18 и рис. 19.
благоприятствующих этим событиям исходов, 63Лекция 5. Некоторые законы
соответственно, равны: NA = m и NB = n. распределения случайных величин.
Общее число равновозможных элементарных Нормальное распределение где m к –
исходов N = m + n. Следовательно: математическое ожидание, ?к – среднее
12Лекция 1. Вероятность события и квадратическое отклонение.
способы ее определения. Геометрический 64Лекция 5. Некоторые законы
способ определения вероятности Для этого распределения случайных величин. где –
способа вероятность события A определяется функция Лапласа.
по формуле: где g(A) – мера (длины, 65Лекция 5. Некоторые законы
площади, объема) области, распределения случайных величин. Графики
благоприятствующей появлению события А при функций ?(x) и F(x) представлены на рис.
проведении испытания; G – мера всей 20 и рис. 21.
области элементарных исходов испытания. 66Лекция 5. Некоторые законы
13Лекция 1. Вероятность события и распределения случайных величин. В
способы ее определения. Пример 1.4 В круге некоторых задачах вместо ?x используется
радиусом R наугад выбирается точка. характеристика рассеивания Ех (вероятное
Определить вероятность того, что эта точка отклонение), значение которой находится из
окажется внутри вписанного в круг условия: «Правило трех сигм» определяется
правильного треугольника. Решение: Искомая соотношением:
вероятность равна отношению площади 67Тема 3. Системы двух случайных
треугольника к площади круга: величин. Лекция 6. Законы распределения
14Лекция 1. Вероятность события и системы двух случайных величин Лекция 7.
способы ее определения. Пример 1.5. Числовые характеристики системы двух
(Задача о встрече) Двое условились случайных величин Лекция 8. Нормальный
встретиться между 12 и 13 часами дня. закон распределения системы двух случайных
Каждый ждет другого 20 минут, после чего величин.
уходит. Какова вероятность того, что 68Лекция 6. Законы распределения системы
встреча состоится, если приход каждого в двух случайных величин. В том случае,
течение часа происходит наугад и моменты когда для исследования случайных явлений
прихода независимы? Решение: Пусть х и у – приходиться использовать две случайные
моменты прихода договорившихся сторон к величины X и Y совместно, говорят, что
месту встречи; (в часах). Тогда условие имеет место система {X, Y} двух случайных
встречи запишется в виде: величин. Возможные значения системы {X, Y}
15Лекция 1. Вероятность события и представляют собой случайные точки (x, y)
способы ее определения. Эту задачу в в области возможных значений системы.
данных условияx можно представить Различают дискретные и непрерывные системы
геометрически (см. рис. 2). Искомая в зависимости от типа входящих в них
вероятность, очевидно, равна отношению случайных величин. Закон распределения
площади выделенного шестиугольника к дискретной системы задается в виде таблицы
площади квадрата(1 1): или функции распределения.
16Лекция 1. Вероятность события и 69Лекция 6. Законы распределения системы
способы ее определения. Статический способ двух случайных величин. Таблица
определения вероятности В качестве меры распределения системы {X, Y} содержит
вероятности Р(А) принимается частота совокупность величин xi, yj и P(xi,yj),
появления события А после проведения n где P(xi,yj)=P(X=xi,Y=yj), n, m – числа
испытаний: где m(A) – число испытаний, при возможных значений случайной величины X,
которых имело место появление события А. Y, соответственно. Функция распределения
Чем больше n, тем устойчивее P*(А) системы {X, Y} задается в виде:
стабилизируется относительно Р(А), т.е.: 70Лекция 6. Законы распределения системы
17Лекция 1. Вероятность события и двух случайных величин. Закон
способы ее определения. Пример 1.6 распределения непрерывной системы {X, Y}
Французский ученый Бюффон (1707 – 1788) может быть представлен функцией
бросал монету 4040 раз, и при этом герб распределения F(x, y) или плотностью
выпал 2048 раз. Следовательно, частота распределения ?(x, y):
выпадения герба (событие A) в данной серии 71Лекция 6. Законы распределения системы
