Теорема Пифагора
<<  Теорема Пифагора вне школьной программы Теорема на Питагор  >>
 “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема
 “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема
История теоремы Пифагора
История теоремы Пифагора
История теоремы Пифагора
История теоремы Пифагора
Исторический обзор начнём с древнего Китая
Исторический обзор начнём с древнего Китая
Очень легко можно воспроизвести способ построения
Очень легко можно воспроизвести способ построения
В самом древнем индийском геометрическом сборнике «Сульвасутра»
В самом древнем индийском геометрическом сборнике «Сульвасутра»
Насчитывается более пятисот доказательств теоремы
Насчитывается более пятисот доказательств теоремы
Приведём различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с
Приведём различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с
Приведём различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с
Приведём различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с
У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном
У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном
В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И
В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И
И способы её доказательства
И способы её доказательства
Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии
Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии
Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника,
Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника,
Доказательство Эпштейна
Доказательство Эпштейна
Доказательство Перигаля
Доказательство Перигаля
На рисунке к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу
На рисунке к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу
7. Другие доказательства
7. Другие доказательства
Занимательные задачи по теме: "Теорема Пифагора"
Занимательные задачи по теме: "Теорема Пифагора"
Занимательные задачи по теме: "Теорема Пифагора"
Занимательные задачи по теме: "Теорема Пифагора"
Древнеиндийская задача
Древнеиндийская задача
Древнеиндийская задача
Древнеиндийская задача
Решение
Решение
Задача Бхаскары
Задача Бхаскары
Задача арабского математика XI в
Задача арабского математика XI в
Задача арабского математика XI в
Задача арабского математика XI в
Решение
Решение
Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого
Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого
Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого
Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого
Задача из китайской "Математики в девяти книгах"
Задача из китайской "Математики в девяти книгах"
Задача из китайской "Математики в девяти книгах"
Задача из китайской "Математики в девяти книгах"
Практическое применение теоремы Пифагора
Практическое применение теоремы Пифагора
Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу
Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу
Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому
Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому
На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d,
На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d,
Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного
Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного
Считать приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая
Считать приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на
В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения
В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения
Пифагоровы тройки
Пифагоровы тройки
Эти тройки можно найти по формулам: b=(a2-1)/2, c=(a2+1)/2
Эти тройки можно найти по формулам: b=(a2-1)/2, c=(a2+1)/2
Древневавилонский клинописный текст, содержащий 15 наборов пифагоровых
Древневавилонский клинописный текст, содержащий 15 наборов пифагоровых
Теорема Пифагора В литературе
Теорема Пифагора В литературе
Теорема Пифагора В литературе
Теорема Пифагора В литературе
Легенда о рождении Пифагора
Легенда о рождении Пифагора
Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии,
Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии,
Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель
Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель
Мысль — превыше всего между людьми на земле
Мысль — превыше всего между людьми на земле
Так, оптимист Михайло Ломоносов (1711-1765) писал: «Пифагор за
Так, оптимист Михайло Ломоносов (1711-1765) писал: «Пифагор за
А вот ироничный Генрих Гейне (1797-1856) видел развитие той же
А вот ироничный Генрих Гейне (1797-1856) видел развитие той же
Учение Пифагора не погибло в кротонском пожаре
Учение Пифагора не погибло в кротонском пожаре
И чем дальше неумолимое время уносит нас от времени Пифагора, тем
И чем дальше неумолимое время уносит нас от времени Пифагора, тем
Именно так определяет роль Пифагора в истории естествознания
Именно так определяет роль Пифагора в истории естествознания
В Абдерах в 430—420-х гг
В Абдерах в 430—420-х гг
Самосская монета с изображением Пифагора
Самосская монета с изображением Пифагора
Самосская монета с изображением Пифагора
Самосская монета с изображением Пифагора
Но для учёного важнее не внешние атрибуты славы, а признание и
Но для учёного важнее не внешние атрибуты славы, а признание и
Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую
Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую
Картинки из презентации «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень» к уроку геометрии на тему «Теорема Пифагора»

Автор: user. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока геометрии, скачайте бесплатно презентацию «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 2831 КБ.

