Евклид |
Картинки из презентации «Евклид» к уроку геометрии на тему «История геометрии»
Автор: student. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока геометрии, скачайте бесплатно «Евклид.ppt» со всеми картинками в zip-архиве (161 КБ).
Евклид
содержание презентации «Евклид.ppt»| Слайд | Текст | Слайд | Текст |
| 1 | Такая разная. Геометрии. | 20 | любого треугольника меньше 180°. Разность между 180° и суммой |
| 2 | Цели исследования: Изучить исторический материал, связанный | углов треугольника положительна и называется дефектом (D) этого | |
| с проблемой параллельности прямых. Найти, существует ли | треугольника. Формула для площади треугольника S=k*D, то есть | ||
| доказательство пятого постулата Евклида? Выявить, существуют ли | площадь связана с его дефектом. Самую большую площадь имеет | ||
| геометрии, отличные от евклидовой? | треугольник с нулевыми углами, а его стороны имеют бесконечную | ||
| 3 | Геометрия Евклида. Первым систематическим изложением | длину. | |
| геометрии, дошедшим до нашего времени, являются “Начала” – | 21 | В геометрии Лобачевского: Два неравных равносторонних | |
| сочинения александрийского математика Евклида. | треугольника имеют неравные углы. В геометрии Лобачевского не | ||
| 4 | «Начала». В “Началах” был развит аксиоматический подход к | существует подобных фигур. Если углы одного треугольника равны | |
| построению геометрии, который состоит в том, что сначала | соответственно углам другого треугольника, то эти треугольники | ||
| формулируются основные положения (аксиомы), а затем на их основе | равны. Геометрическое место точек, находящихся на данном | ||
| посредством рассуждений доказываются другие утверждения | расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону есть | ||
| (теоремы). Изложение геометрии Евклидом долгое время служило | кривая линия, которая называется эквидистантой. | ||
| недосягаемым образцом точности, безукоризненности и строгости. | 22 | Возможные расположения двух прямых на плоскости | |
| Только в начале 20 века математики смогли улучшить логические | Лобачевского: Две несовпадающие прямые либо пересекаются в одной | ||
| основания геометрии. | точке, либо параллельны, либо являются расходящимися. | ||
| 5 | Постулаты Евклида. Из каждой точки ко всякой другой точке | 23 | Геометрия Римана. Через некоторое время идеи Лобачевского |
| можно провести прямую; Каждую ограниченную прямую можно | были приняты математиками, и следующим этапом развития геометрии | ||
| продолжить неопределённо; Из любого центра можно описать | стала эллиптическая геометрия Римана. Риман исходил из того, что | ||
| окружность любого радиуса; Все прямые углы равны; И если прямая, | через точку, не лежащую на данной прямой, вообще нельзя провести | ||
| падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону | прямую, не пересекающую данную. | ||
| углы, меньше двух прямых, то продолженные эти прямые | 24 | В геометрии Римана: Две прямые всегда пересекаются, | |
| неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух | параллельных прямых совсем нет; сумма углов прямолинейного | ||
| прямых. | треугольника больше 180°; прямая имеет конечную длину, плоскость | ||
| 6 | О чем говорится в V постулате Евклида? Если две прямые а и в | – конечную площадь и др. | |
| образуют при пересечении с третьей прямой внутренние | 25 | ||
| односторонние углы a и в, сумма величин которых меньше двух | 26 | Каково же применение нелинейных геометрий? Геометрии | |
| прямых углов (т.е. меньше 180°; рис. 1), то эти две прямые | Евклида, Лобачевского и Римана являются в свою очередь частными | ||
| обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей | случаями общей геометрии Римана для многомерных искривлённых | ||
| прямой, по которую расположены углы а и в (составляющие вместе | пространств. | ||
| менее 180°). | 27 | Современники Лобачевского, потом и Римана отказывались | |
| 7 | Как формулируется равносильная аксиома параллельности? К | принимать новую геометрию. Но в начале 20 века, как гром среди | |
| данной прямой через данную вне ее точку можно провести не более | ясного неба Эйнштейн создаёт теорию относительности, частным | ||