испытаний равна: двух случайных величин. Частные
18Лекция 1. Вероятность события и распределения системы {X, Y} – это законы
способы ее определения. Пример 1.7 распределения каждой из случайных величин
Английский математик Пирсон (1857–1936) X и Y. Если X и Y – дискретные случайные
бросал монету 24000 раз, причем герб выпал величины, то вероятности P(xi) и P(yj),
12012 раз. Следовательно, частота необходимые для нахождения их законов
выпадения герба (событие A) в данной серии распределения, находятся из таблицы
испытаний равна: Из этих примеров следует, распределения по формулам: Для непрерывных
что с увеличением числа бросаний монеты систем {X, Y} частные плотности
частота выпадения герба стабилизируется распределения имеют вид:
относительно числа 0,5, которое и является 72Лекция 6. Законы распределения системы
вероятностью выпадения герба при бросании двух случайных величин. Условные
монеты. распределения определяются: условными
19Лекция 1. Формулы сложения и умножения вероятностями P(xi/yj), P(yj/xi) для
вероятностей. где события Аi (i = ) дискретных систем {X, Y} и условными
попарно несовместны; где и – условные плотностями распределения (x/y), (y/x) для
вероятности появления одного из событий (A непрерывных систем {X, Y}:
или B) при условии, что другое событие (B 73Лекция 6. Законы распределения системы
или A) наступило в результате испытания; двух случайных величин. Условия
20Лекция 1. Формулы сложения и умножения независимости случайных величин X и Y: –
вероятностей. если события A и B для дискретных систем (8) – для
независимы, т.е. когда выполняются непрерывных систем (9) При выполнении этих
соотношения: 5. Если события Аi (i = ) соотношений, следует: (10) (11)
зависимы, тогда: Вероятность попадания возможных значений
21Лекция 1. Формулы сложения и умножения непрерывной системы {X, Y} в область (D)
вероятностей. Пример 1.8 Из урны, определяется по формуле: (12).
содержащей 6 белых, 4 черных и 2 красных 74Лекция 6. Законы распределения системы
шара, наугад извлекаются 3 шара. Какова двух случайных величин. Пример 3.1 Закон
вероятность того, что эти шары будут распределения системы {X, Y} задан
одного цвета? Решение: 1-й способ: таблицей: Требуется: а) найти частные
Рассмотрим два события А и В – все три распределения X и Y; б) условный закон
извлеченных шара, соответственно, белого и распределения Y при X= -1; в) определить,
черного цвета, тогда искомая вероятность зависимы ли величины X и Y? yj xi. -1. 0.
определяется по формуле: 1. -1. 1/6. 1/12. 7/24. 1. 1/8. 1/3. 0.
22Лекция 1. Формулы сложения и умножения 75Лекция 6. Законы распределения системы
вероятностей. где С учетом того, что двух случайных величин. Решение: а) Найти
(число сочетаний из n элементов по m), частные распределения X и Y б) Условный
получим: закон распределения Y при X= -1. При Х= -1
23Лекция 1. Формулы сложения и умножения случайная величина Y имеет следующий закон
вероятностей. 2-ой способ: Рассмотрим распределения: в) Определить, зависимы ли
дополнительно к введенным событиям А и В величины X и Y? Так как в безусловном и
следующие события: A1, B1 - выемка первым условном законах распределения вероятности
белого, черного шара, A2, B2 - выемка P(yj) и P(yj / X = -1) различны, то,
вторым белого, черного шара, A3, B3 - следовательно, случайные величины X и Y
выемка третьим белого, черного шара. зависимы. xi. -1. 1. . yj. -1. 0. 1.
Тогда: P(xi). 13/24. 11/24. . P(yj). 7/24.
24Лекция 2. Формула полной вероятности и 10/24. 7/24. yj. -1. 0. 1. P(yj / X = -1).
теорема гипотез (формула Байеса). Формула 4/13. 2/13. 7/13.
полной вероятности: где Нi ( ) – полная 76Лекция 6. Законы распределения системы
группа попарно несовместных событий, с двух случайных величин. Пример 3.2 Дана
каждым из которых происходит событие А. система {X, Y}, равномерно распределенная
25Лекция 2. Формула полной вероятности и в квадрате |x|+|y|?1 (см. рис. 22).
теорема гипотез (формула Байеса). Пример Определить: а) частные законы
1.9 В первой урне находится 7 белых и 3 распределения X и Y; б) зависимы ли эти
черных шара, во второй – 8 белых и 4 случайные величины?