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень

содержание презентации «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1“Геометрия владеет двумя сокровищами: 51во всех случаях, когда все скаты крыши,
одно из них - это теорема Пифагора, а сколько бы их ни было, имеют одинаковый
другое - деление отрезка в среднем и уклон. Оно гласит: "Чтобы найти
крайнем отношении… Первое можно сравнить с поверхность крыши, все скаты которой имеют
мерой золота; второе же больше напоминает равный уклон, нужно умножить перекрываемую
драгоценный камень”. Иоганн Кеплер. 1. площадь на длину какого-нибудь стропила и
2История теоремы Пифагора. 2. разделить полученное произведение на
3Хронология развития теоремы до проекцию этого стропила на перекрываемую
Пифагора: №. Историческое место. Дата. 1. площадь." 51.
Древний Китай (математическая книга 52В романской архитектуре часто
Чу-пей). ~2400 г. До н. Э. 2. Древний встречается мотив, представленный на
Египет (гарпедонапты или рисунке. Если b по-прежнему обозначает
"натягиватели веревок"). 2300 г. ширину окна, то радиусы полуокружностей
До н. Э. 3. Вавилон (Хаммураби ). 2000 г. будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус
До н. Э. 4. Древняя Индия (сборник p внутренней окружности можно вычислить из
Сульвасутра ). 600 г. До н. Э. 5. Пифагор. прямоугольного треугольника, изображенного
570 г. До н. Э. 3. на рис. пунктиром p=b/6. 52.
4Исторический обзор начнём с древнего 53В конце девятнадцатого века
Китая. Здесь особое внимание привлекает высказывались разнообразные предположения
математическая книга Чу-пей. В этом о существовании обитателей Марса подобных
сочинении так говорится о пифагоровом человеку, это явилось следствием открытий
треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: итальянского астронома Скиапарелли.
"Если прямой угол разложить на Естественно, что вопрос о том, можно ли с
составные части, то линия, соединяющая помощью световых сигналов объясняться с
концы его сторон, будет 5, когда основание этими гипотетическими существами, вызвал
есть 3, а высота 4". 4. оживленную дискуссию. Парижской академией
5Кантор (крупнейший немецкий историк наук была даже установлена премия в 100000
математики) считает, что равенство 3 ? + 4 франков тому, кто первый установит связь с
? = 5? было известно уже египтянам ещё каким-нибудь обитателем другого небесного
около 2300 г. до н. э., во времена царя тела; эта премия все ещё ждет счастливца.
Аменемхета I (согласно папирусу 6619 В шутку, хотя и не совсем безосновательно,
Берлинского музея). По мнению Кантора было решено передать обитателям Марса
гарпедонапты, или "натягиватели сигнал в виде теоремы Пифагора.
веревок", строили прямые углы при Неизвестно, как это сделать; но для всех
помощи прямоугольных треугольников со очевидно, что математический факт,
сторонами 3, 4 и 5. 5. выражаемый теоремой Пифагора, имеет место
6Очень легко можно воспроизвести способ всюду и поэтому похожие на нас обитатели
построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м другого мира должны понять такой сигнал.
и привяжем к ней по цветной полоске на 53.
расстоянии 3 и 4 м от одного конца. Прямой 54Пифагоровы тройки. 54.
угол окажется заключенным между сторонами 55Изучение свойств натуральных чисел
длиной в 3 и 4 метра. 6. привело пифагорейцев к ещё одной «вечной»
7Ван-дер-Варден (голландский математик) проблеме теоретической арифметики (теории
сделал следующий вывод: "Заслугой чисел) — проблеме, ростки которой
первых греческих математиков, таких как пробивались задолго до Пифагора в Древнем
Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение
открытие математики, но её систематизация не найдено и поныне. Начнем с задачи,
и обоснование. В их руках вычислительные которую в современных терминах можно
рецепты, основанные на смутных сформулировать так: решить в натуральных
представлениях, превратились в точную числах неопределенное уравнение а2+b2=c2.
науку." 7. 55.
8В самом древнем индийском 56Сегодня эта задача именуется задачей
геометрическом сборнике «Сульвасутра» Пифагора, а её решения — тройки
(«Правила верёвки», 600 год до н.э.), натуральных чисел, удовлетворяющих
представляющем собой своеобразную уравнению (а2+b2=c2)— называются
инструкцию по сооружению алтарей в храмах, пифагоровыми тройками. В силу очевидной
даются правила построения прямых углов при связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора
помощи верёвки с узлами, расстояния между последней можно дать геометрическую
которыми равны 15, 36 и 39 падас (мера формулировку: найти все прямоугольные
длины). 8. треугольники с целочисленными катетами а,
9В настоящее время известно, что эта b и целочисленной гипотенузой c. 56.
теорема не была открыта Пифагором. Однако 57Эти тройки можно найти по формулам:
одни полагают, что Пифагор первым дал её b=(a2-1)/2, c=(a2+1)/2. Пифагоровы числа
полноценное доказательство, а другие обладают рядом интересных особенностей,
отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые которые мы перечислим без доказательств:
приписывают Пифагору доказательство, Один из «катетов» должен быть кратным
которое Евклид приводит в первой книге трём. Один из «катетов» должен быть
своих "Начал". 9. кратным четырём. Одно из пифагоровых чисел
10Насчитывается более пятисот должно быть кратно пяти. А. 3. 5. 6. 7. 9.
доказательств теоремы. Благодаря такому 11. 13. 15. 17. 19. 21. 39. b. 4. 12. 8.
количеству доказательств теорема Пифагора 24. 40. 60. 84. 112. 144. 180. 20. 80. c.
попала в Книгу рекордов Гиннеса как 5. 13. 10. 25. 41. 61. 85. 113. 145. 181.
теорема с наибольшим количеством 29. 89. 57.
доказательств. Это говорит о 58Древневавилонский клинописный текст,
неослабевающем интересе к ней со стороны содержащий 15 наборов пифагоровых троек,
широкой математической общественности. среди которых (четвёртая строка) есть
Теорема Пифагора послужила источником для тройка 12709, 13500, 18541: 12709 + 13500
множества обобщений и плодородных идей. = 18541. Нью-Йорк. Плимптоновский фонд
Глубина этой древней истины, по-видимому, библиотеки Колумбийского университета. 58.
далеко не исчерпана. 10. 59И тем не менее вопрос об общем решении
11Приведём различные формулировки уравнения (а2+b2=c2) в натуральных числах
теоремы Пифагора в переводе с греческого, был поставлен и решён только
латинского и немецкого языков. 11. пифагорейцами. Общая постановка, какой бы
12У Евклида эта теорема гласит то ни было математической задачи, была
(дословный перевод): "В прямоугольном чужда как древним египтянам, так и древним
треугольнике квадрат стороны, натянутой вавилонянам. Только с Пифагора начинается
над прямым углом, равен квадратам на становление математики как дедуктивной
сторонах, заключающих прямой угол". науки, и одним из первых шагов на этом
Евклид. Гравюра на меди. Примерно XVIII в. пути было решение задачи о пифагоровых
12. тройках. Первые решения уравнения
13Латинский перевод арабского текста (а2+b2=c2) античная традиция связывает с
Аннаирици (около 900 г. до н. э.), именами Пифагора и Платона. 59.
сделанный Герхардом Кремонским (начало 12 60Теорема Пифагора В литературе. 60.
в.), в переводе на русский гласит: 61Многие при имени Пифагор вспоминают
"Во всяком прямоугольном треугольнике его теорему. Но неужели мы можем встречать
квадрат, образованный на стороне, эту теорему только в геометрии? Нет,
натянутой над прямым углом, равен сумме конечно, нет! Теорема Пифагора встречается
двух квадратов, образованных на двух в разных областях наук. Например: в
сторонах, заключающих прямой угол". физике, астрономии, архитектуре и в
13. других. Но так же Пифагор и его теорема
14В Geometria Culmonensis (около 1400 воспеты в литературе. Существуют много
г.) теорема читается так: Also, wird das легенд, мифов, рассказов, песен, притчей,
vierecke Feld, gemessen an der langen небылиц об этой теореме и его авторе. 61.
Wand, so also gross ist als bei beide 62Легенда о рождении Пифагора.
Vierecke, bei zwei werden gemessen von den Бог-Творец как геометр. Родился Пифагор
zwei Wanden des deren, bei zwei gemeinde, где-то между 600 и 590 гг. до Рождества
tretten in dem rechten Winkel. В переводе Христова и жил около ста лет. Много
это означает: "Итак, площадь странных легенд дошло до наших дней о его
квадрата, измеренного по длинной стороне, рождении. Некоторые из них утверждают, что
столь же велика, как у двух квадратов, он не был обычным смертным человеком, а
которые измерены по двум сторонам его, был одним из богов, принявших человеческий
примыкающим к прямому углу". 14. облик для того, чтобы войти в мир и учить
15В первом русском переводе евклидовых человечество. 62.
"Начал", сделанном Ф. И. 63Легенда о Пифагоре. За 1000 лет
Петрушевским, теорема Пифагора изложена античной традиции реальные и вызывающие
так: "В прямоугольных треугольниках глубокое уважение к личности Пифагора
квадрат из стороны, противолежащей прямому сведения были перемешаны со множеством
углу, равен сумме квадратов из сторон, легенд, сказок и небылиц. Легенды
содержащих прямой угол". Чертёж к наперебой объявляли Пифагора чудотворцем;
теореме Пифагора в средневековой арабской сообщали, что у него было золотое бедро,
рукописи. 15. что люди видели его одновременно в двух
16Существует три формулировки теоремы разных городах говорящим со своими
Пифагора: 1. В прямоугольном треугольнике учениками, что однажды, когда он с
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов многочисленными спутниками переходил реку
катетов. 2. Площадь квадрата, построенного и заговорил с ней, река вышла из берегов и
на гипотенузе прямоугольного треугольника, громким сверхчеловеческим голосом
равна сумме площадей квадратов, воскликнула: «Да здравствует Пифагор!»,
построенных на катетах. 3. Квадрат, что в Тиррении он умертвил своим укусом
построенный на гипотенузе прямоугольного ядовитую змею, унесшую жизни многих
треугольника, равносоставлен с квадратами, тирренцев, что он предсказывал
