Многогранник

Геометрия Скачать презентацию
<< Декартовы координаты на плоскости		Углы >>

Научно-исследовательский семинар кафедры высшей математики-1 МИЭТ под

Абстрактный Тороидальный Гексадекаэдр — это

Все ее автоморфизмы найдены при помощи компьютера: С. А. Л.,

Группу Aut (АТГ) можно определить и без компьютера

Таким образом, группа Aut (АТГ) может быть порождена так: Aut (АТГ) =

Бипирамидальный Тороидальный Гексадекаэдр (БТГ) — геометрическая

Правильные многогранники

Мы делаем четкое различие между понятиями «автоморфизм» и «симметрия»

Парадигма Кокстера Парадигма Кокстера «групп и геометрии» — это

Борьба со скрытыми симметриями — путь претворения в жизнь парадигмы

Тор Клиффорда: (x_1)

С. А. Л., Polyhedral suspensions of arbitrary genus, Graphs &

Доказательство: На рисунке справа — экватор БТГ переложен из

АТГ реализовывается как подкомплекс 2-мерного скелета гексадекахорона

Вспомним, что Aut (АТГ) порож- дается тремя автоморфизмами:

Таким образом, получено точное представление группы Aut (АТГ) степени

Резюмируя, многогранники БТГ и ПТГ — различные геометрические модели

Открытые вопросы ¦ Существуют ли другие правильные 2-мерные

Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники, кроме ПТГ, в

Теорема (Рингель и Янгс): Для каждого целого положительного n такого,

Реализуются ли при этом геометрически все автоморфизмы триангуляции

Итак, что же такое правильный многогранник

Такое определение правильного многогранника предполагает более широкий

6 марта, 2009 г. Запуск ракеты Дельта II с Кеплером на поиск планет, в

Многогранники Кеплера-Пуансо (не типа сферы

Малый звездчатый додекаэдр

Мы же обобщаем по другому направлению: не допуская самопересечений,

Спасибо за внимание

Картинки из презентации «Многогранник» к уроку математики на тему «Геометрия»

Автор: . Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока математики, скачайте бесплатно презентацию «Многогранник.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 273 КБ.

Скачать презентацию

Многогранник

содержание презентации «Многогранник.ppt»