| одной параллельной прямой. А. b. B. | случаем которой является теория тяготения Ньютона. Оказалось, | ||
| 8 | Вообразим, что мы взяли две точки А и В на расстоянии 1 м | что взаимосвязь пространства и времени, описываемая в теории | |
| друг от друга и провели через них две прямые а и в, причем так, | относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии | ||
| что а образует с прямой АВ угол а=900, а угол между прямыми в и | Лобачевского. Например, в расчетах современных синхрофазотронов | ||
| АВ равен 89059'59" (рис. 2). Иначе говоря, сумма двух | используются формулы геометрии Лобачевского. | ||
| внутренних односторонних углов а и в всего на 1 угловую секунду | 28 | Следствием теории относительности явился в частности тот | |
| меньше 1800. Продолжим прямые а и в, пока они не пересекутся в | факт, что наше как мы думали трёхмерное евклидово пространство | ||
| точке С. В результате получится прямоугольный треугольник АВС, у | на самом деле таковым не является. А живём мы в четырёхмерном | ||
| которого угол А прямой, угол при вершине С равен y и составляет | искривлённом пространстве-времени, которое описывается общей | ||
| 1 угловую секунду. Катет АС этого треугольника имеет длину с/tg | геометрией Римана. Тяготение на самом деле результат искривления | ||
| y=2,06*105. Следовательно, длина катета АС составляет | пространства вблизи массивных тел. Следствием этого является | ||
| приблизительно 2,06*105 м= =206 км (на самом деле немного | замедление времени вблизи тяжелых тел, кратчайшее расстояние | ||
| больше). | между точками не прямая, а некоторая кривая и др. | ||
| 9 | Пятый постулат Евклида не так уж прост и убедителен. Угол в | 29 | Установлено достоверно замедление времени при скоростях, |
| 1 угловую секунду достаточно ощутим (например, при | близких к скорости света. Параметры орбиты Меркурия, самой | ||
| астрономических расчетах). Но проверить, что указанные выше | близкой к Солнцу планеты не укладывались в теорию тяготения | ||
| прямые а и в пересекаются на расстоянии 206 км от прямой АВ, | Ньютона, а теория относительности смогла это объяснить | ||
| совсем не просто. Ведь изготовить плоский лист бумаги и линейку | искривлением пространства вблизи Солнца. | ||
| более 200 км не представляется возможным. Использовать | 30 | Кривизна пространства проявляется в больших масштабах и | |
| оптические приборы? Но тогда надо добавить еще один постулат: | вблизи массивных космических тел, а в повседневной жизни на | ||
| свет распространяется по прямой (а это уже не геометрия, а | нашей планете мы можем с успехом пользоваться геометрией Евклида | ||
| физика). А если сумма углов а и в отличается от 180° еще менее | и механикой Ньютона с большой точностью, так как нелинейные | ||
| чем на 1 угловую секунду?! | поправки на кривизну пространства ничтожно малы. | ||
| 10 | Сложность формулировки пятого постулата и его | 31 | ? В каком мире мы живем? Какой геометрией он описывается? |
| неубедительность привели к тому, что очень многие математики, | 32 | От этого знания зависит судьба Вселенной!!! | |
| жившие после Евклида, стремились заменить аксиому о параллельных | 33 | Сейчас вселенная расширяется, но если масса вещества всей | |
| прямых более простой, интуитивно ясной, либо доказать ее как | вселенной превысит определенный порог, то расширение сменится | ||
| теорему, опираясь на другие аксиомы "Начал". Шла | сжатием, то есть пространство будет искривлено таким образом, | ||
| подлинная затяжная "война" математиков с пятым | что луч света, однажды покинув одну точку, вернется обратно, а | ||
| постулатом. Многие ученые, жившие в разные века в различных | это значит, мы живем в мире эллиптической геометрии Римана. Если | ||
| странах, приняли в ней участие, но особенно далеко продвинулись | массы не хватит, то вселенная будет расширяться неограниченно, а | ||
| "в сражениях" Саккери, Лежандр, Гаусс, Больяй, и | значит, мы живем в мире гиперболической геометрии Лобачевского. | ||
| Лобачевский. | 34 | Завершить показ. | |
| 11 | Итак, на базе этих постулатов шло успешное развитие | 35 | Исследования Саккери. Итальянец Саккери рассматривал |