черных шара, в третьей – 2 белых и 13 77Лекция 6. Законы распределения системы
черных шаров. Из этих урн наугад двух случайных величин. Решение: Закон
выбирается одна урна, из которой случайным распределения {X, Y} имеет вид: Плотность
образом извлекается один шар. Какова при |x|?1 определяется по формуле:
вероятность того, что извлеченный шар 78Лекция 6. Законы распределения системы
окажется белым? двух случайных величин. Тогда (см. рис.
26Лекция 2. Формула полной вероятности и 23): Аналогично для ?(y) получим: Так как
теорема гипотез (формула Байеса). Решение: условие независимости не выполняется: то
Рассматриваемое событие А (из выбранной случайные величины X и Y зависимы.
урны извлечен белый шар) связано с 79Лекция 7. Числовые характеристики
гипотезами (событиями) Н1, Н2, Н3 о том, системы двух случайных величин. К числовым
что из трех урн, соответственно, выбрана характеристикам системы {X, Y} относятся:
первая, вторая, третья. Эти гипотезы числовые характеристики случайных величин
образуют полную группу попарно X и Y: mx, my, Dx, Dy, ?x, ?y; числовые
несовместных событий с вероятностями: характеристики условных распределений:
27Лекция 2. Формула полной вероятности и mx/y, my/x, Dx/y, Dy/x, ?x/y, ?y/x;
теорема гипотез (формула Байеса). Условные числовые характеристики связи случайных
вероятности легко вычисляются классическим величин: Kxy и rxy.
способом: Тогда, используя формулу полной 80Лекция 7. Числовые характеристики
вероятности, получим: системы двух случайных величин. Числовые
28Лекция 2. Формула полной вероятности и характеристики первой группы определяются
теорема гипотез (формула Байеса). Теорема по ранее приведенным формулам. Числовые
гипотез (формула Байеса): характеристики второй группы применительно
29Лекция 2. Формула полной вероятности и к непрерывной системе {X, Y} определяются
теорема гипотез (формула Байеса). Пример по формулам: Для дискретных систем {X, Y}
1.10 В условиях примера 1.9. найти эти формулы очевидны.
вероятности того, что из трех урн была 81Лекция 7. Числовые характеристики
выбрана первая, вторая, третья, если стало системы двух случайных величин. Величины
известно, что в результате опыта был Kxy и rxy являются характеристиками
извлечен белый шар. Решение: С линейной корреляционной зависимости между
использованием формулы Байеса получим: Из X и Y; они определяются зависимостями:
сравнения этих вероятностей можно сделать (15) где Kxy – корреляционный момент или
вывод, что наиболее вероятно белый шар был момент связи между X и Y; – коэффициент
извлечен из первой урны. корреляции между X и Y, -1 ? rx ? 1. (16)
30Лекция 2. Повторение испытаний. Коэффициент корреляции характеризует
Формула Бернулли: где n – число степень линейной корреляционной
независимых испытаний, n >1; m – число зависимости между X и Y.
появлений события А, ; р – вероятность 82Лекция 7. Числовые характеристики
появления А в отдельном испытании, которая системы двух случайных величин. Под
не меняется от испытания к испытанию; q = корреляционной зависимостью понимается
1 - p. такая зависимость, когда с изменением
31Лекция 2. Повторение испытаний. одной случайной величины, например X, у
Наиболее вероятное число появлений события другой – Y изменяется ее математическое
Если число (np + р) не является целым, то ожидание (my/x). При |rxy|=1 имеет место
, т.е. k0 – целая часть числа (nр + р). линейная функциональная связь между X и Y,
Если же (nр + р) – целое число, то k0 при rxy=0 случайные величины X и Y
имеет два значения: и . Вероятность некоррелированы. Если X и Y независимы, то
наступления события A хотя бы один раз: они и некоррелированы. Если rxy=0, то
32Лекция 2. Повторение испытаний. Число случайные величины X и Y могут быть
испытаний, не менее которого достаточно зависимы.