Сл	Текст	Сл	Текст
1	Научно-исследовательский семинар кафедры высшей математики-1	14	поместив экватор уже в 4-пространство. Две остающиеся вершины, 1
	МИЭТ под руководством проф. Гончарова В.А., проф. Кожухова И.Б.		и 6, располагаются на четвертой координатной оси Ow и имеют
	и проф. Поспелова А.С. 24 ноября, 2009 г. Правильные		координаты (0, 0, 0, 1) и (0, 0, 0, -1), соответственно.
	многогранники в четырехмерном пространстве «В огромном саду	15	АТГ реализовывается как подкомплекс 2-мерного скелета
	геометрии каждый найдет букет себе по вкусу.» Давид Гильберт		гексадекахорона (или 4-мерного гипероктаэдра) в 4-мерном
	Сергей Александрович Лавренченко (С. А. Л.)		пространстве. Восемь вершин гексадекахорона: (±1, 0, 0, 0), (0,
	http://lawrencenko.ru.		±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1). Все вершины соединены
2	Абстрактный Тороидальный Гексадекаэдр — это		ребрами, кроме противолежащих пар. Значит все грани АТГ
	комбинаторно-топологический объект — правильная триангуляция		геометрически реализуются равносторонними треугольниками со
	тора с 8 вершинами и 16 гранями. С. А. Л., Неприводимые триангу-		стороной v2. Свойство (1) доказано. Докажем свойство (2), что
	ляции тора, Укр. геометр. сб. 30 (1987) 52–62. ¦ АТГ —		все 32 автоморфизма триангуляции АТГ реализуются геометрически в
	правильная карта на торе: каждая грань — треугольник и степень		4D модели в виде ПТГ. 1 (0, 0, 0, 1) — северный полюс 6 (0, 0,
	каждой вершины равна 6. ¦ Ее граф изоморфен 1-скелету		0, -1) — южный полюс.
	гексадекахорона, т.е. полному ? 4-дольному графу K_{2,2,2,2}.	16	Вспомним, что Aut (АТГ) порож- дается тремя автоморфизмами:
3	Все ее автоморфизмы найдены при помощи компьютера: С. А. Л.,		?_2 = (35) (47), ?_22 = (16) (37) (45), ?_20 = (15276384) и
	Перечисление в явном виде всех автоморфизмов неприводимых		соответственно представима в 4-пространстве дискретной группой
	триангу- ляций тора и всех укладок на тор помечен ных графов		движений, порожденной следующими ортогональными матрицами: A_2 =
	этих триангуляций. Харьков, 1987. – 57 с., Деп. в УкрНИИНТИ		A_22 = A_20 = ¦ 1 0 0 0¦ ¦ 1 0 0 0¦ ¦ 0 0 1 0¦ ¦ 0 -1 0 0¦ ¦ 0 0
	01.10.87, № 2779 – Ук87. ?_1 = id (тождественный) ?_2 = (35)		-1 0¦ ¦ 1 0 0 0¦ ¦ 0 0 -1 0¦ ¦ 0 -1 0 0¦ ¦ 0 0 0 1¦ ¦ 0 0 0 1¦ ¦
	(47) ?_3 = (28) (34) (57) ?_4 = (28) (37) (45) ?_5 = (12) (47)		0 0 0 -1¦ ¦ 0 -1 0 0¦. 1 (0, 0, 0, 1) и 6 (0, 0, 0, -1).
	(68) ?_6 = (12) (35) (68) ?_7 = (1268) (3457) ?_8 = (1268)	17	Таким образом, получено точное представление группы Aut
	(3754) ?_9 = (13246587) ?_10 = (13876524) ?_11 = (13) (27) (48)		(АТГ) степени 4. Где —специальная ортогональная группа степени
	(56) ?_12 = (1365) (2784) ?_13 = (14) (23) (58) (67) ?_14 =		4, а — полная линейная группа степени 4, И, таким образом, все
	(1467) (2385) ?_15 = (14256783) ?_16 = (14836725) ?_17 = (1563)		автоморфизмы реализуются только вращениями 4-мерного
	(2487) ?_18 = (15) (24) (36) (78) ?_19 = (15846327) ?_20 =		пространства. ¦.
	(15276384) ?_21 = (16) (34) (57) ?_22 = (16) (37) (45) ?_23 =	18	Резюмируя, многогранники БТГ и ПТГ — различные
	(16) (28) ?_24 = (16) (28) (35) (47) ?_25 = (17856423) ?_26 =		геометрические модели абстрактной триангуляции тора АТГ. Первый
	(17236485) ?_27 = (1764) (2583) ?_28 = (17) (25) (38) (46) ?_29		— в трехмерном евклидовом пространстве, а второй — в
	= (1862) (3457) ?_30 = (1862) (3754) ?_31 = (18) (26) (47) ?_32		четырехмерном. В 3D модели БТГ все автоморфизмы, кроме
	= (18) (26) (35).		тождественного, являются скрытыми симметриями. Другими словами,
4	Группу Aut (АТГ) можно определить и без компьютера. Эта		индекс подгруппы симметрий в группе автоморфизмов = 32. В 4D
	группа вершинно- транзитивная, потому что в ней есть единый		модели ПТГ же, наоборот, все до единого автоморфизмы реализуются
	циклический сдвиг всех вершин: ?_20 = (15276384). Подгруппа		геометрически, т.е. индекс подгруппы симметрий = 1.
	Shift = <?_20> ? Z_8. Она ненормальна. С другой стороны,	19	Открытые вопросы ¦ Существуют ли другие правильные 2-мерные
	стабилизатор каждой вершины есть подгруппа изоморфная Z_2 ? Z_2,		многогранники, кроме ПТГ, в (евклидовом) пространстве
	ненормальная. Например, стабилизатор вершины 8, есть подгруппа		размерности 4 ? ¦ А в пространствах высших размерностей? ¦
