Метод Гаусса и Крамера

Уравнения Скачать презентацию
<< Виды уравнений		Решение целых уравнений >>

Матрицы	Содержание	Матрица Определение	Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля	Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля
Метод Гаусса				Типы уравнений
Элементарные преобразования	Общий случай	2-ой шаг метода Гаусса На втором шаге исключим неизвестное х2 из	(5)	Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение
Рассмотрим на примере	Рассмотрим на примере	Рассмотрим на примере	Рассмотрим на примере	Метод Крамера
Габриэль Крамер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752,	Габриэль Крамер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752,	a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 … …	Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель	В этом случае решение можно вычислить по формуле Крамера
В этом случае решение можно вычислить по формуле Крамера	Пример	Пример	Решение	Решение
Найдите оставшиеся компоненты решения	Найдите оставшиеся компоненты решения	Найдите оставшиеся компоненты решения	Найдите оставшиеся компоненты решения	Найдите оставшиеся компоненты решения
Решение	Решение	Решение	Решение	Решение
Решение	Ответ	Вывод	Использованные источники

Картинки из презентации «Метод Гаусса и Крамера» к уроку алгебры на тему «Уравнения»

Автор: Admin. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Метод Гаусса и Крамера.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 292 КБ.

Скачать презентацию

Метод Гаусса и Крамера

содержание презентации «Метод Гаусса и Крамера.ppt»