провести, чтобы с вероятностью, не меньшей 83Лекция 7. Числовые характеристики
чем ?, можно было бы ожидать наступления системы двух случайных величин. Пример 3.3
события А хотя бы один раз в условиях В условиях примера 3.1. определить: mx,
формулы Бернулли, может быть определена по my, Dx, Dy, Kxy, rxy. Решение:
формуле: Минимальное число таких испытаний 84Лекция 7. Числовые характеристики
равно: системы двух случайных величин. Пример 3.4
33Лекция 2. Повторение испытаний. Пример В условиях примера 3.2. определить
1.11 Вероятность попадания в мишень при числовые характеристики системы {X, Y}.
одном выстреле равна 0,8 и не меняется от Решение:
выстрела к выстрелу. Требуется найти 85Лекция 7. Числовые характеристики
вероятность того, что при 5 выстрелах системы двух случайных величин. – это
будет иметь место: – ровно два попадания в плотность равномерного распределения в
мишень; – хотя бы одно попадание. Решение: интервале (-(1-|x|), (1-|x|)) Аналогично
34Лекция 2. Повторение испытаний. Пример можно записать выражения для mx/y , Dx/y .
1.12 Найти наиболее вероятное число 86Лекция 8. Нормальный закон
выпадений герба при 25 бро­саниях монеты. распределения системы двух случайных
Решение: Так как есть целое число, то величин. В общем случае, когда случайные
имеем два значения k0: величины, входящие в систему {X, Y},
35Лекция 2. Повторение испытаний. Пример зависимы, плотность нормального
1.13 Сколько следует провести независимых распределения имеет вид: (17) Частные
испытаний при р = 0,7, чтобы вероятность распределения определяются по формулам:
Р(m ? 1) была не менее 0,9? Решение: (18) (19).
36Тема 2. Случайные величины. Лекция 3. 87Лекция 8. Нормальный закон
Законы распределения случайных величин распределения системы двух случайных
Лекция 4. Числовые характеристики величин. Условные плотности ?(x/y) и
случайных величин Лекция 5. Некоторые ?(y/x) имеют вид нормальных распределений:
законы распределения случайных величин. (20) (21) где (22) (23) (24) (25).
37Лекция 3. Законы распределения 88Лекция 8. Нормальный закон
случайных величин. Случайной величиной распределения системы двух случайных
называется такая величина, которая в величин. Если случайные величины X и Y
результате опыта может принять то или иное независимы, то и плотность принимает вид:
числовое значение (из числа возможных) (26) Вероятность попадания нормально
заранее неизвестно какое именно. Случайные распределенной системы {X,Y} (в случае
величины обозначаются заглавными буквами . независимых случайных величин X и Y) в
Возможные значения случайных величин прямоугольник со сторонами, параллельными
обозначаются соответствующими малыми осям координат, определятся с помощью
буквами. функции Лапласа по формуле: (27).
38Лекция 3. Законы распределения 89Лекция 8. Нормальный закон
случайных величин. Различают два основных распределения системы двух случайных
вида случайных величин: дискретные и величин. Пример 3.5 Определить вероятность
непрерывные. Возможные значения дискретных попадания снаряда в цель, имеющую форму
случайных величин изолированы друг от прямоугольника с координатами центра:
друга, их количество может быть конечным xц=10 м, yц =5 м. Стороны прямоугольника
или счетным. Возможные значения параллельны осям координат и равны: по оси
непрерывных случайных величин полностью ox: 2 =20 м, по оси oy: 2k = 40 м.
заполняют некоторый интервал числовой оси. Координаты точки прице-ливания: mx=5м, my
39Лекция 3. Законы распределения =5 м. Характеристики рассеивания снарядов
случайных величин. Закон распределения по осям ox и oy, соответственно, равны:
дискретной случайной величины может быть ?x=20 м, ?y =10 м. Решение: Обозначим
представлен в виде ряда распределения или площадь прямоугольника через D. Тогда:
функции распределения. Ряд распределения 90Тема 4. Функции случайных величин.
представляет собой таблицу, в которой Лекция 9. Закон распределения функции
содержатся все возможные значения одного случайного аргумента Лекция 10.
случайной величины и их вероятности. Числовые характеристики функции случайных
Функция распределения задается в следующем величин.