	Stab = <?_2, ?_22> ? Z_2 ? Z_2, порожденная 2-мя		Существуют ли в 3-мерном пространстве правильные многогранники
	инволюциями ?_2 = (35)(47) и ?_22 = (16)(37)(45) (реализуемыми		топологических типов, отличных от сферы? Гипотеза: Нет.
	геометрически «симметриями относительно перпендикулярных	20	Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники,
	прямых»). Эта подгруппа ненормальна.		кроме ПТГ, в пространствах размерностей ? 4 ? В частности,
5	Таким образом, группа Aut (АТГ) может быть порождена так:		реализуется ли правильная триангуляция тора с полным графом K_7
	Aut (АТГ) = <?_2, ?_22, ?_20> = (Z_2 ? Z_2) Z_8, где Z_2 ?		в виде правильного многогранника в евклидовом пространстве
	Z_2 и Z_8 — как указаны на предыдущем слайде, причем		высшей размерности?
	произведение на Z_8 не является прямым. Таким образом, \|Aut	21	Теорема (Рингель и Янгс): Для каждого целого положительного
	(АТГ)\| = \|Shift\| • \|Stab\| : \|Shift ? Stab\| = 8 • 4 : 1 = 32.		n такого, что (n–3)(n–4) делится нацело на 12, полный граф K_n
6	Бипирамидальный Тороидальный Гексадекаэдр (БТГ) —		триангулирует ориентируемую поверхность рода (n–3)(n–4)/12. ¦
	геометрическая модель АТГ С. А. Л., Все неприводимые		Ringel G., Youngs J.W.T., Solution of the Heawood map-colouring
	триангуляции тора реализуются в E3 в виде многогран- ников,		problem Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 60 (1968), 438—445. Отправная
	манускрипт, Мехмат МГУ (1983). Эта работа была выполнена под		лемма (С. А. Л.): Каждая такая триангуляция вкладывается в
	руко- водством профессора И. Х. Сабитова и заняла 2-е место в		n-пространство так, что все грани реализуются изометричными
	конкурсе научных студенческих работ за 1983 год, ежегодно		равносторонними треугольниками. Доказательство: Вложить K_n в
	проводимом Мехматом МГУ. ? Экватор у БТГ.		1-скелет n-мерного гипероктаэдра. Например K_7 в 7-мерный
7			гипероктаэдр. ¦.
8	Мы делаем четкое различие между понятиями «автоморфизм» и	22	Реализуются ли при этом геометрически все автоморфизмы
	«симметрия». Далее, термин «симметрия» используется в широком		триангуляции? Оказывается, будет вершинно-транзитивной группа
	смысле: для обозначения и настоящих симметрий, и вращений		автоморфизмов любой триангуляции тора, в которой степень каждой
	пространства. Ни один автоморфизм АТГ, кроме тождественного, не		вершины = 6. Datta B., Upadhyay A.K.: Degree-regular
	реализуется геометрически, т.е. движениями объемлющего 3-мерного		triangulations of torus and Klein bottle, Proc. Indian Acad.
	пространства, переводящими БТГ в себя, поэтому Sym (БТГ) = { id		Sci. (Math. Sci.) 115 (2005), 279–307. Однако, это может быть
	}. Все автоморфизмы становятся скрытыми симметриями		легким следствием из результата Негами: Negami, S.: Uniqueness
	геометрической модели БТГ.		and faithfulness of embedding of toroidal graphs, Discrete Math.
9	Парадигма Кокстера Парадигма Кокстера «групп и геометрии» —		44 (1983), 161-180.
	это целостная система взглядов и положений по сближению и	23	Итак, что же такое правильный многогранник?? Что касается
	соединению алгебры с геометрией. Одно из этих положений состоит		2-мерных многогранников в евклидовом n-мерном пространстве, тот
	в том, что надо реализовывать геометрически не только сам		заслуживает звания «правильный», который: ¦ правильный как
	комбинаторный или топологический объект, а также его		абстрактная карта на 2-мерной поверхности, ¦ имеет транзитивную
	автоморфизмы в виде геометрических симметрий его геометрической		(здесь возможны варианты) группу автоморфизмов и ¦ не имеет
	модели в пространстве. ¦ H.S.M. Coxeter, Regular Complex		скрытых симметрий.
	Polytopes, Cambridge University Press, Cambridge, 2nd edit.	24	Такое определение правильного многогранника предполагает
	1991. ¦ H.S.M. Coxeter and W.O.J. Moser, Generators and		более широкий класс многогранников, чем в классическом смысле.
	Relations for Discrete Groups, Springer, Berlin 1980 (4th		Исторически, когда ограничивались многогранниками в 3-мерном
	edit.). Хaролд Скотт МакДoналд («Доналд») Кокстер (1907—2003).		пространстве, нашли пять Платоновых тел. Затем, допустив
