Треугольник
<<  Четыре замечательные точки треугольника Биссектриса угла  >>
Замечательные точки треугольника
Замечательные точки треугольника
Высоты треугольника
Высоты треугольника
Замечание
Замечание
Теорема
Теорема
Постройте точку пересечения биссектрис
Постройте точку пересечения биссектрис
Постройте точку пересечения биссектрис
Постройте точку пересечения биссектрис
Постройте точку пересечения медиан
Постройте точку пересечения медиан
Постройте точку пересечения медиан
Постройте точку пересечения медиан
Постройте точку пересечения
Постройте точку пересечения
Постройте точку пересечения
Постройте точку пересечения
Постройте точку
Постройте точку
Постройте точку
Постройте точку
Постройте точку пересечения прямых
Постройте точку пересечения прямых
Постройте точку пересечения прямых
Постройте точку пересечения прямых
Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров
Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров
Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров
Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров
Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
Биссектриса треугольника
Биссектриса треугольника
Центр описанной окружности
Центр описанной окружности
Ортоцентр
Ортоцентр
Центр вписанной окружности
Центр вписанной окружности
Биссектрисы
Биссектрисы
Найдите угол
Найдите угол
Найдите угол между высотами
Найдите угол между высотами
Медиана прямоугольного треугольника
Медиана прямоугольного треугольника
Радиус окружности
Радиус окружности
Проекции двух сторон
Проекции двух сторон
Основания трапеции
Основания трапеции
Высоты
Высоты
Упражнение 30
Упражнение 30
Упражнение 30
Упражнение 30
Упражнение 31
Упражнение 31
Упражнение 31
Упражнение 31
Центр
Центр
Центр
Центр
Окружность Эйлера
Окружность Эйлера
Решение
Решение
Решение
Решение
Решение
Решение
Изобразите окружность
Изобразите окружность
Изобразите окружность
Изобразите окружность
Изобразите окружность Эйлера
Изобразите окружность Эйлера
Изобразите окружность Эйлера
Изобразите окружность Эйлера
Точка Торричелли
Точка Торричелли
Равносторонний треугольник
Равносторонний треугольник
Картинки из презентации «Задачи на замечательные точки треугольника» к уроку геометрии на тему «Треугольник»

Автор: *. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока геометрии, скачайте бесплатно презентацию «Задачи на замечательные точки треугольника.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 604 КБ.

