Электрическое поле
<<  Электроскоп электрическое поле Поль Сезанн  >>
Пример конечного поля
Пример конечного поля
Эварист Галуа
Эварист Галуа
Многочлены
Многочлены
Рисунок
Рисунок
Расширенные поля Галуа
Расширенные поля Галуа
Модули
Модули
Векторное пространство
Векторное пространство
Векторное пространство
Векторное пространство
Векторное пространство
Векторное пространство
Векторное пространство
Векторное пространство
Картинки из презентации «Конечные поля» к уроку физики на тему «Электрическое поле»

Автор: Lena. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока физики, скачайте бесплатно презентацию «Конечные поля.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 399 КБ.

Конечные поля

содержание презентации «Конечные поля.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Тема: Конечные поля. 234 t =3, для 5 t=6, для 6 t=2. Все
2Конечные поля. Теория конечных полей найденные мультипликативные порядки делят
является центральной математической число p–1=6 ненулевых элементов поля.
теорией, лежащей в основе Пример.2. В поле GF(8) число ненулевых
помехоустойчивого кодирования и элементов поля – простое: 8–1=7, а,
криптологии. Конечные поля используются значит, его делители – только числа 1 и 7.
при кодировании, в современных блоковых Так как единственный элементом
шифрах таких как IDEA и AES, в поточных мультипликативного порядка 1 – единица
шифрах (сдвиговые регистры в мобильных поля, все остальные ненулевые элементы
телефонах), а также в открытых имеют максимальный мультипликативный
криптосистемах, например в протоколе порядок, равный 7.
обмена ключами Diffie- Hellman и Elliptic 24Структура конечных полей. Пусть f(x) –
Curve Cryptosystems. неприводимый многочлен степени n над полем
3Определение. Пусть F есть множество с F и ? - корень f(x). Тогда поле
двумя бинарными операциями + и *. F F[x]/(f(x)) можно представить как F[?]={a0
называется полем, если 1) F есть абелева +a1?+ … +an-1 ?n-1: ai из F} Пусть ? есть
группа по сложению + 2) F* = F\ {0} есть корень неприводимого многочлена степени m
абелева группа по умножению * 3) над полем GF(q), тогда ? является также
Выполняется дистрибутивность для всех a,b порождающим элементом поля.
и c из F a*(b + c) = a*b + a*c (a+b)*c = 25Структура конечных полей. Пример: ?
a*c + b*c. корень многочлена 1+x+x3 над GF(2) , то
4Определение. Если число элементов F есть 1+x+x3 GF(2)[x]. Следовательно,
конечно, то F называется конечным полем. GF(8)=GF(2)[?]. Порядок ? есть делитель
5Арифметика по модулю. Обозначим: Zn = 8-1=7. Поэтому ord(?)=7 и ? – примитивный
{0, 1, … , n-1} a mod n есть остаток от элемент. Тогда: ?3+?6 = (1+?)+(1+?2) =
деления a на n Пример:7mod2=1, 7mod4=3, ?+?2 = ?4 ?3?6 = ?9=?2.
21mod7=0 если (a+b)=(a+c) mod n то b=c mod 26Таблица логарифмов Zech: Пусть ? –
n Если ab = ac mod n то b=c mod n только примитивный элемент GF(q). Для каждого
если a и n взаимно просты a+b mod n = [a 0?i?q-2 или i = ?, мы определяем и заносим
mod n + b mod n] mod n. в таблицу элемент z(i) такой что
6Теорема: (p – простое число) с 1+?i=?z(i). (примем ?? = 0) Для любых двух
операциями сложения и умножения целых элементов ?i и ?j , 0?i ? j? q-2 в поле
чисел по модулю p есть конечное поле. GF(q). ?i+?j = ?i(1+?j-i) = ?i+z(j-i) (mod
7Конечное поле из двух элементов 0 и 1: q-1) ?i?j = ?i+j (mod q-1). Структура
Пример конечного поля. +. 0. 1. *. 0. 1. конечных полей.
0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 27Структура конечных полей. i. z(i). i.
8Пример конечного поля (продолжение). z(i). i. z(i). ? 0. 8. 15. 17. 20. 0. 13.
Определелим поле GF(5) на множестве Z5 (5 9. 3. 18. 7. 1. 9. 10. 6. 19. 23. 2. 21.
– просое число) с операциями сложения и 11. 10. 20. 5. 3. 1. 12. 2. 21. 12. 4. 18.