| геометрии, но в то время как другие постулаты считались | четырехугольник с тремя прямыми углами (рис. 3). Четвертый угол | ||
| совершенно очевидными, очевидность пятого постулата | (обозначим его через ф) мог оказаться прямым, тупым или острым. | ||
| оспаривалась. Много веков усилия большого числа ученых были | Саккери установил, что гипотеза прямого угла, т.е. утверждение о | ||
| направлены на доказательство пятого постулата. Это объяснялось | том, что четвертый угол ф всегда равен 900, позволяет доказать | ||
| тем, что число аксиом стремились свести к минимуму. Ученые | пятый постулат. Иначе говоря, гипотеза прямого угла представляет | ||
| думали, что пятый постулат можно доказать как теорему, опираясь | собой новую аксиому, эквивалентную пятому постулату. Гипотезу | ||
| на остальные. Многие геометры пытались обойти его, заменяя пятый | тупого угла, допускающую существование четырехугольника, у | ||
| постулат другим, казавшимся более очевидным. На этом пути было | которого четвертый угол ф тупой, Саккери отверг при помощи | ||
| сформулировано много положений, но все они были эквивалентны | строгого рассуждения. Однако доказать, что и гипотеза острого | ||
| пятому постулату Евклида. | угла неверна, ни сам Саккери, ни его последователи не смогли. | ||
| 12 | Например: сумма углов треугольника равна 180°, во всех | Неприступная "крепость" пятого постулата осталась | |
| треугольниках сумма углов одна и та же, через любую точку внутри | непокоренной. | ||
| угла можно провести секущую, пересекающую обе стороны угла, | 36 | Исследования Лежандра. Французского математик Адриен Мари | |
| существуют два подобных, но не равных треугольника, теорема | Лежандр, в каждом издании книги, посвященной евклидовой | ||
| Пифагора, для всякого треугольника существует описанная | геометрии, приводил рассуждение, в котором, по его мнению, | ||
| окружность и др. | доказывался пятый постулат. Но неизменно в следующем издании | ||
| 13 | В конце 18 века у некоторых геометров возникла мысль о | автор, признавая, что в его рассуждении использовалось некое | |
| невозможности доказать пятый постулат. Допустив, что пятый | утверждение (не сформулированное им явно) - | ||
| постулат неверен, математики пытались прийти к логическому | "очевидное", но в действительности представлявшее | ||
| противоречию. Они приходили к утверждениям, противоречащим нашей | собой новую аксиому, эквивалентную пятому постулату. Ни одна из | ||
| геометрической интуиции, но логического противоречия не | попыток Лежандра не привела к успеху. | ||
| получалось. | 37 | Исследования Гаусса. Гаусс обратился к теории параллельных в | |
| 14 | А может быть на этом пути вообще не прийти к противоречию? | 1792 г. Сначала он надеялся доказать пятый постулат, но затем | |
| 15 | Не может ли быть так, что заменив пятый постулат его | пришел к мысли о построении новой геометрии, которую назвал | |
| отрицанием, мы придём к новой неевклидовой геометрии, которая во | неевклидовой. В 1817 г. в одном из писем признался: "Я | ||
| многом не согласуется с нашими привычными наглядными | прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии | ||
| представлениями, но, тем не менее не содержит никаких логических | не может быть доказана". Но обнародовать эти идеи он не | ||
| противоречий? | решился из боязни быть непонятым. Гаусс не опубликовал ни один | ||
| 16 | Другая геометрия? | из своих результатов, хотя из его писем и личных бумаг видно, | |
| 17 | Геометрия Лобачевского. Лобачевский построил новую | что он разработал основные положения неевклидовой геометрии. | |
| геометрию, откинув постулат Евклида, заменив его другим, прямо | 38 | Исследования Януша Больяй. Творцом новой геометрии стал так | |
| противоположным по смыслу: “Через точку А вне прямой а в | же и венгерский математик Янош Больяй (1802 - 1860). В отличие | ||
| плоскости, определяемой точкой А и прямой а, проходит по крайней | от Гаусса он стремился распространить свои идеи, но большинство | ||
| мере две прямые с и в не имеющие общей точки с прямой а”. | математиков тогда еще не были готовы их воспринять. Результаты | ||
| 18 | И не получил противоречия. Отсюда следует, что таких прямых | Яноша Больяя были сжато изложены в 1832 г. в приложении книге | |