виде: Эта функция для дискретной случайной 91Лекция 9. Закон распределения функции
величины является неубывающей ступенчатой одного случайного аргумента. Порядок
функцией. нахождения закона распределения функции
40Лекция 3. Законы распределения Y=y(X), где X – дискретная случайная
случайных величин. Закон распределения величина, представлен в примере 4.1. Если
непрерывной случайной величины может быть возможные значения случайных величин X и Y
представлен в виде функции распределения связаны функциональной зависимостью
F(x) и плотности распределения . Функция y=y(x), где y(x) – непрерывна и
распределения F(x) непрерывной случайной дифференцируема, и известен закон
величины – неубывающая непрерывная распределения случайной величины X- , то
функция. Функции F(x) и связаны следующими закон распределения случайной величины Y-
соотношениями: для случая, когда y(x) монотонно
41Лекция 3. Законы распределения возрастает или убывает в диапазоне своих
случайных величин. Вероятность попадания возможных значений, выражается формулой
возможных значений случайной величины X в (1): (1) (2) В формуле (1) x(y) есть
интервал может быть найдена по формуле: обратная функция. В том случае, когда
Эта формула является общей для дискретных функция y(x) имеет n участков убывания и
и непрерывных случайных величин. Для возрастания, то эта формула записывается в
непрерывных случайных величин эта виде (2).
вероятность может быть вычислена также по 92Лекция 9. Закон распределения функции
формуле: одного случайного аргумента. Пример 4.1
42Лекция 3. Законы распределения Случайная величина X имеет закон
случайных величин. Пример 2.1 По мишени распределения: Найти закон распределения
производится 3 независимых выстрела. случайной величины Решение: Находим
Вероятности попадания в мишень при первом, возможные значения функции при =0, 1, 2,
втором и третьем выстреле, соответственно, 3. Они, соответственно, равны: 1, 2, 1, 0.
равны: 0,3; 0,4; 0,5. Составить ряд Следовательно, возможными значениями
распределения числа попаданий в мишень. являются: 0, 1, 2. xi. 0. 1. 2. 3. Pxi.
Решение: Обозначим через Х число попаданий 0,1. 0,3. 0,4. 0,2.
в мишень. Возможные значения этой 93Лекция 9. Закон распределения функции
случайной величины: x1 = 0, x2 = 1, x3 = одного случайного аргумента. Находим
2, x4 = 3. Для построения ряда вероятности этих возможных значений: Закон
распределения Х необходимо найти распределения Y: yj. 0. 1. 2. Pyj. 0,2.
вероятности этих возможных значений. С 0,5. 0,3.
этой целью введем события: A1, A2, A3 – 94Лекция 9. Закон распределения функции
попадание в мишень, соответственно, при одного случайного аргумента. Пример 4.2
первом, втором, третьем выстреле. Найти плотность распределения случайной
43Лекция 3. Законы распределения величины и построить ее график, если
случайных величин. Ряд распределения: случайная величина X распределена
44Лекция 3. Законы распределения равномерно на интервале Решение: График
случайных величин. Пример 2.2 В условиях функции представлен на рис. 24.
примера 2.1. найти аналитический вид 95Лекция 9. Закон распределения функции
функции распределения F(x) и построить ее одного случайного аргумента. Случайная
график. Определить вероят­ность попадания величина X имеет следующую плотность
возможных значений Х в интервал [1;3). распределения: Находим обратную функ­­цию
Решение: x(y) и ее производную:
45Лекция 3. Законы распределения 96Лекция 9. Закон распределения функции
случайных величин. Пример 2.3 Функция одного случайного аргумента. Окончательно
распределения случайной величины Х задана получим следующее выражение для плотности
в виде: Найти плотность распределения График этой плотности представлен на рис.
?(х), построить графики функций F(x) и ? 25.
(х). Определить вероятность. 97Лекция 10. Числовые характеристики
46Лекция 3. Законы распределения функции случайных величин. Основные
случайных величин. Решение: Графики F(x) и формулы:
? (х) представлены на рис. 10 и рис. 11. 98Лекция 10. Числовые характеристики
Значения вероятности представлены на функции случайных величин.
указанных рисунках. 99Лекция 10. Числовые характеристики
47Лекция 3. Законы распределения функции случайных величин. Где xi –
случайных величин. независимые случайные величины,
48Лекция 4. Числовые характеристики 100Лекция 10. Числовые характеристики
случайных величин. Рассматриваются две функции случайных величин.