10	Борьба со скрытыми симметриями — путь претворения в жизнь		самопересечения, нашли еще четыре правильных многогранника
	парадигмы Кокстера. Многогранные реализации групп правильных		Кеплера-Пуансо. Как и у Платоновых тел, ¦ все их грани являются
	карт на 2-мерных поверхностях — вклад в развитие этой парадигмы.		изометричными правильными многоугольниками, и ¦ все их вершины
	Старая идея: Чтобы исключить скрытые симметрии, можно		идентичны.
	использовать модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. ? С. А. Л.,	25	6 марта, 2009 г. Запуск ракеты Дельта II с Кеплером на поиск
	Plummer M.D., Zha X.: Isoperimetric constants of infinite plane		планет, в некотором отношении как наша собственная. Названный в
	graphs, Discrete & Computational Geometry 28 (3): 313-330		честь немецкого ученого 17-го века Иоганна Кеплера, который
	(2002).		открыл законы движения планет, НАСАвский космический аппарат
11	Борьба со скрытыми симметриями — путь претворения в жизнь		Кеплер использует эти законы для поиска миров подобных Земле
	парадигмы Кокстера. Новая идея: Но что, если настаивать на том,		вокруг удаленных звезд. Кеплер, ключевая фигура научной
	чтобы оставаться в евклидовом пространстве? Это возможно! Но		революции, думал, что Вселенная состоит из вложенных друг в
	только, если достаточно увеличить размерность этого		друга Платоновых тел, вписанные в которых сферы определяют
	пространства. (А не пытаться загнать объект в пространство		планетарные орбиты в нашей солнечной системе. Вместе, Платоновы
	заведомо меньшей размерности, как мы делали выше, строя БТГ.).		тела и многогранники Кеплера-Пуансо образуют множество 9-ти
12	Тор Клиффорда: (x_1)? + (x_2)? = 1 = (x_3) ? + (x_4)?. Для		правильных многогранников.
	2-мерного тора более подходит евклидово 4-мерное пространство,	26	Многогранники Кеплера-Пуансо (не типа сферы!). В 1813 г.
	чем 3-мерное. Например, АТГ не удается вложить в 3-пространство		(или 1812 ??) Коши доказал, что кроме пяти Платоновых тел и
	без скрытых симметрий, а в 4-пространство уже можно. В 3-мерном		четырех многогранников Кеплера-Пуансо больше нет правильных
	пространстве тор переходит в себя только вращениями в		многогранников. Может быть Коши подразумевал «в трехмерном
	направлении параллелей, а в 4-мерном пространстве также		пространстве»? A. L. Cauchy, Recherches sur les polyedres;
	вращениями в направлении меридианов.		Premier memoire. J. Ecole Polytech. 9 (1813), 68 – 98. Малый
	http://alem3d.obidos.org/en/torusio/math.		звездчатый додекаэдр. Большой звездчатый додекаэдр. Большой
13	С. А. Л., Polyhedral suspensions of arbitrary genus, Graphs		додекаэдр. Большой икосаэдр.
	& Combinatorics, 26 (2010), в печати. Теорема (С. А. Л.): В	27	Малый звездчатый додекаэдр. ¦ Многогранник в 3-мерном
	евклидовом 4-мерном пространстве существует 2-мерный		пространстве с самопересечениями. (Сергей Петрович Новиков не
	тороидальный многогранник с 8 вершинами и 16 треугольными		признает многогранников с самопересечениями.) ¦ У него 12
	гранями, имеющий следующие три свойства правильности. Этот		вершин, 30 ребер и 12 граней. (Для сравнения, у додекаэдра 20
	многогранник будет называться правильным тороидальным		вершин, 30 ребер и 12 граней.).
	гексадекаэдром и будет обозначаться ПТГ. (1) Все грани ПТГ—	28	Мы же обобщаем по другому направлению: не допуская
	равносторонние треугольники. (2) ПТГ не имеет скрытых симметрий		самопересечений, увеличиваем размерность объемлющего
	в том смысле, что группа Aut (АТГ) точно представлена группой		пространства. И находим еще один правильный многогранник —
	Sym (ПТГ) в 4-мерном пространстве. Группа Sym (ПТГ) действует		правильный тороидальный гексадекаэдр, ПТГ На рисунке слева
	транзитивно на множестве вершин ПТГ.		изображено его сечение экваториальной гиперплоскостью Oxyz (с
14	Доказательство: На рисунке справа — экватор БТГ переложен из		уравнением w = 0 ). Остается открытым вопрос о более элегантном
	2-пространства в 3-пространство в геометрически симметричном		пред- ставлении ПТГ картинкой. 1 (0, 0, 0, 1) — северный полюс 6
	виде, как 2-мерный подкомплекс октаэдра. Затем к координатам		(0, 0, 0, -1) — южный полюс.
	каждой вершины добавили четвертую координату w = 0, тем самым	29	Спасибо за внимание! Вопросы?
«Правильные многогранники» \| Многогранник.ppt