Задачи на замечательные точки треугольника

содержание презентации «Задачи на замечательные точки треугольника.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Замечательные точки треугольника. К 30гипотенузы. Доказательство. следует из
числу замечательных точек треугольника того, что центром окружности, описанной
относятся: а) точка пересечения биссектрис около прямоугольного треугольника,
– центр вписанной окружности; б) точка является середина гипотенузы.
пересечения серединных перпендикуляров 31Упражнение 22. Докажите, что если
сторон – центр вписанной окружности; в) медиана треугольника равна половине
точка пересечения высот или их продолжений стороны, к которой она проведена, то этот
– ортоцентр; г) точка пересечения медиан – треугольник прямоугольный. Доказательство.
центроид. В этом случае основание M медианы
2Теорема 1. Высоты треугольника или их равноудалено от вершин треугольника и,
продолжения пересекаются в одной точке. В следовательно, является центром описанной
самом деле, СЕ = АВ и АВ = СD как окружности. Угол C опирается на диаметр
противоположные стороны параллелограммов AB, следовательно, равен 90о.
АЕСВ и АСDB. Следовательно, ЕС = СD. Точно 32Упражнение 23. Гипотенуза
так же FB = BD, FA = AE. Отсюда следует, прямоугольного треугольника равна 4.
что высоты треугольника АВС лежат на Найдите радиус описанной окружности.
серединных перпендикулярах к сторонам Ответ: 2.
треугольника DEF. Так как серединные 33Упражнение 24. Найдите радиус
перпендикуляры к сторонам треугольника окружности, вписанной в правильный
пересекаются в одной точке, то и высоты треугольник, высота которого равна 6.
треугольника ABC или их продолжения Ответ: 2.
пересекаются в одной точке. 34Упражнение 25. Радиус окружности,
3Замечание. Заметим, что высоты вписанной в правильный треугольник, равен
треугольника могут не пересекаться. На 3. Найдите высоту этого треугольника.
рисунке изображен тупоугольный треугольник Ответ: 9.
ABC, в котором продолжения высот AA1, BB1, 35Упражнение 26. Медиана, проведенная к
CC1 пересекаются в одной точке H, а сами гипотенузе прямоугольного треугольника,
высоты не пересекаются. равна 3 и делит прямой угол в отношении
4Теорема 2. Медианы треугольника 1:2. Найдите меньший катет треугольника.
пересекаются в одной точке и делятся в Ответ: 3.
этой точке в отношении 2 : 1, считая от 36Упражнение 27. Проекции двух сторон
вершин. Треугольники HGO и EDO равны (по остроугольного треугольника АВС на прямую
второму признаку равенства треугольников). АС имеют длины 6 см и 4 см. Какую длину
Следовательно, HO = OE и GO = OD. Таким имеют проекции медиан этого треугольника
образом, имеем AG = GO = OD, BH = HO = OE, на ту же прямую? Ответ: 1 см, 7 см и 8 см.
т.е. медианы АD и BE в точке пересечения 37Упражнение 28. Основания трапеции
делятся в отношении 2:1, считая от равны 20 и 8, углы при большем основании
соответствующей вершины. Медиана, равны 40о и 50о. Найдите отрезок,
проведенная из вершины С, также должна соединяющий середины оснований. Ответ: 6.
делить медиану АD в отношении 2:1. 38Упражнение 29. Докажите, что если AA1,
Следовательно, она будет проходить через BB1 – высоты треугольника ABC, то угол
точку О, т.е. все три медианы будут A1AC равен углу B1BC. Доказательство.
пересекаться в одной точке. Прямоугольные треугольники A1AC и B1BC
5Вопрос 1. Какие точки относятся к имеют общий острый угол C. Следовательно,
числу замечательных точек в треугольнике? равны и два других их острых угла A1AC и
Ответ: К числу замечательных точек B1BC.
треугольника относятся: а) точка 39Упражнение 30. Докажите, что если AA1,
пересечения биссектрис; б) точка BB1 – высоты треугольника ABC, то угол
пересечения серединных перпендикуляров B1A1C равен углу BAC.
сторон; в) точка пересечения высот или их 40Упражнение 31. Докажите, что если AA1,
продолжений; г) точка пересечения медиан. BB1, CC1 – высоты треугольника ABC, то
6Вопрос 2. Всегда ли высоты угол A1C1C равен углу B1C1C.
треугольника пересекаются? Ответ: Нет. 41Упражнение 32. В остроугольном
Высоты тупоугольного треугольника не треугольнике ABC проведены высоты BB1 и
пересекаются. CC1, BC = 24, B1C1 = 12, O – центр
7Вопрос 3. Как называется точка вписанной окружности. Найдите угол BOC.
пересечения высот? Ответ: Ортоцентр. 42Окружность Эйлера. Пусть в
8Вопрос 4. Как называется точка треугольнике ABC точки A1, B1, C1
пересечения медиан? Ответ: Центроид. обозначают середины сторон противоположных
9Вопрос 5. В каком отношении делятся соответствующим вершинам; H – точка
медианы треугольника точкой их пересечения высот треугольника; A2, B2, C2
пересечения? Ответ: 2:1, считая от вершин. – основания высот, опущенных из
10Упражнение 1. Постройте точку соответствующих вершин; A3, B3, C3 –
пересечения биссектрис треугольника ABC. середины отрезков AH, BH и CH. Докажите,
11Упражнение 2. Постройте точку что точки A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3,
пересечения медиан треугольника ABC. C3 принадлежат одной окружности,
12Упражнение 3. Постройте точку называемой окружностью девяти точек, или
пересечения медиан треугольника ABC. окружностью Эйлера. Решение дано на
13Упражнение 4. Постройте точку следующем слайде.
пересечения высот треугольника ABC. 43Решение. Проведем окружность через
14Упражнение 5. Постройте точку точки C1, C2, C3. Отрезок C1C3 будет ее
пересечения прямых, на которых лежат диаметром. Так как A1C1 – средняя линия
высоты треугольника ABC. треугольника ABC, то A1C1 || AC. Так как
15Упражнение 6. Постройте точку A1C3 – средняя линия треугольника BCH, то
пересечения серединных перпендикуляров к A1C3 || BH. Значит, и, следовательно,
сторонам треугольника ABC. точка A1 принадлежит этой окружности.
16Упражнение 7. Постройте точку Аналогично, Так как A3C3 – средняя линия
пересечения серединных перпендикуляров к треугольника AHC, то A3C3 || AC. Так как
сторонам треугольника ABC. C1A3 – средняя линия треугольника ABH, то
17Упражнение 8. Может ли точка C1A3 || BH. Значит, и, следовательно,
пересечения биссектрис треугольника точка A3 принадлежит этой окружности.
находиться вне этого треугольника? Ответ: A1C1A3C3 – прямоугольник и, значит, A1A3 –
Нет. диаметр окружности. Так как , то A2
18Упражнение 9. Может ли точка принадлежит окружности. Таким образом, мы
пересечения медиан треугольника находиться доказали, что этой окружности принадлежат
вне этого треугольника? Ответ: Нет. точки A1, A2, A3. Аналогично доказывается,
19Упражнение 10. Может ли точка что этой окружности принадлежат точки B1,
пересечения высот или их продолжений B2, B3.
находиться вне этого треугольника? Ответ: 44Окружность Эйлера 2. Изобразите
Да, у тупоугольного треугольника. окружность Эйлера для треугольника ABC.
20Упражнение 11. Может ли вершина Найдите ее радиус.
треугольника быть точкой пересечения его 45Окружность Эйлера 3. Изобразите
высот? Ответ: Да, у прямоугольного окружность Эйлера для треугольника ABC.
треугольника. 46Точка Торричелли. Точкой Торричелли
21Упражнение 12. Где находится точка треугольника ABC называется такая точка O,
пересечения серединных перпендикуляров из которой стороны данного треугольника
для: а) прямоугольного треугольника; б) видны под углом 120о, т.е. углы AOB, AOC и
остроугольного треугольника; в) BOC равны 120о. Докажите, что в случае,
тупоугольного треугольника? Ответ: а) В если все углы треугольника меньше 120о,
середине гипотенузы; Б) внутри точка Торричелли существует. Решение дано
треугольника; В) вне треугольника. на следующем слайде.
22Упражнение 13. Может ли одна 47Решение. На стороне AB треугольника
биссектриса треугольника проходить через ABC построим равносторонний треугольник
середину другой? ABC', и опишем около него окружность.
23Упражнение 14. К какой из сторон Отрезок AB стягивает дугу этой окружности
треугольника ближе расположен центр величиной 120о. Следовательно, из точек
описанной окружности? Ответ: К большей этой дуги, отличных от A и B, отрезок AB
стороне. виден под углом 120о. Аналогично, на
24Упражнение 15. К какой из сторон стороне BC треугольника ABC построим
треугольника ближе расположен ортоцентр? равносторонний треугольник A’BC, и опишем
Ответ: Ортоцентр треугольника расположен около него окружность. Из точек
ближе к меньшей стороне. соответствующей дуги, отличных B и C,
25Упражнение 16. К какой из вершин отрезок BC виден под углом 120о. В случае,
треугольника ближе расположен центр когда углы треугольника меньше 120о, эти
вписанной окружности? Ответ: К вершине, дуги пересекаются в некоторой внутренней
лежащей против большей стороны. точке O, из которой стороны треугольника
26Упражнение 17. Углы В и С треугольника ABC видны под углом 120о.
АВС равны соответственно 10о и 100о. 48Упражнение 35. На сторонах
Найдите углы ВОС и СОА, где О - центр треугольника ABC, углы которого меньше
описанной окружности. Ответ: 140о, 20о. 120о, во внешнюю сторону от него построили
27Упражнение 18. Биссектрисы АА1 и ВВ1 равносторонние треугольники. Докажите, что
треугольника АВС пересекаются в точке О. отрезки, соединяющие вершины исходного
Найдите углы АСО и ВСО, если AOB = 136о. треугольника и противоположные им вершины
Ответ: 46о и 46о. равносторонних треугольников, пересекаются
28Упражнение 19. Биссектрисы АА1 и ВВ1 в одной точке. Решение. Докажем, что
треугольника АВС пересекаются в точке О. искомой точкой пересечения является точка
Найдите угол АOB, если ACB = 50о. Ответ: Торричелли O.
115о. 49Упражнение 36. На сторонах
29Упражнение 20. Углы треугольника АВС треугольника ABC во внешнюю сторону от
равны соответственно 40о, 60о и 80о. него построили равносторонние
Найдите угол между высотами АA1 и BB1. треугольники. Докажите, что центры
Ответ: 80о. окружностей, описанных около этих
30Упражнение 21. Докажите, что медиана треугольников, являются вершинами
прямоугольного треугольника, проведенная равностороннего треугольника.
из вершины прямого угла, равна половине
Задачи на замечательные точки треугольника.ppt
http://900igr.net/kartinka/geometrija/zadachi-na-zamechatelnye-tochki-treugolnika-59733.html
cсылка на страницу

