Многогранник


<< Декартовы координаты на плоскости		Углы >>

Предыдущая презентация

Научно-исследовательский семинар кафедры высшей математики-1 МИЭТ под	Абстрактный Тороидальный Гексадекаэдр — это	Абстрактный Тороидальный Гексадекаэдр — это	Абстрактный Тороидальный Гексадекаэдр — это	Все ее автоморфизмы найдены при помощи компьютера: С. А. Л.,
Группу Aut (АТГ) можно определить и без компьютера				Таким образом, группа Aut (АТГ) может быть порождена так: Aut (АТГ) =
Бипирамидальный Тороидальный Гексадекаэдр (БТГ) — геометрическая	Бипирамидальный Тороидальный Гексадекаэдр (БТГ) — геометрическая	Бипирамидальный Тороидальный Гексадекаэдр (БТГ) — геометрическая	Правильные многогранники	Правильные многогранники
Мы делаем четкое различие между понятиями «автоморфизм» и «симметрия»	Парадигма Кокстера Парадигма Кокстера «групп и геометрии» — это	Парадигма Кокстера Парадигма Кокстера «групп и геометрии» — это	Борьба со скрытыми симметриями — путь претворения в жизнь парадигмы	Борьба со скрытыми симметриями — путь претворения в жизнь парадигмы
Борьба со скрытыми симметриями — путь претворения в жизнь парадигмы	Тор Клиффорда: (x_1)	С. А. Л., Polyhedral suspensions of arbitrary genus, Graphs &	Доказательство: На рисунке справа — экватор БТГ переложен из	АТГ реализовывается как подкомплекс 2-мерного скелета гексадекахорона
Вспомним, что Aut (АТГ) порож- дается тремя автоморфизмами:	Таким образом, получено точное представление группы Aut (АТГ) степени	Таким образом, получено точное представление группы Aut (АТГ) степени	Таким образом, получено точное представление группы Aut (АТГ) степени	Таким образом, получено точное представление группы Aut (АТГ) степени
Резюмируя, многогранники БТГ и ПТГ — различные геометрические модели	Резюмируя, многогранники БТГ и ПТГ — различные геометрические модели	Открытые вопросы ¦ Существуют ли другие правильные 2-мерные	Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники, кроме ПТГ, в	Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники, кроме ПТГ, в
Теорема (Рингель и Янгс): Для каждого целого положительного n такого,	Реализуются ли при этом геометрически все автоморфизмы	Итак, что же такое правильный	Такое определение правильного многогранника предполагает более широкий	6 марта, 2009 г. Запуск ракеты Дельта II с Кеплером на поиск планет, в
6 марта, 2009 г. Запуск ракеты Дельта II с Кеплером на поиск планет, в	Многогранники Кеплера-Пуансо (не типа сферы	Многогранники Кеплера-Пуансо (не типа сферы	Многогранники Кеплера-Пуансо (не типа сферы	Многогранники Кеплера-Пуансо (не типа сферы
Многогранники Кеплера-Пуансо (не типа сферы	Малый звездчатый додекаэдр	Малый звездчатый додекаэдр	Мы же обобщаем по другому направлению: не допуская самопересечений,	Спасибо за внимание

Следующая презентация

Картинки из презентации «Многогранник» к уроку математики на тему «Геометрия»

Автор: . Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока математики, скачайте бесплатно презентацию «Многогранник.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 273 КБ.

Многогранник

содержание презентации «Многогранник.ppt»

