Многогранник |
|
РЕКЛАМА
|
| << Декартовы координаты на плоскости | Все презентации |
Углы >> |
Картинки из презентации «Многогранник» к уроку математики на тему «Геометрия»
Автор: . Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока математики, скачайте бесплатно презентацию «Многогранник.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 273 КБ.
Скачать презентацию
РЕКЛАМА
Многогранник
содержание презентации «Многогранник.ppt»| Слайд | Текст | Слайд | Текст |
| 1 | Научно-исследовательский семинар кафедры высшей математики-1 | 14 | поместив экватор уже в 4-пространство. Две остающиеся вершины, 1 |
| МИЭТ под руководством проф. Гончарова В.А., проф. Кожухова И.Б. | и 6, располагаются на четвертой координатной оси Ow и имеют | ||
| и проф. Поспелова А.С. 24 ноября, 2009 г. Правильные | координаты (0, 0, 0, 1) и (0, 0, 0, -1), соответственно. | ||
| многогранники в четырехмерном пространстве «В огромном саду | 15 | АТГ реализовывается как подкомплекс 2-мерного скелета | |
| геометрии каждый найдет букет себе по вкусу.» Давид Гильберт | гексадекахорона (или 4-мерного гипероктаэдра) в 4-мерном | ||
| Сергей Александрович Лавренченко (С. А. Л.) | пространстве. Восемь вершин гексадекахорона: (±1, 0, 0, 0), (0, | ||
| http://lawrencenko.ru. | ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1). Все вершины соединены | ||
| 2 | Абстрактный Тороидальный Гексадекаэдр — это | ребрами, кроме противолежащих пар. Значит все грани АТГ | |
| комбинаторно-топологический объект — правильная триангуляция | геометрически реализуются равносторонними треугольниками со | ||
| тора с 8 вершинами и 16 гранями. С. А. Л., Неприводимые триангу- | стороной v2. Свойство (1) доказано. Докажем свойство (2), что | ||
| ляции тора, Укр. геометр. сб. 30 (1987) 52–62. ¦ АТГ — | все 32 автоморфизма триангуляции АТГ реализуются геометрически в | ||
| правильная карта на торе: каждая грань — треугольник и степень | 4D модели в виде ПТГ. 1 (0, 0, 0, 1) — северный полюс 6 (0, 0, | ||
| каждой вершины равна 6. ¦ Ее граф изоморфен 1-скелету | 0, -1) — южный полюс. | ||
| гексадекахорона, т.е. полному ? 4-дольному графу K_{2,2,2,2}. | 16 | Вспомним, что Aut (АТГ) порож- дается тремя автоморфизмами: | |
| 3 | Все ее автоморфизмы найдены при помощи компьютера: С. А. Л., | ?_2 = (35) (47), ?_22 = (16) (37) (45), ?_20 = (15276384) и | |
| Перечисление в явном виде всех автоморфизмов неприводимых | соответственно представима в 4-пространстве дискретной группой | ||
| триангу- ляций тора и всех укладок на тор помечен ных графов | движений, порожденной следующими ортогональными матрицами: A_2 = | ||
| этих триангуляций. Харьков, 1987. – 57 с., Деп. в УкрНИИНТИ | A_22 = A_20 = ¦ 1 0 0 0¦ ¦ 1 0 0 0¦ ¦ 0 0 1 0¦ ¦ 0 -1 0 0¦ ¦ 0 0 | ||
| 01.10.87, № 2779 – Ук87. ?_1 = id (тождественный) ?_2 = (35) | -1 0¦ ¦ 1 0 0 0¦ ¦ 0 0 -1 0¦ ¦ 0 -1 0 0¦ ¦ 0 0 0 1¦ ¦ 0 0 0 1¦ ¦ | ||
| (47) ?_3 = (28) (34) (57) ?_4 = (28) (37) (45) ?_5 = (12) (47) | 0 0 0 -1¦ ¦ 0 -1 0 0¦. 1 (0, 0, 0, 1) и 6 (0, 0, 0, -1). | ||
| (68) ?_6 = (12) (35) (68) ?_7 = (1268) (3457) ?_8 = (1268) | 17 | Таким образом, получено точное представление группы Aut | |
| (3754) ?_9 = (13246587) ?_10 = (13876524) ?_11 = (13) (27) (48) | (АТГ) степени 4. Где —специальная ортогональная группа степени | ||
| (56) ?_12 = (1365) (2784) ?_13 = (14) (23) (58) (67) ?_14 = | 4, а — полная линейная группа степени 4, И, таким образом, все | ||
| (1467) (2385) ?_15 = (14256783) ?_16 = (14836725) ?_17 = (1563) | автоморфизмы реализуются только вращениями 4-мерного | ||
| (2487) ?_18 = (15) (24) (36) (78) ?_19 = (15846327) ?_20 = | пространства. ¦. | ||
| (15276384) ?_21 = (16) (34) (57) ?_22 = (16) (37) (45) ?_23 = | 18 | Резюмируя, многогранники БТГ и ПТГ — различные | |
| (16) (28) ?_24 = (16) (28) (35) (47) ?_25 = (17856423) ?_26 = | геометрические модели абстрактной триангуляции тора АТГ. Первый | ||
