Уравнения
<<  Графики уравнений, содержащих модули Понятие о дифференциальных уравнениях. Математическое моделирование исторических процессов  >>
Картинок нет
Картинки из презентации «Дифференциальные уравнения первого порядка» к уроку математики на тему «Уравнения»

Автор: Пахомова Е.Г.. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока математики, скачайте бесплатно презентацию «Дифференциальные уравнения первого порядка.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 97 КБ.

Дифференциальные уравнения первого порядка

содержание презентации «Дифференциальные уравнения первого порядка.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Математический анализ Раздел: 110, f2(x) = 0. 2) Обычная форма
Дифференциальные уравнения Тема: дифференциального уравнения с
Дифференциальные уравнения первого разделяющимися переменными имеет вид: y ?
порядка. Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. = f(x) ? ?(y) . Рассмотрим уравнение y ? =
2ГЛАВА II. Дифференциальные уравнения f(ax + by + c) , (6) где a , b и c –
первого порядка. §1. Основные понятия некоторые числа. Оно приводится к
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обыкновенным дифференциальным уравнению с разделяющимися переменными
уравне- нием называется уравнение, заменой z(x) = ax + by + c и его общий
связывающее независимую переменную x, интеграл имеет вид:
искомую функцию y = y(x) и ее производные 12§5. Однородные уравнения. Функция M(x
y ?(x) , y ??(x) , … , y(n)(x) . ? в общем , y) называется однородной степени m (или
случае ОДУ имеет вид F(x, y , y ? , y ?? , изме- рения m), если ?t ? 0 справедливо
y ??? , … , y(n)) = 0 . Порядок старшей равенство M(tx , ty) = tm ? M(x , y) .
производной, входящей в ОДУ, называется ПРИМЕРЫ однородных функций:
порядком дифференциального уравнения. 13Дифференциальное уравнение первого
ПРИМЕР. Определить порядок уравнений: порядка y ? = f(x , y) называется
3Функция y = ?(x) называется решением однородным относительно x и y, если
дифференциального уравнения на интервале функция f(x , y) является однородной
(a;b), если при ее подстановке в это нулевой степени. Дифференциальное
уравнение получается тождество, уравнение M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
справедливое для всех x из интервала является однородным относительно x и y,
(a;b). ПРИМЕР. 1) y = cosx – решение ДУ y если функции M(x , y) и N(x , y) –
?? + y = 0 на (– ? , + ?) ; 2) – решение однородные функции одного и того же
ДУ в интервале (– 1 ; 1) . Уравнение измерения. Однородное уравнение приводится
?(x,y) = 0 , задающее в неявном виде к уравнению с разделя- ющимися переменными
решение диф- ференциального уравнения, заменой Замечание. Некоторые однородные
называется интегралом диффе- ренциального уравнения проще интегри- руются с помощью
уравнения. График решения (интеграла) замены.
дифференциального уравнения называется 14§6. Линейные уравнения первого
интегральной кривой. порядка. Линейным дифференциальным
4Процесс нахождения решений уравнением первого порядка называется ДУ
дифференциального уравнения называется 1-го порядка, линейное относительно
интегрированием дифференциального неизвестной функции y и ее производной y
уравнения. Дифференциальное уравнение ?. ? В общем случае линейное уравнение
называется интегрируемым в квадратурах, 1-го порядка можно записать в виде y ? +
если все его решения могут быть получены в p(x) ? y = f(x) , (8) где p(x) , f(x) –
результате конечной последовательности заданные непрерывные функции. Если f(x) ?
элементарных действий над известными 0 , то линейное уравнение называется
функциями и интегрированием этих функций. однородным. В противном случае уравнение
5§2. Основные определения теории называется неоднородным. Линейное
дифференциальные уравнения 1-го порядка. однородное уравнение y ? + p(x) ? y = 0
Общий вид ДУ 1-го порядка: F(x, y, y ?) = является уравнением с разделяющимися
0 , (1) где x – независимое переменное, y переменными. Его общее решение: (9).
– неизвестная функция, F – заданная 15Рассмотрим линейное неоднородное
функция трех переменных. Дифференциальное уравнение (8): y ? + p(x) ? y = f(x) . (8)
уравнение первого порядка, которое можно Существуют два метода его интегрирования.
записать в виде y ? = f(x,y) (2) I) Метод вариации постоянной (метод
называется уравнением первого порядка, Лагранжа) 1) Интегрируем однородное
разрешенным относительно производной. уравнение y ? + p(x) ? y = 0, соот-
6Условие y(x0) = y0 называется ветствующее данному неоднородному
начальным условием. Числа x0 , y0 уравнению. Его общее решение имеет вид
называются начальными значениями (данными) (9): 2) Полагаем, что решение
для решения y = ?(x). Геометрически, неоднородного уравнения по структуре
задание начального условия означает, что совпадает с решением соответствующего
на плоскости xOy задается точка (x0,y0) , линей- ного однородного уравнения. ? Оно
через которую проходит интегральная кривая имеет вид Функцию C(x) найдем, подставив y