Слайд	Текст	Слайд	Текст
1	Научно-исследовательский семинар кафедры высшей математики-1	14	поместив экватор уже в 4-пространство. Две остающиеся вершины, 1
	МИЭТ под руководством проф. Гончарова В.А., проф. Кожухова И.Б.		и 6, располагаются на четвертой координатной оси Ow и имеют
	и проф. Поспелова А.С. 24 ноября, 2009 г. Правильные		координаты (0, 0, 0, 1) и (0, 0, 0, -1), соответственно.
	многогранники в четырехмерном пространстве «В огромном саду	15	АТГ реализовывается как подкомплекс 2-мерного скелета
	геометрии каждый найдет букет себе по вкусу.» Давид Гильберт		гексадекахорона (или 4-мерного гипероктаэдра) в 4-мерном
	Сергей Александрович Лавренченко (С. А. Л.)		пространстве. Восемь вершин гексадекахорона: (±1, 0, 0, 0), (0,
	http://lawrencenko.ru.		±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1). Все вершины соединены
2	Абстрактный Тороидальный Гексадекаэдр — это		ребрами, кроме противолежащих пар. Значит все грани АТГ
	комбинаторно-топологический объект — правильная триангуляция		геометрически реализуются равносторонними треугольниками со
	тора с 8 вершинами и 16 гранями. С. А. Л., Неприводимые триангу-		стороной v2. Свойство (1) доказано. Докажем свойство (2), что
	ляции тора, Укр. геометр. сб. 30 (1987) 52–62. ¦ АТГ —		все 32 автоморфизма триангуляции АТГ реализуются геометрически в
	правильная карта на торе: каждая грань — треугольник и степень		4D модели в виде ПТГ. 1 (0, 0, 0, 1) — северный полюс 6 (0, 0,
	каждой вершины равна 6. ¦ Ее граф изоморфен 1-скелету		0, -1) — южный полюс.
	гексадекахорона, т.е. полному ? 4-дольному графу K_{2,2,2,2}.	16	Вспомним, что Aut (АТГ) порож- дается тремя автоморфизмами:
3	Все ее автоморфизмы найдены при помощи компьютера: С. А. Л.,		?_2 = (35) (47), ?_22 = (16) (37) (45), ?_20 = (15276384) и
	Перечисление в явном виде всех автоморфизмов неприводимых		соответственно представима в 4-пространстве дискретной группой
	триангу- ляций тора и всех укладок на тор помечен ных графов		движений, порожденной следующими ортогональными матрицами: A_2 =
	этих триангуляций. Харьков, 1987. – 57 с., Деп. в УкрНИИНТИ		A_22 = A_20 = ¦ 1 0 0 0¦ ¦ 1 0 0 0¦ ¦ 0 0 1 0¦ ¦ 0 -1 0 0¦ ¦ 0 0
	01.10.87, № 2779 – Ук87. ?_1 = id (тождественный) ?_2 = (35)		-1 0¦ ¦ 1 0 0 0¦ ¦ 0 0 -1 0¦ ¦ 0 -1 0 0¦ ¦ 0 0 0 1¦ ¦ 0 0 0 1¦ ¦
	(47) ?_3 = (28) (34) (57) ?_4 = (28) (37) (45) ?_5 = (12) (47)		0 0 0 -1¦ ¦ 0 -1 0 0¦. 1 (0, 0, 0, 1) и 6 (0, 0, 0, -1).
	(68) ?_6 = (12) (35) (68) ?_7 = (1268) (3457) ?_8 = (1268)	17	Таким образом, получено точное представление группы Aut
	(3754) ?_9 = (13246587) ?_10 = (13876524) ?_11 = (13) (27) (48)		(АТГ) степени 4. Где —специальная ортогональная группа степени
	(56) ?_12 = (1365) (2784) ?_13 = (14) (23) (58) (67) ?_14 =		4, а — полная линейная группа степени 4, И, таким образом, все
	(1467) (2385) ?_15 = (14256783) ?_16 = (14836725) ?_17 = (1563)		автоморфизмы реализуются только вращениями 4-мерного
	(2487) ?_18 = (15) (24) (36) (78) ?_19 = (15846327) ?_20 =		пространства. ¦.
	(15276384) ?_21 = (16) (34) (57) ?_22 = (16) (37) (45) ?_23 =	18	Резюмируя, многогранники БТГ и ПТГ — различные
	(16) (28) ?_24 = (16) (28) (35) (47) ?_25 = (17856423) ?_26 =		геометрические модели абстрактной триангуляции тора АТГ. Первый
	(17236485) ?_27 = (1764) (2583) ?_28 = (17) (25) (38) (46) ?_29		— в трехмерном евклидовом пространстве, а второй — в
	= (1862) (3457) ?_30 = (1862) (3754) ?_31 = (18) (26) (47) ?_32		четырехмерном. В 3D модели БТГ все автоморфизмы, кроме
	= (18) (26) (35).		тождественного, являются скрытыми симметриями. Другими словами,
4	Группу Aut (АТГ) можно определить и без компьютера. Эта		индекс подгруппы симметрий в группе автоморфизмов = 32. В 4D
	группа вершинно- транзитивная, потому что в ней есть единый		модели ПТГ же, наоборот, все до единого автоморфизмы реализуются
	циклический сдвиг всех вершин: ?_20 = (15276384). Подгруппа		геометрически, т.е. индекс подгруппы симметрий = 1.
	Shift = <?_20> ? Z_8. Она ненормальна. С другой стороны,	19	Открытые вопросы ¦ Существуют ли другие правильные 2-мерные
	стабилизатор каждой вершины есть подгруппа изоморфная Z_2 ? Z_2,		многогранники, кроме ПТГ, в (евклидовом) пространстве
	ненормальная. Например, стабилизатор вершины 8, есть подгруппа		размерности 4 ? ¦ А в пространствах высших размерностей? ¦