построенными на катетах. 16. землетрясения, останавливал повальные
17И способы её доказательства. 17. болезни, отвращал ураганы, укрощал морские
18Теорема Пифагора – важнейшее волны. 63.
утверждение геометрии. Даже те, кто в 64Порфирий рассказывает о Пифагоре такую
своей жизни навсегда «распрощался» с историю: в «Таренте он увидел быка на
математикой, сохраняют воспоминания о разнотравье, жевавшего зеленые бобы,
«пифагоровых штанах». Причина такой подошел к пастуху и посоветовал сказать
популярности теоремы Пифагора объясняется быку, чтобы тот этого не делал. Пастух
её простотой, красотой, значимостью. 18. стал смеяться и сказал, что не умеет
19Это прямоугольный треугольник. Катет. говорить по-бычьи; тогда Пифагор сам
Гипотенуза. Катет. 19. подошел к быку и прошептал ему что-то на
20Если дан нам треугольник И притом с ухо, после чего тот не только тут же пошел
прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы прочь от бобовника, но и более никогда не
всегда легко найдем: Катеты в квадрат касался бобов, а жил с тех пор и умер в
возводим, Сумму степеней находим — И таким глубокой старости в Таренте при храме
простым путем К результату мы придём. На Геры, где слыл священным быком и кормился
этом свойстве прямоугольного треугольника хлебом, который давали ему прохожие». 64.
и основана теорема Пифагора. Она 65Диоген Лаэртский, например,
показывает зависимость между гипотенузой и рассказывает так: «Появившись в Италии,
катетами прямоугольного треугольника. 20. Пифагор устроил себе жилье под землей, а
21Здесь вы можете увидеть доказательство матери велел записывать на дощечках всё,
теоремы Пифагора, которое основано на что происходит и когда, а дощечки спускать
равновеликости фигур, из которых они к нему, пока он не выйдет. Мать так и
состоят. Это доказательство считается делала; а Пифагор, выждав время, вышел,
одними из самых простых из-за своей иссохший, как скелет, предстал перед
наглядности. 1. Доказательства, основанные народным собранием и заявил, будто пришел
на использовании понятия равновеликости из Аида, а при этом прочитал им обо всём,
фигур. 21. что с ними случилось. Все были потрясены
22Доказательство Пифагора. Квадрат, прочитанным, плакали и рыдали, а Пифагора
построенный на гипотенузе прямоугольного почли Богом. И тем не менее основной тон
треугольника, равновелик сумме квадратов, всех преданий о Пифагоре был один: «Ни о
построенных на его катетах. 22. ком не говорят так много и так необычайно»
23Квадрат, построенный на гипотенузе (Порфирий). 65.
прямоугольного треугольника, равновелик 66Много ещё различных чудес можно было
сумме квадратов, построенных на его бы рассказать о Пифагоре. Но главное
катетах. Почтовая марка по случаю «чудо», прославившее в веках имя великого
переименования острова Самос в остров эллина, было в другом. Это чудо Пифагора
Пифагорейон. На марке надпись: « состояло в том, что он вывел человечество
т.Пифагора. Эллас. 350 драхи». 23. из лабиринтов мифотворчества и
242. Аддитивные доказательства. богоискательства к берегам океана точного
Аддитивные доказательства - это знания. Утренние купания пифагорейцев в
доказательства, которые основаны на волнах Ионического моря были и ежедневной
разложении квадратов, построенных на прелюдией к плаванию по океану знания.
катетах, на фигуры, из которых можно Только целью плавания на сей раз были не
сложить квадрат, построенный на поиски золотого руна, а поиски сокровища,
гипотенузе. 24. куда более ценного. То были поиски истины.
25Доказательство Эпштейна. Дано: ABC - 66.
прямоугольный треугольник с прямым углом 67Пифагор- это не только великий
С; С?EF; PO||EF; MN||EF; CD?EF. Доказать: математик, но и великий мыслитель своего
квадрат на гипотенузе равен сумме времени. Познакомимся с некоторыми его
квадратов, построенных на катетах философскими высказываниями… Пифагор.
Доказательство. Треугольники 1 совпадают Гравюра из старинной книги. 67.
при повороте друг друга на 90° ? они 68Мысль — превыше всего между людьми на
равны. Треугольники 2 совпадают при осевом земле. Не садись на хлебную меру (т. е. не
отображении относительно оси EF и живи праздно). По торной дороге не ходи
параллельном переносе, т.е. они тоже (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям
равны. При параллельных переносах и немногих понимающих). Ласточек в доме не
поворотах совпадают и все остальные держи (т. е. не принимай гостей болтливых
треугольники, т.е. они тоже равны между и не сдержанных на язык). Будь с тем, кто
собой. Из всего этого следует, что квадрат ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу
на гипотенузе равен сумме квадратов, сваливает (т. е. поощряй людей не к
построенных на катетах. Теорема доказана. праздности, а к добродетели, к труду). В
25. перстне изображений не носи (т. е. не
26Здесь вы найдете доказательства, для выставляй напоказ перед людьми, как ты
осуществления которых использовались судишь и думаешь о богах). 68.