Сл	Текст	Сл	Текст
1	Матрицы. Метод Гаусса Формулы Крамера. Подготовили: Климов	11	приведена или к треугольному или к ступенчатому виду.
	Дмитрий Радзевич Павел Руководитель: Петрова Л.Д. учитель		Треугольная система имеет вид: Такая система имеет единственное
	математики.		решение, которое находится в результате проведения обратного
2	Содержание. Что такое матрица? Карл Фридих Гаусс Метод		хода метода Гаусса. Ступенчатая система имеет вид: Такая система
	Гаусса Габриэль Крамер Метод Крамера Вывод Использованные		имеет бесчисленное множество решений.
	источники информации.	12	Рассмотрим на примере. Покажем последовательность решения
3	Матрица Определение. Прямоугольная таблица из m, n чисел,		системы из трех уравнений методом Гаусса Поделим первое
	содержащая m – строк и n – столбцов, вида: называется матрицей		уравнение на 2, затем вычтем его из второго (a21=1, поэтому
	размера m ? n Числа, из которых составлена матрица, называются		домножение не требуется) и из третьего, умножив предварительно
	элементами матрицы. Положение элемента аi j в матрице		на a31=3 Поделим второе уравнение полученной системы на 2, а
	характеризуются двойным индексом: первый i – номер строки;		затем вычтем его из третьего, умножив предварительно на 4,5
	второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.		(коэффициент при x2) Тогда. x3=-42/(-14)=3; x2=8-2x3=2
	Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…		x1=8-0,5x2-2x3=1.
	Коротко можно записывать так:	13	Метод Крамера. Метод Крамера—способ решения квадратных
4	Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23		систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым
	февраля 1855, Гёттинген) Биография. Дед Гаусса был бедным		определителем основной матрицы (причём для таких уравнений
	крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов		решение существует и единственно). Создан Габриэлем Крамером в
	в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик		1751 году.
	показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать.	14	Габриэль Крамер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января
	Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять		1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция) Биография. Крамер родился в
	детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1		семье франкоязычного врача. В 18 лет защитил диссертацию. В
	до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных		20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на вакантную
	концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно		должность преподавателя на кафедре философии Женевского
	получил результат 50х101=5050 . После 1801 года Гаусс включил в		университета. 1727: Крамер 2 года путешествовал по Европе,
	круг своих интересов естественные науки. Катализатором послужило		заодно перенимая опыт у ведущих математиков — Иоганна Бернулли и
	открытие малой планеты Церера ,вскоре после наблюдений		Эйлера,Галлея и де Муавра, Мопертюи и Клеро. В свободное от
	потерянной. 24-летний Гаусс проделал (за несколько часов)		преподавания время Крамер пишет многочисленные статьи на самые
	сложнейшие вычисления по новому, открытому им же методу, и		разные темы: геометрия, история математики, философия,
	указал место, где искать беглянку; там она, к общему восторгу, и		приложения теории вероятностей. 1751: Крамер получает серьёзную
	была вскоре обнаружена. Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в		травму после дорожного инцидента с каретой. Доктор рекомендует
	Гёттингене.		ему отдохнуть на французском курорте, но там его состояние
5	Метод Гаусса. Метод Гаусса — классический метод решения		ухудшается, и 4 января 1752 года Крамер умирает.
	системы линейных алгебраических уравнений. Это метод	15	a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 … …
	последовательного исключения переменных, когда с помощью		an1x1+an2x2+…+annxn=bn. Рассмотрим систему линейных уравнений с
	элементарных преобразований система уравнений приводится к		квадратной матрицей A , т.е. такую, у которой число уравнений
	равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из		совпадает с числом неизвестных: Теорема. Cистема.
	которого последовательно, начиная с последних (по номеру)	16	Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
	переменных, находятся все остальные переменные. Система т		определитель матрицы этой системы отличен от нуля: a11 a12 … a1n
	линейных уравнений с п неизвестными имеет вид: x1 , x2, …, xn –		a21 a22 … a2n … … an1 an2 … ann. ? 0.
	неизвестные. ai j - коэффициенты при неизвестных. bi - свободные	17	В этом случае решение можно вычислить по формуле Крамера.
	члены (или правые части).	18	Пример. Решить систему уравнений : Для получения значения xk
6	Типы уравнений. Система линейных уравнений называется		в числитель ставится определитель, получающийся из det(A)
	совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не		заменой его k-го столбца на столбец правых частей.
	имеет решения. Совместная система называется определенной, если	19	Решение.
	она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет	20	Найдите оставшиеся компоненты решения. Формулы Крамера не
	бесчисленное множество решений. Две совместные системы		представляют практического значения в случае систем с числовыми
	называются равносильными, если они имеют одно и то же множество		коэффициентами: вычислять по ним решения конкретных систем
	решений.		линейных уравнений неэффективно, поскольку они требуют
7	Элементарные преобразования. К элементарным преобразованиям		вычисления (n+1)-го определителя порядка n , в то время как
	системы отнесем следующее: перемена местами двух любых		метод Гаусса фактически эквивалентен вычислению одного
	уравнений; умножение обеих частей любого из уравнений на		определителя порядка n . Тем не менее, теоретическое значение
	произвольное число, отличное от нуля; прибавление к обеим частям		формул Крамера заключается в том, что они дают явное
	одного из уравнений системы соответствующих частей другого		представление решения системы через ее коэффициенты. Например, с
	уравнения, умноженных на любое действительное число.		их помощью легко может быть доказан результат Решение системы
8	Общий случай. Для простоты рассмотрим метод Гаусса для		линейных уравнений с квадратной матрицей A является непрерывной
	системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае,		функцией коэффициентов этой системы при условии, что det A не
	когда существует единственное решение: Дана система: 1-ый шаг		равно 0 .
	метода Гаусса На первом шаге исключим неизвестное х1 из всех	21	Найдите оставшиеся компоненты решения. Кроме того, формулы
	уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент .		Крамера начинают конкурировать по вычислительной эффективности с
	Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы		методом Гаусса в случае систем, зависящих от параметра.
	(1) на а11. Получим уравнение: где Исключим х1 из второго и		зависящей от параметра , определить предел отношения компонент
	третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них		решения:
	уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно	22	Решение. В этом примере определитель матрицы системы равен .
	а21 и а31). Система примет вид: Верхний индекс (1) указывает,		По теореме Крамера система совместна при . Для случая
	что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы.		применением метода Гаусса убеждаемся, что система несовместна.
	(1). (2). (3).		Тем не менее, указанный предел существует. Формулы Крамера дают
9	2-ой шаг метода Гаусса На втором шаге исключим неизвестное		значения компонент решения в виде. И, хотя при каждая из них
	х2 из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент .		имеет бесконечный предел, их отношение стремится к пределу
	Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе		конечному.
	уравнение системы (3), получим уравнение: где Из третьего	23	Ответ. Приведенный пример поясняет также каким образом
	уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на		система линейных уравнений, непрерывно зависящая от параметра,
	Получим уравнение: Предполагая, что находим. (4).		становится несовместной: при стремлении параметра к какому-то
10	(5). В результате преобразований система приняла вид:		критическому значению (обращающему в нуль определитель матрицы
	Система вида (5) называется треугольной. Процесс приведения		системы) хотя бы одна из компонент решения «уходит на
	системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым		бесконечность».
	ходом метода Гаусса. Нахождение неизвестных из треугольной	24	Вывод. Рассмотренный в данной презентации Метод Крамера
	системы называют обратным ходом метода Гаусса. Для этого		позволяет решать линейные системы, но удобнее решать системы
	найденное значение х3 подставляют во второе уравнение системы		линейных уравнений с помощью метода Гаусса, который находит
	(5) и находят х2. Затем х2 и х3 подставляют в первое уравнение и		широкое применение и содержится в пакетах стандартных программ
	находят х1.		для ЭВМ.
11	Если в ходе преобразований системы получается противоречивое	25	Использованные источники. В.С. Щипачев, Высшая математика
	уравнение вида 0 = b, где b ? 0, то это означает, что система		Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов.
	несовместна и решений не имеет. В случае совместной системы		http://ru.wikipedia.org Волков Е.А. Численные методы. В.Е.
	после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход		Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,том I.
	метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет
«Метод Гаусса и Крамера» \| Метод Гаусса и Крамера.ppt