	Stab = <?_2, ?_22> ? Z_2 ? Z_2, порожденная 2-мя		Существуют ли в 3-мерном пространстве правильные многогранники
	инволюциями ?_2 = (35)(47) и ?_22 = (16)(37)(45) (реализуемыми		топологических типов, отличных от сферы? Гипотеза: Нет.
	геометрически «симметриями относительно перпендикулярных	20	Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники,
	прямых»). Эта подгруппа ненормальна.		кроме ПТГ, в пространствах размерностей ? 4 ? В частности,
5	Таким образом, группа Aut (АТГ) может быть порождена так:		реализуется ли правильная триангуляция тора с полным графом K_7
	Aut (АТГ) = <?_2, ?_22, ?_20> = (Z_2 ? Z_2) Z_8, где Z_2 ?		в виде правильного многогранника в евклидовом пространстве
	Z_2 и Z_8 — как указаны на предыдущем слайде, причем		высшей размерности?
	произведение на Z_8 не является прямым. Таким образом, \|Aut	21	Теорема (Рингель и Янгс): Для каждого целого положительного
	(АТГ)\| = \|Shift\| • \|Stab\| : \|Shift ? Stab\| = 8 • 4 : 1 = 32.		n такого, что (n–3)(n–4) делится нацело на 12, полный граф K_n
6	Бипирамидальный Тороидальный Гексадекаэдр (БТГ) —		триангулирует ориентируемую поверхность рода (n–3)(n–4)/12. ¦
	геометрическая модель АТГ С. А. Л., Все неприводимые		Ringel G., Youngs J.W.T., Solution of the Heawood map-colouring
	триангуляции тора реализуются в E3 в виде многогран- ников,		problem Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 60 (1968), 438—445. Отправная
	манускрипт, Мехмат МГУ (1983). Эта работа была выполнена под		лемма (С. А. Л.): Каждая такая триангуляция вкладывается в
	руко- водством профессора И. Х. Сабитова и заняла 2-е место в		n-пространство так, что все грани реализуются изометричными
	конкурсе научных студенческих работ за 1983 год, ежегодно		равносторонними треугольниками. Доказательство: Вложить K_n в
	проводимом Мехматом МГУ. ? Экватор у БТГ.		1-скелет n-мерного гипероктаэдра. Например K_7 в 7-мерный
7			гипероктаэдр. ¦.
8	Мы делаем четкое различие между понятиями «автоморфизм» и	22	Реализуются ли при этом геометрически все автоморфизмы
	«симметрия». Далее, термин «симметрия» используется в широком		триангуляции? Оказывается, будет вершинно-транзитивной группа
	смысле: для обозначения и настоящих симметрий, и вращений		автоморфизмов любой триангуляции тора, в которой степень каждой
	пространства. Ни один автоморфизм АТГ, кроме тождественного, не		вершины = 6. Datta B., Upadhyay A.K.: Degree-regular
	реализуется геометрически, т.е. движениями объемлющего 3-мерного		triangulations of torus and Klein bottle, Proc. Indian Acad.
	пространства, переводящими БТГ в себя, поэтому Sym (БТГ) = { id		Sci. (Math. Sci.) 115 (2005), 279–307. Однако, это может быть
	}. Все автоморфизмы становятся скрытыми симметриями		легким следствием из результата Негами: Negami, S.: Uniqueness
	геометрической модели БТГ.		and faithfulness of embedding of toroidal graphs, Discrete Math.
9	Парадигма Кокстера Парадигма Кокстера «групп и геометрии» —		44 (1983), 161-180.
	это целостная система взглядов и положений по сближению и	23	Итак, что же такое правильный многогранник?? Что касается
	соединению алгебры с геометрией. Одно из этих положений состоит		2-мерных многогранников в евклидовом n-мерном пространстве, тот
	в том, что надо реализовывать геометрически не только сам		заслуживает звания «правильный», который: ¦ правильный как
	комбинаторный или топологический объект, а также его		абстрактная карта на 2-мерной поверхности, ¦ имеет транзитивную
	автоморфизмы в виде геометрических симметрий его геометрической		(здесь возможны варианты) группу автоморфизмов и ¦ не имеет
	модели в пространстве. ¦ H.S.M. Coxeter, Regular Complex		скрытых симметрий.
	Polytopes, Cambridge University Press, Cambridge, 2nd edit.	24	Такое определение правильного многогранника предполагает
	1991. ¦ H.S.M. Coxeter and W.O.J. Moser, Generators and		более широкий класс многогранников, чем в классическом смысле.
	Relations for Discrete Groups, Springer, Berlin 1980 (4th		Исторически, когда ограничивались многогранниками в 3-мерном
	edit.). Хaролд Скотт МакДoналд («Доналд») Кокстер (1907—2003).		пространстве, нашли пять Платоновых тел. Затем, допустив