| (17236485) ?_27 = (1764) (2583) ?_28 = (17) (25) (38) (46) ?_29 | — в трехмерном евклидовом пространстве, а второй — в | ||
| = (1862) (3457) ?_30 = (1862) (3754) ?_31 = (18) (26) (47) ?_32 | четырехмерном. В 3D модели БТГ все автоморфизмы, кроме | ||
| = (18) (26) (35). | тождественного, являются скрытыми симметриями. Другими словами, | ||
| 4 | Группу Aut (АТГ) можно определить и без компьютера. Эта | индекс подгруппы симметрий в группе автоморфизмов = 32. В 4D | |
| группа вершинно- транзитивная, потому что в ней есть единый | модели ПТГ же, наоборот, все до единого автоморфизмы реализуются | ||
| циклический сдвиг всех вершин: ?_20 = (15276384). Подгруппа | геометрически, т.е. индекс подгруппы симметрий = 1. | ||
| Shift = <?_20> ? Z_8. Она ненормальна. С другой стороны, | 19 | Открытые вопросы ¦ Существуют ли другие правильные 2-мерные | |
| стабилизатор каждой вершины есть подгруппа изоморфная Z_2 ? Z_2, | многогранники, кроме ПТГ, в (евклидовом) пространстве | ||
| ненормальная. Например, стабилизатор вершины 8, есть подгруппа | размерности 4 ? ¦ А в пространствах высших размерностей? ¦ | ||
| Stab = <?_2, ?_22> ? Z_2 ? Z_2, порожденная 2-мя | Существуют ли в 3-мерном пространстве правильные многогранники | ||
| инволюциями ?_2 = (35)(47) и ?_22 = (16)(37)(45) (реализуемыми | топологических типов, отличных от сферы? Гипотеза: Нет. | ||
| геометрически «симметриями относительно перпендикулярных | 20 | Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники, | |
| прямых»). Эта подгруппа ненормальна. | кроме ПТГ, в пространствах размерностей ? 4 ? В частности, | ||
| 5 | Таким образом, группа Aut (АТГ) может быть порождена так: | реализуется ли правильная триангуляция тора с полным графом K_7 | |
| Aut (АТГ) = <?_2, ?_22, ?_20> = (Z_2 ? Z_2) Z_8, где Z_2 ? | в виде правильного многогранника в евклидовом пространстве | ||
| Z_2 и Z_8 — как указаны на предыдущем слайде, причем | высшей размерности? | ||
| произведение на Z_8 не является прямым. Таким образом, |Aut | 21 | Теорема (Рингель и Янгс): Для каждого целого положительного | |
| (АТГ)| = |Shift| • |Stab| : |Shift ? Stab| = 8 • 4 : 1 = 32. | n такого, что (n–3)(n–4) делится нацело на 12, полный граф K_n | ||
| 6 | Бипирамидальный Тороидальный Гексадекаэдр (БТГ) — | триангулирует ориентируемую поверхность рода (n–3)(n–4)/12. ¦ | |
| геометрическая модель АТГ С. А. Л., Все неприводимые | Ringel G., Youngs J.W.T., Solution of the Heawood map-colouring | ||
| триангуляции тора реализуются в E3 в виде многогран- ников, | problem Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 60 (1968), 438—445. Отправная | ||
| манускрипт, Мехмат МГУ (1983). Эта работа была выполнена под | лемма (С. А. Л.): Каждая такая триангуляция вкладывается в | ||
| руко- водством профессора И. Х. Сабитова и заняла 2-е место в | n-пространство так, что все грани реализуются изометричными | ||
| конкурсе научных студенческих работ за 1983 год, ежегодно | равносторонними треугольниками. Доказательство: Вложить K_n в | ||
| проводимом Мехматом МГУ. ? Экватор у БТГ. | 1-скелет n-мерного гипероктаэдра. Например K_7 в 7-мерный | ||
| 7 | гипероктаэдр. ¦. | ||
| 8 | Мы делаем четкое различие между понятиями «автоморфизм» и | 22 | Реализуются ли при этом геометрически все автоморфизмы |
| «симметрия». Далее, термин «симметрия» используется в широком | триангуляции? Оказывается, будет вершинно-транзитивной группа | ||
| смысле: для обозначения и настоящих симметрий, и вращений | автоморфизмов любой триангуляции тора, в которой степень каждой | ||
| пространства. Ни один автоморфизм АТГ, кроме тождественного, не | вершины = 6. Datta B., Upadhyay A.K.: Degree-regular | ||
| реализуется геометрически, т.е. движениями объемлющего 3-мерного | triangulations of torus and Klein bottle, Proc. Indian Acad. | ||