дополнительные построения. 3. 69Легенды об открытии теоремы Пифагора.
Доказательства методом построения. 26. Открытие теоремы Пифагором окружено
27Доказательство Гофмана. 2. Построим ореолом красивых легенд. Прокл,
BF=CB, BF?CB. 3. Построим BE=AB, BE?AB. 4. комментируя последнее предложение I книги
Построим AD=AC, AD?AC. 5. Точки F, C, D «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать
принадлежат одной прямой. 1. Построим тех, кто любит повторять древние легенды,
треугольник ABC с прямым углом С. 27. то придётся сказать, что эта теорема
28Что и требовалось доказать! восходит к Пифагору; рассказывают, что он
Доказательство Гофмана. 6. Как мы видим, в честь этого открытия принёс в жертву
четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, быка». Впрочем, более щедрые сказители
т.к. ABF= ЕCB. Треугольники ADF и ACE одного быка превратили в одну гекатомбу, а
равновелики. 7. Отнимем от обоих это уже целая сотня. И хотя ещё Цицерон
равновеликих четырёхугольников общий для заметил, что всякое пролитие крови было
них треугольник ABC, получим: 1/2а2+1/2b чуждо уставу пифагорейского ордена,
2=1/2с 2 8. Соответственно: а2+ b 2 =с 2. легенда эта прочно срослась с теоремой
28. a. Пифагора и через две тысячи лет продолжала
294. Алгебраический метод вызывать горячие отклики. 69.
доказательства. Эти доказательства, 70О теореме Пифагора. Уделом истины не
основанные на применении в геометрии может быть забвенье, Как только мир её
алгебраических формул. Это достаточно увидит взор, И теорема та, что дал нам
легкие доказательства, не требующие Пифагор, Верна теперь, как в день её
никаких дополнительных построений. 29. рожденья. За светлый луч с небес вознес
30Доказательство Мёльманна. 1. Площадь благодаренье Мудрец богам не так, как было
данного треугольника с одной стороны равна до тех пор. Ведь целых сто быков послал он
0,5ab, с другой 0,5pr, где p – под топор, Чтоб их сожгли как
полупериметр треугольника, r – радиус жертвоприношенье. Быки с тех пор, как
вписанной в него окружности только весть услышат, Что новой истины уже
(r=0,5(a+b-c)). 30. следы видны, Отчаянно мычат и ужаса полны:
31Доказательство Мёльманна. Что и Им Пифагор навек внушил тревогу. Не в
требовалось доказать! 2. Имеем: силах преградить той истине дорогу, Они,
0,5ab=0,5pr=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c) закрыв глаза, дрожат и еле дышат. Суть
0,5ab=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c) аb=0,5(а2 + ab истины вся в том, что нам она-навечно,
– ac + ab + b2 – bc + ca + cb - с2) Когда хоть раз в прозрений её увидим свет,
аb=0,5(а2 + b2- с2 +2ab)/·2 2аb=а2 + b2- И теорема Пифагора через столько лет Для
с2 +2ab а2 + b2- с2 =0 3. Отсюда следует, нас, как для него, бесспорна, безупречна.
что с2= а2+b2. 31. На радостях богам был Пифагором дан обет:
325. Доказательства методом разложения. За то, что мудрости коснулся бесконечной,
Простейшие доказательства теоремы, для Он сто быков заклал, благодаря предвечных;
понимания которых достаточно одного Моленья и хвалы вознес он жертве вслед. С
взгляда на чертёж. Мы предлагаем несколько тех пор быки, когда, учуют, тужась, Что к
доказательств, которые не требуют новой истине людей опять подводит след,
пояснений. Это доказательства способом Ревут остервенело, так что слушать мочи
разложения квадратов на катетах и нет, Такой в них Пифагор вселил навеки
гипотенузе на отдельные фигуры. 32. ужас, Быкам, бессильным новой правде
33Доказательство Перигаля. противостоять, Что остается? - Лишь, глаза
Доказательство Перигаля очень легкое. Два закрыв, реветь, дрожать. 70.
квадрата, построенные на катетах, 71Так, оптимист Михайло Ломоносов
расположены рядом. Надо разделить эту (1711-1765) писал: «Пифагор за изобретение
фигуру всего на 3(!) части, чтобы сложить одного геометрического правила Зевесу
из них квадрат на гипотенузе. На принёс в жертву сто волов. Но ежели бы за
иллюстрации наглядно дано это разрезание. найденные в нынешние времена от остроумных
33. математиков правила по суеверной его
346. Доказательство методом вычитания. ревности поступать, то едва бы в целом
Наряду с доказательствами методом сложения свете столько рогатого скота сыскалось».
можно привести примеры доказательств при 71.
помощи вычитания, называемых также 72А вот ироничный Генрих Гейне
доказательствами методом дополнения. Общая (1797-1856) видел развитие той же ситуации
идея таких доказательств заключается в несколько иначе: «Кто знает! Кто знает!
следующем. Доказательства методом Возможно, душа Пифагора переселилась в
вычитания - доказательства при помощи беднягу кандидата, который не может
вырезания определенных фигур из равных по доказать теорему Пифагора и провалился
площади частей. 34. из-за этого на экзаменах, тогда как в его
35На рисунке к обычной пифагоровой экзаменаторах обитают души тех быков,
фигуре приставлены сверху и снизу которых Пифагор, обрадованный открытием
треугольники 2 и 3, равные исходному своей теоремы, принёс в жертву бессмертным