http://900igr.net/kartinki/algebra/Metod-Gaussa-i-Kramera/Metod-Gaussa-i-Kramera.html

cсылка на страницу

Уравнения

другие презентации об уравнениях

«Уравнения и неравенства» - 1. Укажите промежуток, содержащий корни уравнения. Неравенства в КИМах. 3. Найдите промежуток, содержащий наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству. 3. Сложение. Решения уравнений и неравенств". 4. Примеры графического решения квадратных уравнений. Способы решения систем уравнений. 2. Найдите сумму корней уравнения.

«Решение уравнений с параметром» - Решение: 6(ах + 1) + а = 3(а –х) + 7 6ах + 6 + а = 3а – 3х + 7 (6а + 3)х = 2а + 1 Найдем контрольное значение а. 6а + 3 = 0 а = -1/2. В 5 классе при повторении свойств чисел можно рассмотреть примеры. Задачи с параметрами вызывают большие затруднения у учащихся и учителей. При а = -1/2 получим уравнение 0х = 0. Уравнение имеет бесконечное множество решений.

«Способы решения систем уравнений» - Ответ: Б. 13. Упростите выражение. 12. Б. 15х = 10(1 – х). Проверка. Ответ: 4. В. x. Б. Методы решения систем уравнений. 15х км – расстояние от озера до деревни, 10(1 – х) км – расстояние от деревни до озера. -. A + b + c = 2 + 3 – 5 = 0, значит х1 = 1, х2 = - 5 : 2 = - 2,5.

«Линейное уравнение с двумя переменными» - Цели урока: Равенство, содержащее две переменные, называется уравнением с двумя переменными. Определение: Линейное уравнение с двумя переменными. Презентацию выполнила Шурыгина И.В. Например, 2х-5у=6; а=2, в=-5, с = 6;

«Уравнения с параметром» - t = -a. + 8 и уравнение примет вид: Если a = 0, то уравнение имеет единственный корень t – 2 = 0; t =2; x = 4 + 8 = 12 Если a ? 0 и а > 0 D= 1 – 4a(5a – 2) = 1 – 20 + 8a; -20 + 8a + 1 > 0 20 -8a – 1 < 0. + t +5a – 2 = 0. Ветви вверх Нули функции - 8a – 1 =0 D= 16 + 20 = 36. ; x =. C4. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение.

«Теорема Гаусса-Маркова» - Математическое ожидание всех случайных возмущений равно нулю. Для получения необходимого условия экстремума дифференцируем (7.6) по вектору параметров. Решение системы (7.7) в матричном виде есть. Воспользуемся методом наименьших квадратов. По данным выборки найти: ?, Cov(??), ?u, ?(?(z)). Сформируем вектора и матрицу коэффициентов на основе системы (7.2).

Урок