| пространства, переводящими БТГ в себя, поэтому Sym (БТГ) = { id | Sci. (Math. Sci.) 115 (2005), 279–307. Однако, это может быть | ||
| }. Все автоморфизмы становятся скрытыми симметриями | легким следствием из результата Негами: Negami, S.: Uniqueness | ||
| геометрической модели БТГ. | and faithfulness of embedding of toroidal graphs, Discrete Math. | ||
| 9 | Парадигма Кокстера Парадигма Кокстера «групп и геометрии» — | 44 (1983), 161-180. | |
| это целостная система взглядов и положений по сближению и | 23 | Итак, что же такое правильный многогранник?? Что касается | |
| соединению алгебры с геометрией. Одно из этих положений состоит | 2-мерных многогранников в евклидовом n-мерном пространстве, тот | ||
| в том, что надо реализовывать геометрически не только сам | заслуживает звания «правильный», который: ¦ правильный как | ||
| комбинаторный или топологический объект, а также его | абстрактная карта на 2-мерной поверхности, ¦ имеет транзитивную | ||
| автоморфизмы в виде геометрических симметрий его геометрической | (здесь возможны варианты) группу автоморфизмов и ¦ не имеет | ||
| модели в пространстве. ¦ H.S.M. Coxeter, Regular Complex | скрытых симметрий. | ||
| Polytopes, Cambridge University Press, Cambridge, 2nd edit. | 24 | Такое определение правильного многогранника предполагает | |
| 1991. ¦ H.S.M. Coxeter and W.O.J. Moser, Generators and | более широкий класс многогранников, чем в классическом смысле. | ||
| Relations for Discrete Groups, Springer, Berlin 1980 (4th | Исторически, когда ограничивались многогранниками в 3-мерном | ||
| edit.). Хaролд Скотт МакДoналд («Доналд») Кокстер (1907—2003). | пространстве, нашли пять Платоновых тел. Затем, допустив | ||
| 10 | Борьба со скрытыми симметриями — путь претворения в жизнь | самопересечения, нашли еще четыре правильных многогранника | |
| парадигмы Кокстера. Многогранные реализации групп правильных | Кеплера-Пуансо. Как и у Платоновых тел, ¦ все их грани являются | ||
| карт на 2-мерных поверхностях — вклад в развитие этой парадигмы. | изометричными правильными многоугольниками, и ¦ все их вершины | ||
| Старая идея: Чтобы исключить скрытые симметрии, можно | идентичны. | ||
| использовать модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. ? С. А. Л., | 25 | 6 марта, 2009 г. Запуск ракеты Дельта II с Кеплером на поиск | |
| Plummer M.D., Zha X.: Isoperimetric constants of infinite plane | планет, в некотором отношении как наша собственная. Названный в | ||
| graphs, Discrete & Computational Geometry 28 (3): 313-330 | честь немецкого ученого 17-го века Иоганна Кеплера, который | ||
| (2002). | открыл законы движения планет, НАСАвский космический аппарат | ||
| 11 | Борьба со скрытыми симметриями — путь претворения в жизнь | Кеплер использует эти законы для поиска миров подобных Земле | |
| парадигмы Кокстера. Новая идея: Но что, если настаивать на том, | вокруг удаленных звезд. Кеплер, ключевая фигура научной | ||
| чтобы оставаться в евклидовом пространстве? Это возможно! Но | революции, думал, что Вселенная состоит из вложенных друг в | ||
| только, если достаточно увеличить размерность этого | друга Платоновых тел, вписанные в которых сферы определяют | ||
| пространства. (А не пытаться загнать объект в пространство | планетарные орбиты в нашей солнечной системе. Вместе, Платоновы | ||
| заведомо меньшей размерности, как мы делали выше, строя БТГ.). | тела и многогранники Кеплера-Пуансо образуют множество 9-ти | ||
| 12 | Тор Клиффорда: (x_1)? + (x_2)? = 1 = (x_3) ? + (x_4)?. Для | правильных многогранников. | |
| 2-мерного тора более подходит евклидово 4-мерное пространство, | 26 | Многогранники Кеплера-Пуансо (не типа сферы!). В 1813 г. | |
| чем 3-мерное. Например, АТГ не удается вложить в 3-пространство | (или 1812 ??) Коши доказал, что кроме пяти Платоновых тел и | ||
| без скрытых симметрий, а в 4-пространство уже можно. В 3-мерном | четырех многогранников Кеплера-Пуансо больше нет правильных | ||
| пространстве тор переходит в себя только вращениями в | многогранников. Может быть Коши подразумевал «в трехмерном | ||
| направлении параллелей, а в 4-мерном пространстве также | пространстве»? A. L. Cauchy, Recherches sur les polyedres; | ||
| вращениями в направлении меридианов. | Premier memoire. J. Ecole Polytech. 9 (1813), 68 – 98. Малый | ||
| http://alem3d.obidos.org/en/torusio/math. | звездчатый додекаэдр. Большой звездчатый додекаэдр. Большой | ||
| 13 | С. А. Л., Polyhedral suspensions of arbitrary genus, Graphs | додекаэдр. Большой икосаэдр. | |
| & Combinatorics, 26 (2010), в печати. Теорема (С. А. Л.): В | 27 | Малый звездчатый додекаэдр. ¦ Многогранник в 3-мерном | |
| евклидовом 4-мерном пространстве существует 2-мерный | пространстве с самопересечениями. (Сергей Петрович Новиков не | ||
| тороидальный многогранник с 8 вершинами и 16 треугольными | признает многогранников с самопересечениями.) ¦ У него 12 | ||
| гранями, имеющий следующие три свойства правильности. Этот | вершин, 30 ребер и 12 граней. (Для сравнения, у додекаэдра 20 | ||
| многогранник будет называться правильным тороидальным | вершин, 30 ребер и 12 граней.). | ||
| гексадекаэдром и будет обозначаться ПТГ. (1) Все грани ПТГ— | 28 | Мы же обобщаем по другому направлению: не допуская | |
| равносторонние треугольники. (2) ПТГ не имеет скрытых симметрий | самопересечений, увеличиваем размерность объемлющего | ||
| в том смысле, что группа Aut (АТГ) точно представлена группой | пространства. И находим еще один правильный многогранник — | ||
| Sym (ПТГ) в 4-мерном пространстве. Группа Sym (ПТГ) действует | правильный тороидальный гексадекаэдр, ПТГ На рисунке слева | ||
| транзитивно на множестве вершин ПТГ. | изображено его сечение экваториальной гиперплоскостью Oxyz (с | ||
| 14 | Доказательство: На рисунке справа — экватор БТГ переложен из | уравнением w = 0 ). Остается открытым вопрос о более элегантном | |
| 2-пространства в 3-пространство в геометрически симметричном | пред- ставлении ПТГ картинкой. 1 (0, 0, 0, 1) — северный полюс 6 | ||
| виде, как 2-мерный подкомплекс октаэдра. Затем к координатам | (0, 0, 0, -1) — южный полюс. | ||
| каждой вершины добавили четвертую координату w = 0, тем самым | 29 | Спасибо за внимание! Вопросы? | |
| «Правильные многогранники» | Многогранник.ppt | |||
http://900igr.net/kartinki/matematika/Mnogogrannik/Pravilnye-mnogogranniki.html
cсылка на страницу
Геометрия
другие презентации о геометрии
«Определенный интеграл» - Конец. Задание №4. Инструкция по Турбопаскалю. Определенный интеграл. Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями. Задание №3. Формула Ньютона-Лейбница. Алгебра. Задание №2. Блок-схема и программа. Турбопаскаль. Начало. Задание №1. Как найти площадь трапеции? Задание №5. Домашнее задание.
«Логарифм числа» - Свойства логарифма. Натуральный и десятичный логарифмы. Определение логарифма. Сформулируем основные свойства логарифмов. Другая форма определения логарифма. Формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию. Нахождения показателя степени по данным значениям степени и её основания.
«Линейное уравнение» - Вывод. Линейные уравнения могут иметь одно решение, множество решений или не иметь решение. Линейное уравнение с одной переменной. Линейное уравнение с одной переменной. Исследованеи решения линейного уравнения. Сколько корней имеет линейное уравнение? Линейные уравнения. Примеры решения линейных уравнений.
«Теорема Пифагора» - Великий Пифагор родился около 570 г. до н.э. «Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое – это теорема Пифагора…». Теорема Пифагора отражает закономе. Практическое применение теоремы. Страсть к музыке и поэзии Пифагор сохранил на всю жизнь. Заключение. Практическое применение. Краткая биография.
Реклама
Презентация: Многогранник | Тема: Геометрия | Урок: Математика | Вид: Картинки