Задачи на замечательные точки треугольника

другие презентации на тему «Задачи на замечательные точки треугольника»

«Критические точки функции» - Необходимое условие экстремума. Но, если f' (х0) = 0, то необязательно, что точка х0 будет точкой экстремума. Критические точки функции Точки экстремумов. Точки экстремума (повторение). Примеры. Определение. Критические точки. Среди критических точек есть точки экстремума.

«Равнобедренный треугольник» - Высота. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. BD - высота. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

«Углы треугольника» - Равнобедренный треугольник. Остроугольный треугольник. Разносторонний треугольник. В равностороннем треугольнике углы равны 600. Тупоугольный треугольник. Может ли в треугольнике быть два прямых угла? В прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны по 450. Сумма углов треугольника равна 1800.

«Точка симметрии» - Точка C называется центром симметрии. B А О Любая точка прямой является центром симметрии. Равнобочная трапеция имеет только осевую симметрию. Точка О называется центром симметрии. Фигуры, содержащие ось симметрии. Зеркальная симметрия . Все твердые тела состоят из кристаллов. Такая фигура обладает центральной симметрией.

«Расстояние от точки до прямой» - В единичном кубе A…D1 точка E – середина ребра C1D1. В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки A до прямой BD. Удвоенная площадь треугольника ABC, с одной стороны, равна bc, а с другой . В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки A до прямой CD. В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки A до прямой CB1.

«Производная функции в точке» - Программированный контроль. В точке. Какое значение принимает производная функций y= f(x) в точке А? 1) Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=Sinх в точке х= ?/4. 2) Найдите. Напишите уравнение касательной к графику функции у= в точке с абсциссой х =3. Подведение итогов урока.

Треугольник

42 презентации о треугольнике
Урок

Геометрия

40 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по геометрии > Треугольник > Задачи на замечательные точки треугольника