треугольнику 1. Прямая DG обязательно богам». 72.
пройдет через C. Заметим теперь, что 73Легенды о смерти Пифагора. Когда был
шестиугольники DABGFE и CAJKHB подожжён дом Милона, где собрались
равновелики. Если мы от первого из них пифагорейцы, когда стали рушиться подпорки
отнимем треугольники 1 и 2, то останутся и перекрытия, державшие крышу, Пифагор в
квадраты, построенные на катетах, а если задумчивости сидел в центре большой залы.
от второго шестиугольника отнимем равные Великий мудрец и не помышлял сделать хоть
треугольники 1 и 3, то останется квадрат, одно движение к своему спасению. Тогда
построенный на гипотенузе. Отсюда ученики Пифагора бросились в огонь и
вытекает, что квадрат, построенный на проложили в нем дорогу учителю, чтобы он
гипотенузе, равновелик сумме квадратов, по их телам, как по мосту, вышел из
построенных на катетах. 35. объятого пламенем дома. Пифагора спасли,
367. Другие доказательства. но страшной ценой—ценой жизней его
Доказательство с помощью косинуса угла. единомышленников. Оставшись один, Пифагор
Пусть АВС – данный прямоугольный так затосковал, что удалился из города и
треугольник с прямым углом С. Проведем там лишил себя жизни. Жизнь без
высоту СD из вершины прямого угла С. По продолжателей учения была для Пифагора
определению косинуса угла лишена смысла. 73.
cosA=AD/AC=AC/AB. Отсюда АВ*AD=AC*АС. 74Фрагмент фильма «Приключения
Аналогично cos B=BD/BC=BC/AB. Отсюда Электроника» Ералаш. 74.
АВ*BD=BC*BC. Складывая полученные 75Эпилог. Вечный кладезь мудрости. 75.
результаты почленно и замечая, что 76Учение Пифагора не погибло в
AD+DB=AB, получим: AC*AC + BC*BC = AB*AB. кротонском пожаре. Подобранные горсткой
Теорема доказана. 36. оставшихся в живых учеников зерна этого
37Занимательные задачи по теме: учения не только были сохранены, но и дали
"Теорема Пифагора". 37. обильные всходы. Благодарная память
38Древнеиндийская задача. Над озером единомышленников сохранила для
тихим С полфута размером Высился лотоса человечества имя Пифагора — выдающегося
цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом математического гения, творца акустики,
Отнёс его в сторону. Нет Боле цветка над основоположника теории музыки, «Коперника
водой. Нашёл же рыбак его Ранней весною В древней астрономии», основателя
двух футах от места, где рос. Итак, религиозного братства — прообраза
предложу я вопрос: “Как озера вода здесь средневековых монашеских орденов,
глубока?”. 38. богослова и реформатора, человека высокой
39Решение. Выполним чертёж к задаче и нравственности, личности богатой,
обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = противоречивой и загадочной, стоящей на
AB = Х + 0,5 . Из треугольника ACB по рубеже пробуждающейся науки и пышно
теореме Пифагора имеем AB2 – AC2 = BC2, (Х цветущей мифологии. 76.
+ 0,5)2 – Х2 = 22 , Х2 + Х + 0,25 – Х2 = 77И чем дальше неумолимое время уносит
4, Х = 3,75. Таким образом, глубина озера нас от времени Пифагора, тем острее
составляет 3,75 фута. 3, 75 • 0,3 = 1,125 видится поразительная прозорливость
(м) Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м. Какова эллинского мудреца, объявившего два с
глубина в современных единицах длины (1 половиной тысячелетия назад, что «Всё есть
фут приближённо равен 0,3 м) ? 39. число». Если снять с этого тезиса
40Задача индийского математика XII в. мистическую паутину, то нам откроется
Бхаскары. На берегу реки рос тополь гениальное пророчество, определившее весь
одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол последующий путь развития науки. Тогда
надломал. Бедный тополь упал. И угол древний пифагорейский тезис примет
прямой с теченьем реки его ствол современное звучание: математика есть ключ
составлял. Запомни теперь, что в том месте к познанию всех тайн природы. 77.
река в четыре лишь фута была широка. 78Именно так определяет роль Пифагора в
Верхушка склонилась у края реки, осталось истории естествознания современный
три фута всего от ствола. Прошу тебя, американский математик и историк науки М.
скоро теперь мне скажи: у тополя как Клайн: «Но то ли по счастливому стечению
велика высота? 40. обстоятельств, то ли благодаря гениальной
41Задача Бхаскары. Решение. Пусть CD – интуиции пифагорейцам удалось
высота ствола. BD = АВ По теореме Пифагора сформулировать два тезиса, общезначимость
имеем АВ = 5 . CD = CB + BD, CD = 3 + 5 которых подтвердило всё последующее
=8. Ответ: 8 футов. 41. развитие науки: во-первых, что
42Задача арабского математика XI в. На основополагающие принципы, на которых
обоих берегах реки растет по пальме, одна зиждется мироздание, можно выразить на
против другой. Высота одной 30 локтей, языке математики; во-вторых, что
другой – 20 локтей. Расстояние между их объединяющим началом всех вещей служат
основаниями – 50 локтей. На верхушке числовые отношения, которые выражают
каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе гармонию и порядок природы». 78.