основные группы числовыx характеристик 101Лекция 10. Числовые характеристики
случайных величин: 1) Характеристики функции случайных величин. Для n случайных
положения: – математическое ожидание величин числовые характеристики задаются
(M[X], mx): – мода (Мо); – медиана (Me); совокупностью и корреляционной матрицей:
2) Характеристики рассеивания (разброса): Запись в виде треугольной матрицы
– дисперсия (D[X], Dx); – среднее справедлива, т.к.
квадратическое отклонение. 102Лекция 10. Числовые характеристики
49Лекция 4. Числовые характеристики функции случайных величин. Корреляционная
случайных величин. Математическое ожидание матрица может быть представлена в
– среднее значение всех возможных значений нормированном виде, т.е. матрицей
случайной величины. Расчетные формулы: где коэффициентов корреляции:
X – дискретная случайная величина. где X – 103Лекция 10. Числовые характеристики
непрерывная случайная величина. функции случайных величин. Пример 4.3
50Лекция 4. Числовые характеристики Определить числовые характеристики
случайных величин. Мода случайной случайной величины если и Решение:
величины: – для дискретной случайной Случайная величина U есть линейная функция
величины X – такое возможное значение, случайных аргументов X, Y и Z. Поэтому с
которому соответствует наибольшее значение использованием формул (11) и (17) данного
вероятности его появления при испытании; – раздела получим:
для непрерывной случайной величины X –
Курс теории вероятностей и основы математической статистики.pptx
http://900igr.net/kartinka/algebra/kurs-teorii-verojatnostej-i-osnovy-matematicheskoj-statistiki-170623.html
cсылка на страницу

Курс теории вероятностей и основы математической статистики

другие презентации на тему «Курс теории вероятностей и основы математической статистики»

«Теория вероятности» - Закономерности в случайных событиях. Случайность и здравый смысл. История продолжается. Б.П.Гнеденко, Вечные истины. С.Н.Бернштейн (1880 - 1968). В 1933 году разработал аксиоматику, которая в настоящее время является общепринятой. С.Н.Бернштейна, Новые имена. А.Я. Хинчин (1894 - 1959). Разработал свою аксиоматику теории вероятностей.

«Математические тайны» - Послание царицы математики. УДАЧИ, искатели приключений……. Тайная записка потомкам… Главное: сумма кода вместе с числом даёт ШИФР замка. Если вы правильно всё выполнили по подсказкам, то у вас получилось…… 27100. А теперь математические термины на первую букву зашифрованные текстом.. Сумма шифра и учебного предмета должны совпасть.

«Элементы статистики» - Элементы математической статистики. «Статистическое мышление станет со временем такой же необходимостью, как и навыки к письму и чтению». Таблица данных, сгруппированных по интервалам. Основные понятия. С целью проверки успеваемости по математике каждому из 50 учеников было предложено по 20 задач. Зарегистрировав продолжительность работы 65 электронных ламп, получили следующие результаты:

«Урок по теории вероятности» - Урок 10. Урок 16. Случайный эксперимент. Актуальность темы. Зачем нужно знать вероятность события? Урок 15. Практическая работа на случайную изменчивость – 2 час Урок 11.Случайная изменчивость. Маловероятные события. Размах. Записала конспекты всех уроков в MS Word. Тема. Поурочное планирование Тема.

«Характеристики в статистике» - Среднее арифметическое. Наибольшее из чисел – 37 Наименьшее из чисел – 18 Размах ряда равен 19. Размах. Размах ряда чисел. Найти для полученных данных среднее арифметическое, размах и моду. Получили следующие данные: При изучении учебной нагрузки учащихся выделили группу из 10 семиклассников. Статистические характеристики.

«Интернет-статистика» - Все данные сопровождаются справочной информацией внизу диаграммы. Ядро аудитории, переходы из закладок. Приобрели автомобиль? 25 самых важных статистических показателей посещаемости сайта. Следите за уровнем топлива! Линейная диаграмма. Пути по сайту. Не злоупотребляйте счетчиками! 4. Вопрос конфиденциальности… открыт.

Вероятность

23 презентации о вероятности
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по алгебре > Вероятность > Курс теории вероятностей и основы математической статистики