10	Борьба со скрытыми симметриями — путь претворения в жизнь		самопересечения, нашли еще четыре правильных многогранника
	парадигмы Кокстера. Многогранные реализации групп правильных		Кеплера-Пуансо. Как и у Платоновых тел, ¦ все их грани являются
	карт на 2-мерных поверхностях — вклад в развитие этой парадигмы.		изометричными правильными многоугольниками, и ¦ все их вершины
	Старая идея: Чтобы исключить скрытые симметрии, можно		идентичны.
	использовать модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. ? С. А. Л.,	25	6 марта, 2009 г. Запуск ракеты Дельта II с Кеплером на поиск
	Plummer M.D., Zha X.: Isoperimetric constants of infinite plane		планет, в некотором отношении как наша собственная. Названный в
	graphs, Discrete & Computational Geometry 28 (3): 313-330		честь немецкого ученого 17-го века Иоганна Кеплера, который
	(2002).		открыл законы движения планет, НАСАвский космический аппарат
11	Борьба со скрытыми симметриями — путь претворения в жизнь		Кеплер использует эти законы для поиска миров подобных Земле
	парадигмы Кокстера. Новая идея: Но что, если настаивать на том,		вокруг удаленных звезд. Кеплер, ключевая фигура научной
	чтобы оставаться в евклидовом пространстве? Это возможно! Но		революции, думал, что Вселенная состоит из вложенных друг в
	только, если достаточно увеличить размерность этого		друга Платоновых тел, вписанные в которых сферы определяют
	пространства. (А не пытаться загнать объект в пространство		планетарные орбиты в нашей солнечной системе. Вместе, Платоновы
	заведомо меньшей размерности, как мы делали выше, строя БТГ.).		тела и многогранники Кеплера-Пуансо образуют множество 9-ти
12	Тор Клиффорда: (x_1)? + (x_2)? = 1 = (x_3) ? + (x_4)?. Для		правильных многогранников.
	2-мерного тора более подходит евклидово 4-мерное пространство,	26	Многогранники Кеплера-Пуансо (не типа сферы!). В 1813 г.
	чем 3-мерное. Например, АТГ не удается вложить в 3-пространство		(или 1812 ??) Коши доказал, что кроме пяти Платоновых тел и
	без скрытых симметрий, а в 4-пространство уже можно. В 3-мерном		четырех многогранников Кеплера-Пуансо больше нет правильных
	пространстве тор переходит в себя только вращениями в		многогранников. Может быть Коши подразумевал «в трехмерном
	направлении параллелей, а в 4-мерном пространстве также		пространстве»? A. L. Cauchy, Recherches sur les polyedres;
	вращениями в направлении меридианов.		Premier memoire. J. Ecole Polytech. 9 (1813), 68 – 98. Малый
	http://alem3d.obidos.org/en/torusio/math.		звездчатый додекаэдр. Большой звездчатый додекаэдр. Большой
13	С. А. Л., Polyhedral suspensions of arbitrary genus, Graphs		додекаэдр. Большой икосаэдр.
	& Combinatorics, 26 (2010), в печати. Теорема (С. А. Л.): В	27	Малый звездчатый додекаэдр. ¦ Многогранник в 3-мерном
	евклидовом 4-мерном пространстве существует 2-мерный		пространстве с самопересечениями. (Сергей Петрович Новиков не
	тороидальный многогранник с 8 вершинами и 16 треугольными		признает многогранников с самопересечениями.) ¦ У него 12
	гранями, имеющий следующие три свойства правильности. Этот		вершин, 30 ребер и 12 граней. (Для сравнения, у додекаэдра 20
	многогранник будет называться правильным тороидальным		вершин, 30 ребер и 12 граней.).
	гексадекаэдром и будет обозначаться ПТГ. (1) Все грани ПТГ—	28	Мы же обобщаем по другому направлению: не допуская
	равносторонние треугольники. (2) ПТГ не имеет скрытых симметрий		самопересечений, увеличиваем размерность объемлющего
	в том смысле, что группа Aut (АТГ) точно представлена группой		пространства. И находим еще один правильный многогранник —
	Sym (ПТГ) в 4-мерном пространстве. Группа Sym (ПТГ) действует		правильный тороидальный гексадекаэдр, ПТГ На рисунке слева
	транзитивно на множестве вершин ПТГ.		изображено его сечение экваториальной гиперплоскостью Oxyz (с
14	Доказательство: На рисунке справа — экватор БТГ переложен из		уравнением w = 0 ). Остается открытым вопрос о более элегантном
	2-пространства в 3-пространство в геометрически симметричном		пред- ставлении ПТГ картинкой. 1 (0, 0, 0, 1) — северный полюс 6
	виде, как 2-мерный подкомплекс октаэдра. Затем к координатам		(0, 0, 0, -1) — южный полюс.
	каждой вершины добавили четвертую координату w = 0, тем самым	29	Спасибо за внимание! Вопросы?
«Правильные многогранники» \| Многогранник.ppt