птицы заметили рыбу, выплывшую к 79В Абдерах в 430—420-х гг. до н. э. (т.
поверхности воды между пальмами. Они е. менее чем через 100 лет после смерти
кинулись к ней разом и достигли её Пифагора) произошло невиданное событие: в
одновременно. На каком расстоянии от Абдерах были выпущены монеты с
основания более высокой пальмы появилась изображением Пифагора и подписью.
рыба? 42. Абдерские монеты — это не только первый в
43Решение. Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 истории чеканный портрет философа, но это
=ВD2 +АD2 АВ2=302 +Х2 АВ2=900+Х2; в и первое на греческих монетах подписанное
треугольнике АЕС: АС2= СЕ2+АЕ2 АС2=202+(50 изображение человека. И таким человеком
– Х)2 АС2=400+2500 – 100Х+Х2 АС2=2900 – оказался не царь, не тиран, не полководец,
100Х+Х2. Но АВ=АС, так как обе птицы а мудрец! Что касается
пролетели эти расстояния за одинаковое Пифагора-математика, то он, видимо,
время. Поэтому АВ2 =АС2 , 900+Х2 =2900 – навсегда останется первым и последним
100Х+Х2, 100Х=2000, Х=20, АD=20. Значит, математиком в истории человечества, чей
рыба была на расстоянии 20 локтей от профиль удостоился столь высокой чести!
большой пальмы. Ответ: 20 локтей. 43. 79.
44Задача из учебника 80Самосская монета с изображением
"Арифметика" Леонтия Магницкого. Пифагора. II-III вв. Прорисовка. Конечно,
"Случися некому человеку к стене это не портрет Пифагора, а обобщённый
лестницу прибрати, стены же тоя высота образ учёного. 80.
есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 81Но для учёного важнее не внешние
125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея атрибуты славы, а признание и дальнейшая
лестницы нижний конец от стены отстояти жизнь его идей. И здесь Пифагору также
имать." 44. светила счастливая звезда. Идеями Пифагора
45Задача из китайской "Математики в пронизано творчество Платона — величайшего
девяти книгах" "Имеется водоем философа в истории человечества. Плотин,
со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его Порфирий, Ямвлих, Прокл, первая женщина
растет камыш, который выступает над водой философ и математик Гипатия, растерзанная
на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то толпой фанатиков-христиан,— все они были
он как раз коснётся его. Спрашивается: страстными приверженцами Пифагора.
какова глубина воды и какова длина камыша? Неоплатонизм, уходящий корнями в древнее
" 45. пифагорейство, стал мощным философским
46Практическое применение теоремы течением, идущим из античности в
Пифагора. 46. современность. Идеи неоплатоников питали
47Диагональ d квадрата со стороной а Аврелия Августина (354—430) и Иоанна Скота
можно рассматривать как гипотенузу Эриугену (810—877), Николая Кузанского
прямоугольного равнобедренного (1401 —1464) и Джероламо Кардано (1501
треугольника с катетом а. Таким образом: —1576), Томмазо Кампанеллу (1568—1639) и
d2=2a?, d= a. 47. Джордано Бруно (1548—1600), Фридриха
48Диагональ d прямоугольника со Шеллинга (1775— 1854) и Георга Гегеля
сторонами а и b вычисляется подобно тому, (1770—1831), Владимира Соловьева
как вычисляется гипотенуза прямоугольного (1853—1900) и Сергея Булгакова (1871
треугольника с катетами a и b. Мы имеем —1944), Павла Флоренского (1882—1937?) и
d?=a?+b? . d=. 48. Алексея Лосева (1893—1988). 81.
49На рисунке изображен куб, внутри 82Заложенная Пифагором вера в красоту и
которого проведена диагональ d, являющаяся гармонию природы, в мудрую простоту и
одновременно гипотенузой прямоугольного целесообразность её законов, построенных
треугольника, заштрихованного на рисунке. на единых математических принципах,
Катетами треугольника служат ребро куба и окрыляла творчество титанов современного
диагональ квадрата, лежащего в основании естествознания от Иоганна Кеплера (1571
(как указывалось ранее, длина диагонали —1630) до Альберта Эйнштейна (1879—1955).
равна а). Отсюда имеем d2 = a2+( а)2, Это и есть путеводная звезда современного
d2=3a2, d= a. 49. естествознания, тот вечный кладезь
50Рассуждение, подобное этому, можно мудрости, который открыл человечеству
провести и для прямоугольного Пифагор. 82.
параллелепипеда с ребрами a, b, с и 83“Геометрия владеет двумя сокровищами:
получить для диагонали выражение d =. 50. одно из них - это теорема Пифагора, а
51Считать приложения теоремы Пифагора другое - деление отрезка в среднем и
только теоретическими - большая ошибка. крайнем отношении… Первое можно сравнить с
Заметим, что расчёт площади кровли можно мерой золота; второе же больше напоминает
заметно упростить, если воспользоваться драгоценный камень”. Иоганн Кеплер. 83.
одним очень простым правилом, справедливым
Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень.ppt
http://900igr.net/kartinka/geometrija/geometrija-vladeet-dvumja-sokrovischami-odno-iz-nikh-eto-teorema-pifagora-a-drugoe-delenie-otrezka-v-srednem-i-krajnem-otnoshenii-pervoe-mozhno-sravnit-s-meroj-zolota-vtoroe-zhe-bolshe-napominaet-dragotsennyj-kamen-154600.html
cсылка на страницу