| может быть бесконечное количество. Доказывая много десятков | его отца, Фаркаша Больяя. Труд Я. Больяя "Приложение, | ||
| теорем, не обнаруживая логических противоречий, Лобачевскому | содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не | ||
| пришла в голову догадка о непротиворечивости такой геометрии, он | зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a | ||
| назвал её воображаемой. В геометрии Лобачевского сохраняются все | priori никогда решено быть не может)" обычно кратко | ||
| теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без | называют "Аппендикс" (от лат. "приложение"). | ||
| использования пятого постулата. | 39 | Исследования Лобачевского. Русский математик, профессор | |
| 19 | Например: Вертикальные углы равны; углы при основании | Казанского университета Николай Иванович Лобачевский, писал, что | |
| равнобедренного треугольника равны; из данной точки можно | задача о параллельных прямых представляет собой "трудность, | ||
| опустить на данную прямую только один перпендикуляр и др. | до сих пор непобедимую, но между тем заключающую в себе истины | ||
| 20 | Однако, теоремы, где применяется аксиома параллельности | ощутительные, вне всякого сомнения, и столь важные для целей | |
| прямых, видоизменяются: Теорема о сумме углов треугольника | науки, что никак не могут быть обойдены". | ||
| готовит первый “сюрприз”: в геометрии Лобачевского сумма углов | |||
| «Пятый постулат Евклида» | Евклид.ppt | |||
http://900igr.net/kartinki/geometrija/Evklid/Pjatyj-postulat-Evklida.html
cсылка на страницу
История геометрии
другие презентации об истории геометрии
«Измерение высоты» - АН= АВ • sin ?. АВ= a sin ?/sin (? -?). Используя теорему синусов, находим АВ. Определение всех элементы треугольника АВС, в частности АВ. ?АВН= ? и ?АСВ= ?. Высота треугольника ABH: АН = a tg ?. ?. ?. А. Н. В. С. А. Задача. Измерение углов АВН и АСВ. ?АВН – внешний угол ?АВС, поэтому ?А= ?- ?. АН= а sin ? sin ?/ sin (?- ?). Измерение высоты предмета. Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту предмета.
«Угол между векторами» - Визуальный разбор задач из учебника. Как находят координаты середины отрезка? Найти угол между прямыми ВD и CD1. Находим косинус угла между прямыми: Направляющий вектор прямой. Найти угол между прямыми СВ1 и D1B. Найдите углы между векторами а и b? Косинус угла между векторами. Вычислить косинус угла между прямыми. Скалярное произведение векторов. Как находят расстояние между точками? Чему равен скалярный квадрат вектора?
«Фракталы Мандельброта» - Галерея фракталов. Все множество Мандельброта в полной красе у нас перед глазами. Множество Жюлиа. Множство Мандельброта. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Фракталы в природе. Фракталы. Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. Обратимся к классике - множству Мандельброта. Путешествие в мир фракталов. Понятие "фрактал".
«Площадь трапеции» - Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 54 см2 . Найдите меньшее основание трапеции, если её площадь равна 88 см2 . Cамостоятельная работа. Площадь трапеции. Высота трапеции равна меньшему основанию и в два раза меньше большего основания. Задача № 482. Площади многоугольников. Высота и основания трапеции. Задача № 482. Задача.
«Геометрия Лобачевского» - Риманова геометрия получила своё название по имени Б.Римана, который заложил её основы в 1854. «Чем отличается геометрия Лобачевского от геометрии Евклида?». Николай Иванович Лобачевский (1792 – 1856 гг.). Евклидова аксиома о параллельных. Своеобразная аксиома развития науки. На рисунке буквы расположены параллельно (стоят прямо) или нет? Нельзя сказать, что неевклидова геометрия единственно правильная.
«Объём призмы» - Решение задачи. Площадь S основания исходной призмы. Объем прямой призмы. Задача. Вопросы. Призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Основные шаги при доказательстве теоремы прямой призмы? Объем исходной призмы равен произведению S · h. Прямая призма. Проведение высоты треугольника ABC. Цели урока. Как найти объем прямой призмы? Понятие призмы. Изучение теоремы об объеме призмы.
Презентация: Евклид | Тема: История геометрии | Урок: Геометрия | Вид: Картинки