Виды функций
<<  Степенная функция Степенная функция и ее производная  >>
Картинок нет
Картинки из презентации «Степенные ряды» к уроку алгебры на тему «Виды функций»

Автор: Людмла. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Степенные ряды.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 133 КБ.

Степенные ряды

содержание презентации «Степенные ряды.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Степенные ряды. Лекции12, 13, 14. 18Короче: если функция представлена в виде
2Функциональные ряды. Ряд, члены степенного ряда, то этот ряд является ее
которого являются функциями, называется рядом Тейлора. Представление функции ее
функциональным и обозначается . Если при рядом Тейлора единственно.
ряд сходится, то называется точкой 19Формула Тейлора. Рассмотрим n-ю
сходимости функционального ряда. частичную сумму ряда Тейлора: Этот
Определение. Множество значений х, для многочлен называется многочленом Тейлора
которых функциональный ряд сходится, функции . Разность называется остаточным
называется областью сходимости этого ряда. членом ряда Тейлора.
3Пример функционального ряда. 20Формула Тейлора с остаточным членом в
Рассмотрим геометрическую прогрессию со форме Лагранжа. Остаточный член в форме
знаменателем х: . Геометрическая Лагранжа имеет вид: Тогда называется
прогрессия сходится, если ее знаменатель . формулой Тейлора с остаточным членом в
Тогда она имеет сумму , которая очевидно форме Лагранжа.
является функцией от х. 21Условия сходимости ряда Тейлора к
4Степенные ряды. Определение. Ряд функции у=f(x). Для того чтобы функцию
называется степенным по степеням х . Ряд можно было разложить в ряд Тейлора на
является степенным по степеням . интервале(-R,R),необходимо и достаточно,
5Интервал сходимости степенного ряда. чтобы функция на этом интервале имела
Для любого степенного ряда существует производные всех порядков и чтобы
конечное неотрицательное число R - радиус остаточный член формулы Тейлора стремился
сходимости - такое, что если , то при ряд к нулю при всех.
сходится, а при расходится. Интервал 22Достаточные условия разложимости
называется интервалом сходимости функции в ряд Тейлора. Если функция f(x)
степенного ряда. Если , то интервал на интервале (-R,R) бесконечно
сходимости представляет собой всю числовую дифференцируема и ее производные
прямую. Если же , то степенной ряд равномерно ограничены в совокупности, т.
сходится лишь в точке х=0. е. существует такая константа М, что для
6Нахождение интервала сходимости по всех выполняется условие при п=0,1,2,…, то
признаку Даламбера. Составим ряд из функцию можно разложить в ряд Тейлора на
абсолютных величин членов степенного ряда этом интервале.
и найдем интервал, в котором он будет 23Разложение. Все производные этой
сходиться, Тогда в этом интервале данный функции совпадают с самой функцией, а в
степенной ряд будет сходиться абсолютно. точке х=0 они равны 1. Составим для
Согласно признаку Даламбера , если ,то функции формально ряд Маклорена: Этот ряд,
степенной ряд абсолютно сходится для всех очевидно, сходится на всей числовой оси.
х, удовлетворяющих этому условию. Но все производные функции равномерно
7Продолжение. В этом случае ряд будет ограничены, т. к. , где R-любое число из
сходиться внутри интервала (-R,R),где интервала сходимости. Поэтому этот ряд
R-это радиус сходимости ряда: . За сходится именно к функции.
пределами этого интервала ряд будет 24Разложение в ряд синуса. Вычислим
расходиться, а на концах интервала, где , производные синуса:
требуется дополнительное исследование. 25Продолжение. Ясно, что все производные
8Примеры. Найти интервал сходимости синуса не превосходят по модулю единицу.
ряда . Следовательно, ряд сходится Так что запишем ряд, который будет
абсолютно в интервале (-1,1). разложением синуса: при этом видно, что
9Примеры. Положим . Тогда получим этот ряд сходится на всей числовой оси.
числовой ряд . Этот ряд расходится 26Разложения некоторых функций в ряд
(сравните его с гармоническим рядом). Тейлора. При решении задач удобно
Полагая x = -1, имеем знакочередующийся пользоваться разложениями: 1. 2. 3.
ряд , который сходится условно в силу 27Продолжение. Геометрическую прогрессию
теоремы Лейбница. Итак, степенной ряд мы получили выше: 4. Интегрируя по х обе
сходится в промежутке [-1,1). части равенства, получим логарифмический
10Примеры. Найти интервал сходимости ряд: 5.
степенного ряда . Здесь , = .Тогда = =. =. 28Биномиальный ряд. 6. 7. Биномиальный,
11Продолжение. = . Но 0<1 всегда, логарифмический ряды и ряд для арктангенса
т.е. независимо от x. Это означает, что сходятся в интервале (-1,1).
степенной ряд сходится независимо от x, 29Пример. Разложить в ряд Тейлора по
т.е. на всей числовой прямой. Итак, степеням x функцию Решение. Зная
интервал сходимости ряда - это промежуток разложение функции в биномиальный ряд,
. сходящийся на интервале (-1,1),
12Пример. Найти интервал сходимости ряда преобразуем данную функцию так, чтобы
. = = = = . Этот предел может быть меньше воспользоваться биномиальным рядом. , где.
единицы, если только x=0 (иначе он будет 30Применение степенных рядов.
равен бесконечности). Это означает, что 31Приближенное вычисление интегралов.
степенной ряд сходится лишь в точке x=0. Разложения 1–7 позволяют, используя
13Свойства степенных рядов. соответствующее разложение, вычислять
Непрерывность суммы ряда. 1. Сумма приближенно значения функций, интегралы,
степенного ряда является непрерывной приближенно интегрировать дифференциальные
функцией в каждой точке интервала уравнения. Пример . С помощью степенного
сходимости этого ряда. Например, ряда вычислить с точностью до 0,0001.
непрерывна , если . 32Решение. Разложим подынтегральную
14Почленное дифференцирование. 2. Ряд, функцию в степенной ряд:
полученный почленным дифференцированием 33Продолжение. Так как получившийся ряд
степенного ряда, является степенным рядом является знакочередующимся, то сумма
с тем же интервалом сходимости, что и знакочередующегося ряда не превосходит
данный ряд, причем :если , то. первого члена такого ряда. Ясно, что часть
15Почленное интегрирование. 3. Степенной ряда, которую в задаче следует отбросить,
ряд можно почленно интегрировать на любом также является знакочередующимся рядом и
промежутке, целиком входящем в интервал его сумма не превзойдет модуля первого
сходимости степенного ряда, при этом где . отброшенного члена ряда. Таким образом,
16Разложение функций в степенные ряды. первый отброшенный член ряда должен быть
17Определения. Определение. Если меньше заданной погрешности, т.е. 0,0001.
бесконечно дифференцируемая функция 34Продолжение. Вычислив еще несколько
является суммой степенного ряда, то членов ряда видим, что Отбросив этот и
говорят, что она разлагается в степенной следующие за ним члены ряда, получим:
ряд . Опр. Рядом Тейлора функции f(x) 35Приближенное вычисление значений
называется ряд, коэффициенты которого функций. Вычислить с точностью до
определяются по формулам , т.е. ряд или . 0,001.Преобразуем Воспользуемся
18Степенной ряд как ряд Тейлора. биномиальным рядом при х=0,25 и.
Теорема. Если в некоторой окрестности 36Продолжение. Получим.
точки , то ряд справа есть ее ряд Тейлора.
Степенные ряды.ppt
http://900igr.net/kartinka/algebra/stepennye-rjady-242947.html
cсылка на страницу