y(x). Задача нахождения решения и y ? в исходное неод- нородное уравнение
дифференциального уравнения F(x,y,y ?)=0, (8).
удовлетворяющего начальному условию y(x0) 16II) Метод Бернулли. Будем искать
= y0, называется задачей Коши. решение (8) в следующем виде: y = u(x) ?
7ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общим решением v(x) . Тогда y ? = u ? ? v + u ? v ? .
дифференциального урав- нения y ? = f(x,y) Подставим y и y ? в уравнение (8) и
в области D ? xOy называется функция y = получим: u ? ? v + u ? v ? + puv = f(x)
?(x , C) , зависящая от x и одной или u ? ? v + u ? [ v ? + pv ] = f(x) .
произвольной постоянной C, кото- рая Полагаем, что функция v(x) такова, что [ v
удовлетворяет следующим двум условиям: 1) ? + pv ] = 0 . Тогда u ? ? v = f(x) .
при любом допустимом значении постоянной С Условия (12) позволяют однозначно
она удовлетворяет уравнению (2); 2) каково определить v(x) и u(x) .
бы ни было начальное условие y(x0) = y0 17§7. Уравнения Бернулли. Уравнением
(где (x0 ,y0)?D), можно найти единственное Бернулли называется уравнение вида y ? +
значение C = C0 такое, что функция y = ?(x p(x) ? y = f(x) ? y n , (13) где p(x) ,
, C0) удовлетворяет данному начальному f(x) – заданные непрерывные функции, n ? 0
условию. Уравнение ?(x , y , C) = 0 , , n ? 1 (иначе это будет линейное
задающее общее решение в неявном виде, уравнение). Существуют два метода
называется общим интегралом уравнения. интегрирования уравнения Бернулли: I)
Решение (интеграл), получающееся из общего Привести уравнение Бернулли к линейному
решения (интеграла) при конкретном уравнению. Для этого надо 1) обе части
значении C (включая C = ??), называется уравнения (13) разделить на y n , 2)
частным решением (интегралом). сделать замену z = y 1 – n . II) Применить
8§3. Уравнения с разделенными метод Бернулли (т.е. представить решение в
переменными. Дифференциальное уравнение виде y = u(x) ? v(x) ).
1-го порядка, разрешенное отно- сительно y 18§8. Уравнения в полных дифференциалах.
?, имеет две формы записи: 1) обычную, Уравнение M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (14)
т.е. y ? = f(x,y) , 2) дифференциальную, называется уравнением в полных
т.е. P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 . (3) При дифференциалах, если его левая часть
этом, если уравнение записано в виде (3), является полным дифференциалом некоторой
то обычно предполагают, что переменные x и функции u(x , y) , т.е. если M(x , y)dx +
y равноправны. Дифференциальным уравнением N(x , y)dy = du(x , y) . Общий интеграл
с разделенными переменными называется уравнения в полных дифференциалах имеет
уравнение, дифференциальная форма которого вид u(x , y) = C . ? Задачи: 1) научиться
имеет вид f(x)dx + ?(y)dy = 0 , (4) где определять, когда выражение M(x , y)dx +
f(x) и ?(y) – непрерывные функции. N(x , y)dy является полным дифференциалом;
9Пусть F(x) – первообразная функции 2) научиться находить функцию u(x , y),
f(x), ?(y) – первообразная функции ?(y). зная ее полный диф- ференциал.
Тогда общий интеграл уравнения (4) имеет 19ТЕОРЕМА 1. Пусть функции M(x , y) ,
вид: F(x) + ?(y) = C , где C – N(x , y) определены и непрерывны в области
произвольная постоянная. Замечание. В D плоскости xOy и имеют в ней непрерывные
теории дифференциальных уравнений символом частные производные Для того чтобы
принято обозначать ОДНУ из первообразных выражение M(x , y)dx + N(x , y)dy
функции f(x) (а не все множество представляло собой полный дифференциал
первообразных, как это принято в других некоторой функции u(x , y) , необходимо и
разделах математического анализа). Поэтому достаточно, чтобы во всех точках области D
общий интеграл уравнения (4) принято выполнялось условие.
записывать в виде: где C – произвольная 20Способы нахождения функции u(x , y):
постоянная. 1) используя алгоритм, предложенный в
10§4. Уравнения с разделяющимися доказательстве теоре- мы 1; 2) используя
переменными. Дифференциальным уравнением с одну из следующих формул: где (x0 ,y0) –
разделяющимися перемен- ными называется любая точка области D непрерывности
уравнение, дифференциальная форма которого функций M(x , y), N(x , y).
имеет вид f1(x) ? ?1(y)dx + f2(x) ? 213) методом интегрируемых комбинаций.
?2(y)dy = 0 , (5) где f1(x), f2(x), ?1(y), Суть метода интегрируемых комбинаций:
?2(y) – непрерывные функции. Разделим обе выделить в M(x , y)dx + N(x , y)dy
части уравнения на ?1(y) ? f2(x): ? Общий выражения, являющиеся дифференциалами
интеграл уравнения (5) имеет вид: известных функ- ций («интегрируемые
11Замечания. 1) Деление на ?1(y) ? f2(x) комбинации») и привести его таким образом
может привести к потере решений. Поэтому к виду du(x , y) . ПРИМЕРЫ интегрируемых
чтобы получить полное решение, необхо- комбинаций:
димо рассмотреть корни уравнений ?1(y) =
Дифференциальные уравнения первого порядка.ppt
http://900igr.net/kartinka/matematika/differentsialnye-uravnenija-pervogo-porjadka-226148.html
cсылка на страницу