умножения. Как в таблице. 13. ? 22. 14. 5. 17. 14. 16. 23. 24. 6.
9Циклические группы. Определение: 11. 15. 25. 24. 19. 7. 4. 16. 22. 25. 8.
Элемент g конечной группы G называется Таблица логарифмов для F27.
порождающим или примитивным элементом, 28Теорема: Произвольный неприводимы
если все элементы группы являются многочлен над полем GF(2) делит многочлен
степенями g. Такие группы называют Xn+1, где n = 2m-1 и m есть степень
циклическими Таким образом нейтральный многочлена. 28.
элемент группы. Обозначение: 29Неприводимый многочлен p(X) степени m
10Определение. Порядок группы G – число называется примитивным, если n –
элементов группы (обозначение |G| ). наименьшее положительное целое число такое
Порядок элемента g є G – наименьшее n так что p(X) делит Xn+1 и n=2m-1 Пример
что gn = e (обозначается ord g). p(X)=X4+X+1 делит X15+1 но не делит
11Теорема 2: Все циклические группы никакой многочлен Xn+1 для 1?n<15
одного размера изоморфны. Теорема 3: Пусть (Primitive) p(X)= X4+X3+X2+X+1 делит X5+1
G – циклическая группа из n элементов и g (Irreducible but Not Primitive).
– порождающий элемент (т.е. ). Тогда Примитивные многочлены. 29.
порядок подгруппы равен. Теорема 1: 30Пример. Элементы 3 и 5 поля GF(7)
является циклической только если n есть являются примитивными, тогда как остальные
одно из чисел , где p есть нечетное ненулевые элементы непримитивны.
простое число и n – положительное целое Действительно, p–1=6 степеней элемента 3
число. различны: 31=3, 32=2, 33=6, 34=4, 35=5,
12Теорема 4: Пусть G есть циклическая 36=30=1. Для непримитивного элемента поля,
группа из n элементов и являются например 2, подобные вычисления дают 21=2,
делителями n, тогда существуют в точности 22=4, 23=1, 24=2, 25=4, 26=1, так что
элементов порядка. возведением 2 в различные степени можно
13Конечные поля. Эварист Галуа(1811 получить лишь некоторые (но не все!)
-1832). ненулевые элементы GF(7).
14Многочлены. Многочлен степени n. Ai – 31Построение расширенного поля GF(pm) в
коэффициенты из некоторого множества виде таблицы степеней примитивного
(поля). элемента начинается с выбора примитивного
15Многочлены (продолжение). Следующий полинома степени m над простым полем
рисунок иллюстрирует, как можно GF(p): f(x)=xm+fm-1xm-1+…+f0. Подобные
8-разрядное слово (10011001) представить в полиномы либо даются в специальных
виде многочлена. таблицах, либо маркируются особой меткой в
16Расширенные конечные поля. Конечные таблицах неприводимых полиномов. Для m-й
поля существуют только для порядков q=pm степени элемента x по модулю f(x) имеет
(p – простое, m – натуральное). Простое место равенство xm = –fm-1xm–1–fm-2
поле порядка p, GF(p), можно трактовать xm–2–…–f0.
как множество {0, 1, …, p–1} остатков от 32Пример. Полином f(x)=x3+x+1 примитивен
деления целых чисел на p с операциями над GF(2). Учтя, что в GF(8) построенном с
сложения и умножения по модулю p. помощью f(x), x3= x+1 и обозначив x=?,
17Расширенные конечные поля. Подобно имеем ?3=?+1. Вычислив следующие степени
этому расширенное поле GF(pm) порядка q=pm ?, придем к таблице. Перемножая два
при m>1 можно ассоциировать с элемента поля, например ?+1 and ?2+?+1,
множеством остатков от деления полиномов можно воспользоваться представлениями
над GF(p) на некоторый неприводимый ?+1=?3 и ?2+?+1=?5, так что ?3?5=?8=?7?=?.
полином f(x) степени m с операциями 33Некоторые свойства расширенных
сложения и умножения по модулю f(x). конечных полей. Теорема 1. Среди всех
Другими словами, поле GF(pm) можно элементов расширенного поля GF(2m) лишь
представить всеми полиномами над простым элементы основного подполя GF(2) , т.е. 0
полем GF(p) степени не выше m–1 с обычным и 1, удовлетворяют равенству. Теорема 2.