http://900igr.net/kartinki/matematika/Mnogogrannik/Pravilnye-mnogogranniki.html

cсылка на страницу

Геометрия

другие презентации о геометрии

«Определенный интеграл» - Конец. Задание №4. Инструкция по Турбопаскалю. Определенный интеграл. Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями. Задание №3. Формула Ньютона-Лейбница. Алгебра. Задание №2. Блок-схема и программа. Турбопаскаль. Начало. Задание №1. Как найти площадь трапеции? Задание №5. Домашнее задание.

«Логарифм числа» - Свойства логарифма. Натуральный и десятичный логарифмы. Определение логарифма. Сформулируем основные свойства логарифмов. Другая форма определения логарифма. Формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию. Нахождения показателя степени по данным значениям степени и её основания.

«Линейное уравнение» - Вывод. Линейные уравнения могут иметь одно решение, множество решений или не иметь решение. Линейное уравнение с одной переменной. Линейное уравнение с одной переменной. Исследованеи решения линейного уравнения. Сколько корней имеет линейное уравнение? Линейные уравнения. Примеры решения линейных уравнений.

«Теорема Пифагора» - Великий Пифагор родился около 570 г. до н.э. «Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое – это теорема Пифагора…». Теорема Пифагора отражает закономе. Практическое применение теоремы. Страсть к музыке и поэзии Пифагор сохранил на всю жизнь. Заключение. Практическое применение. Краткая биография.

Урок