Дифференциальные уравнения первого порядка

другие презентации на тему «Дифференциальные уравнения первого порядка»

«Решение уравнений 5 класс» - Решение уравнений. Сколько в школе обучается девочек и мальчиков? Задача. Девочек на 27 больше, чем мальчиков. Зх+х=60. Только думай, не гадай, Да правила применяй!

«Решение задач системы уравнений» - Решение задач с помощью систем уравнений. Измените размеры картинки, перетаскивая мышью один из управляющих маркеров. Цель : закрепление и углубление знаний и умений решения задач. Физика. « Всякая хорошо решённая математическая задача доставляет умственное наслаждение» Г.Гессе. Русский язык. Может, я и осел, но вполне понимаю: Моя ноша значительно больше твоей.

«Химические уравнения» - Признаки и условия протекания химических реакций. 3) Натрий + сера сульфид натрия. 5) Алюминий + сера сульфид алюминия. Расставь коэффициенты в уравнениях реакций, схемы которых приведены ниже. Тема: Изменения, происходящие с веществами. Все вещества записать в виде химических формул. Практическая работа №4 «Признаки химических реакций» 12.

«Решить уравнение» - |f(x)|>g(x). 1) если а<=0, то решения нет 2) если a>0, то. |f(x)|+|g(x)| <h(x). |f(x)|>a. Если a<=0, то х-любое из d(f) если a>0, то. Решить уравнения: |f(x)| <a. Через критические точки. |f(x)| |g(x)|. |f(x)|<g(x). Неравенства, содержащие модуль.

«Решение уравнений 2» - Методы решения уравнений третьей степени. Метод подбора. Решение уравнений с модулем. Решение. Простейший метод. Способ группировки. Среднее арифметическое всех корней уравнения. Графический метод. Искусственный метод. Искусственный метод.

«Решение системы уравнений» - Линейное уравнение с двумя переменными. Решение системы способом сравнения. Способ сложения (алгоритм). Графический способ (алгоритм). Решение системы методом определителей. Уравнение и его свойства. Решение системы способом сложения. Способы решения систем уравнений. Способ подстановки (алгоритм). Система уравнений и её решение.

Уравнения

28 презентаций об уравнениях
Урок

Математика

71 тема
Картинки
900igr.net > Презентации по математике > Уравнения > Дифференциальные уравнения первого порядка