полиномиальным сложением. Умножение же в Для любых элементов ?, ? поля GF(2m).
нем выполняется в два шага – сперва как 34Построение полиномов с заданными
обычное умножение полиномов, но с корнями. Одно из фундаментальных положений
удержанием в качестве конечного итога лишь классической алгебры утверждает, что любой
остатка от деления полученного полином f(x) степени m с действительными
произведения на неприводимый полином f(x). или комплексными коэффициентами всегда
18Расширенные поля Галуа. Определим поле имеет ровно m действительных или
GF(22) , состоящее из 4 двухразрядных комплексных корней x1, x2, …, xm, что
слов: {00, 01, 10, 11}. Определим операции означает справедливость разложения (при
сложения и умножения следующим образом. единичном старшем коэффициенте).
4.18. 35Пример 1. Рассмотрим полином
19Многочлены - модули. Для построения g(z)=z3+z2+1. Легко убедиться, что у него
поля GF(2n) используются многочлены – нет корней в GF(2): g(1)= g(0)=1. Вместе с
модули над полем GF(2), которые должны тем, обратившись к таблице поля GF(8) в
быть неприводимыми. примере 8.2.4, можно видеть, что
20Пример. Обратимся к полиному g(?3)=?9+?6+1=?2+?2+1+1=0, и значит, ?3
f(x)=x3+x+1(неприводимый), deg(f(x))=3, является корнем g(z) в поле GF(8).
тогдае го можно использовать для Двоичный полином наименьшей степени, для
построения расширенного поля GF(23)=GF(8). которого элемент ??GF(2m) является корнем,
Для a(x)=x2+x+1 и b(x)=x+1 сумма в поле называется минимальным полиномом ?. Введем
GF(8) a(x)+b(x)= x2+x+1+x+1= x2 для него обозначение g?(z) и сформулируем
произведение в GF(8) (x2+x+1)(x+1) = следующее утверждение.
x3+x2+x2+x+x+1 = x3+1, после чего разделим 36Теорема 1. Пусть l – длина
полученный результат на f(x) с последующим сопряженного цикла элемента ?. Тогда
удержанием только остатка: Теорема 2. Пусть GF(q) - расширение GF(2),
x3+1=q(x)f(x)+r(x)=1·(x3+x+1)+x. Таким где q=2m. Тогда все ненулевые элементы
образом, a(x)b(x)=(x2+x+1)(x+1)=x. GF(q) являются корнями биномаzq–1–1=
21Мультипликативный порядок элементов zq–1+1. Как следствие этой теоремы
поля. Примитивные элементы. В любом поле справедливо следующее равенство. Где все
GF(q), будь оно простым или расширенным, q–1 ненулевых элементов gf(q) выражены как
можно перемножать любые операнды, в том степени примитивного элемента ?.
числе l-кратно умножать элемент ? на себя. 37Алгоритм Евклида нахождения НОД
Естественно называть такое произведение Расширенный алгоритм Евклида Возведение в
l-й степенью элемента ?, обозначив его степень. Алгоритмы.
как. 38Векторное пространство(V,F, +, .). F -
22Возьмем некоторый ненулевой элемент поле V множество элементов(векторов)
??GF(q) и рассмотрим его степени ?1, ?2, Сложение векторов(коммутативное,
…, ?l, … . Поскольку все они принадлежат ассоциат-е) Умножение на число Линейная
конечному полю GF(q), в рассматриваемой зависимость, базисы, подпространства.
последовательности рано или поздно 39Источники. Ленг С. Алгебра -М:, Мир,
появятся повторения, так что для некоторых 1967 Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные
l и s (l>s) ?l= ?s , а значит, ?l-s=1. поля. В 2-х томах. - Москва,
Назовем минимальное натуральное число t, "Мир", 1988. Э.Берлекэмп,
для которого. Мультипликативным порядком Алгебраическая теория кодирования, Мир,
элемента ?. Москва, 1971. Р.Блейхут, Теория и практика
23Пример 1. Элемент 2 поля GF(7) имеет кодов, контролирующих ошибки, Мир, Москва,
мультипликативный порядок t=3 поскольку 1986.
для него 21=2, 22=4, 23=1. Подобно этому, http://www.ksu.ru/f9/index.php?id=20.
как легко видеть, для элемента 3 t=6, для
Конечные поля.ppt
http://900igr.net/kartinka/fizika/konechnye-polja-65229.html
cсылка на страницу

Конечные поля

другие презентации на тему «Конечные поля»

«Напряженность и потенциал электрического поля» - Почему несъемные протезы нельзя изготавливать из разных металлов ? Заряд, прошедший по каналу молнии, около 20 Кл. Почему акула быстро обнаруживает упавшего в воду человека? Некоторые практические примеры применения основных характеристик электрического поля. Расстояние между облаком и землей 2 км. Напряженность электрического поля при обычных нагрузках не превышает 0,5 В/см.

«Физика Магнитные поля» - Электрическим зарядом обладают электроны и ионы. Направление магнитных линий. Электроны являются зарядными частицами в металлах, сплавах. Если есть электрический ток – есть магнитное поле. Правило буравчика. Магнитное поле. Магнитное поле можно обнаружить различными способами. Электроны находятся в металлах и сплавах в свободном состоянии.

«Поля видео» - Смысловая нагрузка кнопок. СМС. Медиа показатели РК (рекламной кампании). Наш средний VTR= 2,5%, а CTR=0,2% Зациклиность видео способствуют запоминанию бренда. Анкета попадает в банк участвующий в данной кампании. Средний CTR баннерной рекламы 0,1%. Быстрая демонстрация видео даже на модеме. Запуск полной версии ролика.

«Поль Гоген» - Наряду с Сезанном и Ван Гогом был крупнейшим представителем постимпрессионизма. Влияние творчества Гогена на искусство 20 века бесспорно. Ранний период творчества (под влиянием Писсарро) связан с импрессионизмом. Работы Гогена не находили спроса, художник влачил нищенское существование. Знаете ли Вы главное отличие пленерной живописи от студийной?

«Индукция магнитного поля» - Что такое магнитные линии? Виды магнитных полей. Закрепление. Определите направление силы на Рисунке №1. По проводнику длиной 45 см протекает ток силой 20А. Ввести понятие индукции магнитного поля. Какие поля изображены на рисунках? Вектор магнитной индукции - силовая характеристика магнитного поля.

«Заряд электрического поля» - На рисунке изображены линии напряженности электрического поля. Электромагнитное взаимодействие. Определите силу, действующую на заряд. 1) 2*10-5 Н 2) 2*105 Н 3) 0,5*10-9 Н 4) 0,5*109 Н. Два вида зарядов. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются. Электростатика. В электрическое поле напряженностью 200 Н/Кл внесли заряд 10-7 Кл.

Электрическое поле

10 презентаций об электрическом поле
Урок

Физика

134 темы
Картинки