Степенные ряды

другие презентации на тему «Степенные ряды»

«Степенная функция 9 класс» - Показатель – нечетное натуральное число (2n-1). Гипербола. Парабола. Свойства и график степенной функции зависят от значения показателя n. Показатель р = – (2n-1), где n – натуральное число. Функция у=х2n-1 нечетная, т.к. (–х)2n-1 = – х2n-1. График четной функции симметричен относительно оси Оу. Область определения функции – значения, которые может принимать переменная х.

«Ряд Фурье» - Разложение в ряд Фурье непериодических функций. Ряд Фурье нечетной функции. Тогда в силу свойства определенного интеграла : , если f(x) – нечетна, и , если f(x) – четна. получим Тогда имеем: , где для четной функции. Разложение в ряды Фурье четных функций. Тогда , где Вычислим интеграл по частям: Рассмотрим несколько примеров таких интегралов. в силу нечетности подынтегральной функции.

«Степенная функция» - Этапы построения графика функции. Свойства функции у = х3. Алгебра 7 класс. Но первое знакомство с такими функциями произошло еще в 7 классе. Если х > 0, то у > 0, если х< 0, то у < 0. График расположен в 1 и 3 координатных четвертях. Если х = 0, то у = 0. График функции проходит через начало координат.

«Логарифмическая функция» - Как осуществить ввод формулы в ячейку? Построить графики функций. Галилео Галилей. Построение графиков логарифмических функций, у которых аргумент является функцией. Повторение свойств логарифмической функции. Какая функция называется логарифмической? Природа формулирует свои законы языком математики.

«Кривые второго порядка» - Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек. Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса. Величины a, b и c называются полуосями конуса. Кривые второго порядка. Гиперболоиды. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы. Величины a и b называются параметрами параболоида.

««Показательная функция» 11 класс» - Показательная функция. Показательные неравенства. Показательная функция, ее свойства и применение. Производная и первообразная. Область значений – множество всех положительных чисел. Основная цель. Тест. Основные опорные сигналы. Функция возрастает на всей области определения. Функциональный способ.

Виды функций

25 презентаций о видах функций
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки