Числа
<<  Алгебраические выражения Числовые ряды  >>
Тема 5. Числовые функции
Тема 5. Числовые функции
Нули функции
Нули функции
Картинки из презентации «Тема 5. Числовые функции» к уроку алгебры на тему «Числа»

Автор: . Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Тема 5. Числовые функции.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 230 КБ.

Тема 5. Числовые функции

содержание презентации «Тема 5. Числовые функции.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Тема 5. Числовые функции. 1. 21компьютере. Однако, приближенное значение
25.1. Работа с целыми числами. 2. может получено с использованием достаточно
3При работе с целыми числами достаточно малых значений h. 21.
распространенной операцией является 22Численное дифференцирование. Операция
нахождение остатка (remainder) от деления дифференцирования есть функция высшего
нацело одного числа на другое. Так при порядка: функция берется в качестве
делении нацело числа 10 на число 3 остаток аргумента и функция является результатом
равен 1. В преамбуле определена функция вычисления. Определение может быть таким:
rem, предназначенная для нахождения diff :: (Float->Float) ->
остатка: ---> 345 ‘rem‘ 12 9. 3. (Float->Float) diff f = f' where f' x =
4Определение остатка от деления может (f (x+h) - f x) / h h =0.001 С целью
потребоваться в таких задачах, как получения карринговой формы функции можно
вычисление различных временных убрать вторую пару скобок в объявлении
характеристик: например, если сейчас 9 типа, так как -> ассоциативна справа.
часов, то через 33 часа текущее время diff :: (Float->Float) -> Float
будет равно (9+35) ‘rem‘ 24 = 20 часов; -> Float. 22.
определение имени дня недели: закодируем 23Численное дифференцирование. Теперь
дни (0 воскресенье, 1 понедельник, ..., 6 функцию diff можно считать функцией от
суббота), если сегодня среда (день с двух параметров: (1) функции, производную
номером 3), то через 30 дней будет пятница которой следует вычислить, и (2) точки, в
(33 ‘rem‘ 7 = 5); выяснение возможности которой значение производной должно быть
разделить нацело одно число на другое: подсчитано. С этой точки зрения
число будет делиться на число п, если определение теперь выглядит так: diff f =
остаток от деления этого числа на n равен (f (x + h) - f x) / h where h = 0.001 Эти
нулю; определение количества цифр в два определения абсолютно эквивалентны.
десятичной записи числа: последняя цифра Вторая версия программы предпочтительнее,
числа х находится по формуле х ‘rem‘ 10, так как она проще и яснее (в ней
следующая цифра равна (х/10) ‘rem‘ 10, отсутствует необходимость ввода
третья (х/100) ‘rem‘ 10 и так далее. 4. дополнительной функции f'. С другой
5Отметим, что в языке Haskell имеется стороны, первое определение подчеркивает,
еще одна функция для нахождения остатка что diff может быть рассмотрена, как
числа – это функция mod. Результаты преобразование функции. 23.
функций rem и mod совпадают при нахождении 24Численное дифференцирование. Функцию
остатков от положительных чисел, но diff очень удобно использовать после
различаются для отрицательных чисел. частичной параметризации, как в следующем
Функция mod для любого числа (как определении: derivative_of_sine_square =
положительного, так и отрицательного) diff (square . sin) Величина h в обоих
находит остаток в соответствии со определениях diff задается в предложении
следующим математическим определением where. Тем не менее, легко переделать
остатка: Для любого целого числа m и программу таким образом, чтобы ее можно
положительного целого n существуют и при было бы в будущем легко изменять. Наиболее
том единственные q и r, такие что m = q ? гибкий путь – это задать h в качестве
n + r, где остаток r удовлетворяет условию параметра diff: flexDiff h f x = (f (x+h)
0<r<п. Другими словами, (m ‘div‘ - f x) / h Задав h в качестве первого
n)*n + m ‘mod‘ n тождественно равно m. 5. аргумента функции flexDiff, можно
6При таком определении остаток любого использовать и ее в частично
целого числа, найденный при помощи функции параметризованной форме, чтобы получить
mod есть число неотрицательное, в отличии различные версии diff: roughDiff =
от функции rem, которая оперирует flexDiff 0.01 fineDiff = flexDiff 0.0001
положительными числами, а лишь затем superDiff = flexDiff 0.000001. 24.
учитывает знак. ---> 34 ‘rem‘ 10 4 25Вычисление квадратного корня. В
---> 34 ‘mod‘ 10 4 ---> (-34) ‘rem‘ прелюдии определена функция sqrt для
10 -4 ---> (-34) ‘mod‘ 10 6 Рассмотрим вычисления квадратного корня из числа. В
еще две задачи, связанные с обработкой этом разделе будет рассмотрен процесс
целых чисел. В обеих задачах используется разработки определения функции sqrt, в
функция rem. 6. котором не будет использоваться
7Получение списка простых чисел. стандартная функция, предназначенная для
Говорят, что целое число m делится на этих целей. Этот пример позволит
целое n, если остаток от деления m на n продемонстрировать технику работы с
равен нулю. Функция divisible проверяет числами типа Float. В следующих разделах
делится ли одно число на другое: divisible будет рассмотрен процесс вычисления
:: Int -> Int -> Bool divisible m n обратной функции, что позволит дать другую
= m ‘rem‘ n == 0. 7. реализацию функции вычисления квадратного
8Получение списка простых чисел. корня. 25.
Делителями числа называют такие целые 26Вычисление квадратного корня. Для
числа, на которые исходное число делится квадратного корня из числа х имеет место
без остатка. Функция denominators следующее утверждение: если y есть хорошее
определяет список всех делителей заданного приближение для , то является еще лучшим
числа: denominators :: Int -> [Int] приближением. 26.
denominators x = filter (divisible x) 27Вычисление квадратного корня. Это
[1..x] Заметим, что здесь функция свойство может быть использовано для
divisible частично параметризована вычисления корня из числа х: возьмем 1 в
переменной х; функция filter качестве первого приближения и будем
«отфильтровывает» из списка целых чисел от подправлять приближение до тех пор, пока
1 до х только те, которые являются результат нас не устроит. Величина y
делителями числа х. 8. является хорошим приближением , если y2 не
9Получение списка простых чисел. Целое очень отличается от х. Для величины
число называется простым, если оно имеет приближения y0, y1 и т.д. таковы: y0 =1 y1
ровно два делителя: единицу и само себя. = 0.5 * (y0 + 3/y0) = 2 y2 = 0.5* (y1 +
Функция prime проверяет, действительно ли 3/y1) = 1.75 y3 = 0.5 * (y2 + 3/y2) =
в списке делителей находятся только эти 1.732142857 y4 = 0.5 * (y3 + 3/y3) =
два числа: prime :: Int -> Bool prime x 1.732050810 y5 = 0.5 * (y4 + 3/y4) =
= denominators x == [1, x] И наконец, 1.732050807 Квадрат последней
функция primes находит все простые числа, аппроксимации только на 10-18 отличается
не превышающие данное: primes :: Int -> от трех. 27.
[Int] primes x = filter prime [1..x] И 28Вычисление квадратного корня. Для
хотя этот способ вычисления списка простых процесса «подправки» начального значения
чисел, не превышающих данное, не является удобно использовать введенную ранее
наиболее эффективным, он имеет неоспоримое функцию until: root х = until goodEnough
преимущество – все функции в нем являются improve 1.0 where improve y = 0.5*(y +
простым переложением математических x/y) goodEnough y = y*y ~= x Оператор ~=
определений на язык Haskell. 9. (приблизительно равно), может быть
10Определение дня недели. Каким днем определен следующим образом: infix 5 ~= a
недели будет последний день текущего года? ~= b = a-b<h && b-a<h where
А в какой день недели вы родились? Для h = 0.000001 В этом определении функция
ответа на подобные вопросы определим высшего порядка until оперирует функциями
функцию day, которая по заданному дню improve (улучшать) и goodEnough
месяца, месяцу и году будет выдавать день (достаточно хорошо), используя начальное
недели, на который он приходится. ---> значение 1.0. 28.
day 31 12 2002 "Tuesday" 10. 29Вычисление квадратного корня. Хотя в
11Определение дня недели. Если уже записи функции root сразу за improve
известен номер дня недели, то, основываясь располагается 1.0, функция improve не
на предложенной выше схеме кодирования, применяется непосредственно к числу 1.0;
функцию day легко написать: day d m y = вместо этого оба эти объекта передаются
weekday (daynumber d m y) weekday 0 = функции until. С точки зрения процесса
"Sunday" -- Воскресенье weekday карринга, это эквивалентно следующей
1 = "Monday" -- Понедельник расстановке скобок (((until goodEnough)
weekday 2 = "Tuesday" -- Вторник improve) 1.0). Только заглянув в
weekday 3 = "Wednesday" -- Среда определении функции until можно увидеть,
weekday 4 = "Thursday" -- как improve применяется к 1.0. 29.
Четверг weekday 5 = "Friday" -- 30Нули функции. Другой вычислительной
Пятница weekday 6 = "Saturday" проблемой, которая может быть решена с
-- Суббота Функция weekday использует семь помощью итерации, является нахождение
шаблонов для определения наименования дня нулей функции. Рассмотрим функцию f,
недели (результатом является строка, корень x0 которой требуется найти. Возьмем
заключенная в кавычки). 11. b в качестве первого приближения для нуля
12Определение дня недели. Функция функции. Тогда касательная, проведенная к
daynumber: определяет число дней, функции f в точке b пересекает ось х в
прошедших с последнего воскресенья, и точке, являющейся лучшим приближением
добавляет к нему: число целых лет, нуля, чем b (см. рисунок). Приближение
умноженное на 365; поправку на число методом Ньютона. 30.
прошедших високосных годов; число дней во 31Нули функции. Точка пересечения
всех уже полностью прошедших в текущем касательной с осью х находится на
году месяцев; число дней, прошедших с расстоянии d от первого приближения b.
начала месяца; pатем находится остаток от Величина d может быть вычислена следующим
деления на 7 полученного (огромного) числа образом. Тангенс угла наклона касательной
– это и будет номер дня недели. 12. к функции f в точке b равен f'(b). С
13Определение дня недели. В нашем другой стороны, это значение равно f(b)/d,
(григорианском) календаре, введенном папой поэтому d=f(b)/f'(b). 31.
Григорием в 1752 году, действуют следующие 32Нули функции. Данное замечание
правила определения високосных годов позволяет нам сделать следующий вывод:
(длина которых 366 дней): если номер года если b есть первое приближение нуля
делится на 4, то год является високосным функции f, то b–f(b)/f'(b) есть лучшее
(например, 1972); но: если номер года приближение. Этот метод известен, как
делится на 100, то год не високосный «метод Ньютона». Этот метод не всегда
(например, 1900); но: если номер года работает для функций с локальными
делится на 400, то год является високосным экстремумами: вы можете «ходить вокруг»
(например, 2000). 13. нужного корня и никогда в него не попасть.
14Определение дня недели. Теперь, зная, 32.
что 1 января 0 года было воскресеньем, 33Нули функции. Для получения функции,
легко полностью определить функцию вычисляющей нули этим методом также можно
daynumber: daynumber d m y = ((y-l)*365 + использовать функцию until. В качестве
(y-1) ‘div‘ 4 - (y-1) ‘div‘ 100 + (y-1) параметра будем использовать приближение
‘div‘ 400 + sum (take (m-1) (months y)) + (improve), задаваемое приведенной выше
d ) ‘rem‘ 7 Вызов take n xs возвращает формулой (для чего воспользуемся ранее
первые n элементов списка xs. Эта функция определенной функцией diff). Условием
может быть определена, например, так окончания итераций будет служить
(данное определение немного отличается от достаточно малое отклонение функции от
приведенного в преамбуле): take 0 xs = [] нулевого значения. zero f = until
take (n+1) (x:xs) = x : take n xs. 14. goodEnough improve 1.0 where improve b = b
15Определение дня недели. Функция months - f b / diff f b goodEnough b = f b ~= 0.0
возвращает число дней в каждом из месяцев Мы выбрали 1.0 в качестве первого
заданного года: months приближения, но с таким же успехом, это
y=[31,feb,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31] могло быть и число 17.93. Вообще, это
where feb | leap y =29 | otherwise = 28 может быть любая точка из области
Функция leap используется в охранном определения функции f. 33.
выражении предыдущей функции: leap y = 34Обратная функция. Ноль функции f, где
divisible y 4 && (not (divisible y f(x)=x2–а, равен . С учетом этого
100)) || divisible y 400 Ее же можно замечания мы можем вычислить как ноль
определить и по-другому: leap y | функции f . Применив функцию zero, root
divisible y 100 = divisible y 400 можно определить так: root a = zero f
|otherwise = divisible y 4. 15. where f x = x*x - a Кубический корень
16Определение дня недели. Для того чтобы можно вычислить так: cubic a = zero f
сделать полностью корректным определение where f x = x*x*x - a Аналогично, любая
функции day, добавим охранное выражение, функция, обратная к заданной, может быть
не позволяющее применить эту функцию к вычислена с использованием этой функции в
периоду до введения григорианского определении функции f, например, arcsin a
календаря: day d m y | y > 1752 = = zero f where f x = sin x - a arccos a =
weekday (daynumber d m y) Теперь вызов zero f where f x = cos x - a. 34.
этой функции с последним параметром, 35Обратная функция. Наличие общности в
меньшим чем 1752, приведет к сообщению об определениях этих функций является
ошибке. ---> day 16 9 2002 сигналом для определения функции высшего
"Monday" ---> day 16 9 120 порядка, которая обобщает эти случаи (по
" Program error: Номер года меньше аналогии с определением функции foldr,
1752. 16. которая появилась как обобщение sum,
17Стратегии разработки программ. При product и and). В данном случае функция
проектировании программ для этих двух inverse является функцией высшего порядка,
примеров использовались две различные имеющей дополнительный параметр – функцию
стратегии разработки. Во втором примере g, инверсию которой требуется вычислить:
сначала определена функция day в терминах inverse g a = zero f where f x = g x - a.
функций weekday и daynumber; при 35.
разработке функции daynumber использована 36Обратная функция. Если вы случайно
функция months, которая в свою очередь заметили некую закономерность, то следует
использовала функцию leap. Такая стратегия попытаться определить функцию высшего
носит название «сверху вниз»: начинается порядка так, чтобы другие функции стали
разработка с наиболее важных вещей и, просто частными случаями ее применения.
затем, по мере надобности, определяются При этом все частные случаи следует
дополнительные функции. 17. определить через полученную функцию,
18Стратегии разработки программ. В которая будет частично параметризована
первом же примере применена стратегия различными параметрами: arcsin = inverse
«снизу вверх»: сначала была написана sin arccos = inverse cos ln = inverse exp.
функция divisible, с ее помощью определили 36.
функцию denominators, затем функцию prime 37Обратная функция. Функцию inverse
и, наконец, primes. Применение той или можно рассматривать как функцию с двумя
иной стратегии никак не сказывается на параметрами (функция и Float) и Float в
окончательном результате: ведь качестве результата, или как функцию с
интерпретатор ничего не знает о том, в одним параметром (функция) и функцией как
каком порядке разрабатывались функции. Тем результатом. Это следует из
не менее, при разработке программ следует эквивалентности следующих объявлений типа
обращать внимание на то, какой из стилей функции inverse: inverse ::
используется. 18. (Float->Float)->Float->Float и
195.2. Численные вычисления. 19. inverse ::
20Численное дифференцирование. При (Float->Float)->Float->Float
вычислениях, в которых участвуют числа (вспомним о правой ассоциативности ->).
типа Float, точное нахождение результата в 37.
большинстве случаев невозможно. Результат 38Обратная функция. Функция нахождения
вычисления округляется с точностью до корня, использующая метод Ньютона, может
нескольких десятичных цифр после запятой. быть получена подобным путем. Рассмотрим
---> 10.0/6.0 1.66667 При вычислении определение функции root: root a = zero f
некоторых математических функций, таких where f x = x*x - a Заменив вызов функции
как sqrt, результат также округляется. zero f его определением, получим: root a =
Поэтому и при разработке своих собственных until goodEnough improve 1.0 where improve
функций, оперирующих числами типа Float, b = b - f b / diff f b goodEnough b = f b
полученный результат также будет являться ~= 0.0 f x = x*x - a. 38.
апроксимацией «реального» значения. 20. 39Обратная функция. В данном случае нет
21Численное дифференцирование. Примером необходимости определять dif f численно:
этого может служить вычисление производной производная f есть функция (2*), поэтому
той или иной математической функции. формула в функции improve b может быть
Математическое определение производной f’ упрощена: Это и есть формула,
от функции f таково: Точное значение использованная нами еще на слайде 26. 39.
предела не может быть вычислено на
Тема 5. Числовые функции.ppt
http://900igr.net/kartinka/algebra/tema-5.-chislovye-funktsii-138699.html
cсылка на страницу

Тема 5. Числовые функции

другие презентации на тему «Тема 5. Числовые функции»

«Числовые неравенства 8 класс» - Если a<b, то -9a>-9b. a+c>b+d (Свойство 1). А>0 означает, что а – положительное число; Оглавление. Если а>b и m>0, то am>bm. Если а и b - положительные числа и а>b, то 1 1 а b. > «Больше». Неравенства. Если a и b - неотрицательные числа и a>b, то a*n>b*n, где n - любое натуральное число.

«Числовая последовательность» - Последовательности. Порядковый номер члена последовательности. Числовая последовательность (числовой ряд): числа, выписанные в определённом порядке. Обозначение последовательности. 3. График числовой последовательности. Член последовательности. 1. Формула n-го члена последовательности: - позволяет найти любой член последовательности.

«Функция y = x2» - Рассмотрим математическую модель. Рассмотрим функцию y = x2. Геометрические свойства параболы. Функция y = x2. Построим график функции y = x2. Фокус параболы. Свойства функции y = x2. Замечательное свойство параболы. Кривые и космос. Алгебра. Объяснение нового материала. Функция y = x^2.

«Предел числовой последовательности» - Примеры числовых последовательностей. Понятие числовой последовательности. Возрастание и убывание числовой последовательности. – Гармонический ряд. Последовательность простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; … Величина уn называется общим членом последовательности. Содержание. Предел функции на бесконечности.

«Числовые неравенства» - Если a>b и b>c , то a>c. Если a>b и m<0, то am<bm. Если a>b, то a+c>b+c . Свойства числовых неравенств. Да мы сами уже могли убедиться в необходимости умения работать с неравенствами. Каждое такое значение переменной называют обычно решением неравенства с переменной. Свойство 1.

«Функции нескольких переменных» - Наибольшее и наименьшее значения функции. Ограниченная область. Теорема Вейерштрасса. Равенство смешанных производных. Производные высших порядков. Определение предела функции 2-х переменных. Предел функции 2-х переменных. Математический анализ. Частные приращения функции 2-х переменных. Внутренние и граничные точки.

Числа

38 презентаций о числах
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по алгебре > Числа > Тема 5. Числовые функции