http://900igr.net/kartinki/matematika/Mnogogrannik/Pravilnye-mnogogranniki.html

cсылка на страницу

Геометрия

другие презентации о геометрии

«Определенный интеграл» - Конец. Задание №4. Инструкция по Турбопаскалю. Определенный интеграл. Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями. Задание №3. Формула Ньютона-Лейбница. Алгебра. Задание №2. Блок-схема и программа. Турбопаскаль. Начало. Задание №1. Как найти площадь трапеции? Задание №5. Домашнее задание.

«Логарифм числа» - Свойства логарифма. Натуральный и десятичный логарифмы. Определение логарифма. Сформулируем основные свойства логарифмов. Другая форма определения логарифма. Формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию. Нахождения показателя степени по данным значениям степени и её основания.

«Линейное уравнение» - Вывод. Линейные уравнения могут иметь одно решение, множество решений или не иметь решение. Линейное уравнение с одной переменной. Линейное уравнение с одной переменной. Исследованеи решения линейного уравнения. Сколько корней имеет линейное уравнение? Линейные уравнения. Примеры решения линейных уравнений.

«Теорема Пифагора» - Великий Пифагор родился около 570 г. до н.э. «Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое – это теорема Пифагора…». Теорема Пифагора отражает закономе. Практическое применение теоремы. Страсть к музыке и поэзии Пифагор сохранил на всю жизнь. Заключение. Практическое применение. Краткая биография.

Урок