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень

другие презентации на тему «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень»

«Длина отрезка» - Могут ли точки А, В, С принадлежать одной прямой, если АВ = 2 см, ВС = 3 см, АС = 4 см? Чему равна длина отрезка: а) AB; б) AC; в) AD; г) BC; д) BD; е) CD? Чему равна длина отрезка AB, если OE – единичный отрезок. Где хранится эталон метра из платины? На прямой последовательно отложены три отрезка: АВ, ВС и СD так, что АВ = 3 см, ВС = 5 см, CD = 4 см.

«Луч прямая отрезок» - Точка, Луч FR. Точка О - начало луча. Прямая. S. Назовите отрезки, прямые и лучи, изображенные на рисунке. Луч PM. Отрезок. Отрезок ОЕ - единичный отрезок, ОЕ=1. Числа - координаты точек : Точки С и Д – концы отрезка СД. Точка. Прямая, Координатный. Луч. Отрезок,

«Добыча золота» - Уже в 1941г. уровень добычи золота артелей старателей достиг 40,5 т. В 1990-1991гг. артели добыли до 60% всего золота в России. В период 1950-1956 гг. добыча золота артелями старателей была запрещена. В Западной Сибири доля старательской добычи составила – 33%. К 1924 г. старательская добыча в России сократилась более чем в двое.

«Операции банка с драгоценными металлами» - Перспективы инвестирования в драгоценные металлы (золото). Пример рынка драгоценных металлов: Рынок золота. Предложение золота (в тоннах). Основные операции банков на рынке драгоценных металлов. Преимущества работы банков на рынке драгметаллов. Деятельность российских коммерческих банков на рынке драгоценных металлов и драгоценных камней.

«Доказательство теоремы Пифагора» - Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии. «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Самое простое доказательство. Алгебраическое доказательство. Теорема Пифагора. Формулировка теоремы. Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Значение теоремы состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

«История теоремы Пифагора» - Обильно было жертвоприношение Богам от Пифагора. Кто знает! Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. И руководствуйся подлинным знанием — лучшим возничим. Стихи о Пифагоре. Задача №1. Ученические шаржи. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Т е о р е м а.

Теорема Пифагора

16 презентаций о теореме Пифагора
Урок

Геометрия

40 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по геометрии > Теорема Пифагора > Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень