Уравнения
<<  Как сделать скрытый слайд в На метод лупанова  >>
§8 Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений
§8 Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений
Пример:
Пример:
8.2 Интегрирование тригонометрических выражений
8.2 Интегрирование тригонометрических выражений
Пример:
Пример:
8.3 Дробно-рациональные функции
8.3 Дробно-рациональные функции
Интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к
Интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к
Рассмотрим интегрирование простейших дробей
Рассмотрим интегрирование простейших дробей
Пример: Найти
Пример: Найти
8.4 Определенный интеграл, его геометрический смысл
8.4 Определенный интеграл, его геометрический смысл
Если существует
Если существует
Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
8.5 Методы вычисления определенных интегралов
8.5 Методы вычисления определенных интегралов
2. Метод замены переменной
2. Метод замены переменной
Важным в формулах (1) и (2) является то, что одновременно с заменой
Важным в формулах (1) и (2) является то, что одновременно с заменой
8.6 Применение определенного интеграла
8.6 Применение определенного интеграла
Если криволинейная трапеция ограничена кривыми y = f1(x) и y = f2(x),
Если криволинейная трапеция ограничена кривыми y = f1(x) и y = f2(x),
Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х и у = 2-х2
Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х и у = 2-х2

Презентация: «8 Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений». Автор: Пользователь. Файл: «8 Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений.ppt». Размер zip-архива: 154 КБ.

8 Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений

содержание презентации «8 Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений.ppt»
СлайдТекст
1 §8 Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений

§8 Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений

8.1 Интегрирование иррациональных выражений

Основным методом вычисления неопределенных интегралов от иррациональных функций является метод рационализации подынтегрального выражения, т.е. метод нахождения таких подстановок, которые приводят данный интеграл к интегралу от рациональной функции.

Где pi, qi?z,

Пусть q =НОК(q1, q2,…qn). Вводим замену x = t q, тогда dx = qt q-1dt и исходный интеграл преобразуется к виду

Где mi?z,

И r*(t) – рациональная функция от t.

2 Пример:

Пример:

Т.к. НОК(3, 2)=6, то

3 8.2 Интегрирование тригонометрических выражений

8.2 Интегрирование тригонометрических выражений

Для нахождения интеграла вида

Используют

универсальную тригонометрическую подстановку Тогда x = 2arctgt,

И

Где R*– рациональная функция.

4 Пример:

Пример:

Введем подстановку тогда

5 8.3 Дробно-рациональные функции

8.3 Дробно-рациональные функции

Простейшие дроби

Рациональной дробью (дробно-рациональной функцией) называется отношение двух многочленов c действительными коэффициентами степени m и n соответственно

Если m>n, то дробь называется правильной, в противном случае – неправильной. Из неправильной дроби всегда можно выделить целую часть, так что оставшаяся дробь будет правильной.

Пример:

6 Интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к

Интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к

интегрированию многочлена Sm-n(x) и правильной рациональной дроби

Среди правильных дробей различают четыре типа простейших дробей:

II.

I.

III.

IV.

Где A, M, N, a, p, q – const, k?n, дискриминант d=p2 -4q<0.

7 Рассмотрим интегрирование простейших дробей

Рассмотрим интегрирование простейших дробей

I.

Пример:

II.

Пример:

III.

8 Пример: Найти

Пример: Найти

Выделим в числителе производную знаменателя:

2. Знаменатель второй дроби представим в виде суммы квадратов:

9 8.4 Определенный интеграл, его геометрический смысл

8.4 Определенный интеграл, его геометрический смысл

Пусть функция f(x) задана на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] произвольным образом на n частей, где a=x0< x1<… <xi<…<xn-1< xn=b. Обозначим ?xi= xi- xi-1, и пусть ?=max{?xi}.

На каждом отрезке [xi-1, xi] выберем точку ci?[xi-1, xi] и составим сумму ?n=f(c1)?x1+…+ f(cn)?xn=

Которая называется интегральной суммой функции f(x), она зависит от способа разбиения и выбора точек ci.

10 Если существует

Если существует

,

Не зависящий от способа

разбиения отрезка [a, b] и выбора промежуточных точек ci, то говорят, что функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a, b], а сам предел называют определенным интегралом

.

Назовем криволинейной трапецией фигуру, ограниченную графиком функции f(x), прямыми х = a, x = b и осью Ох. Тогда произведение f(ci)?xi равно площади прямоугольника с основанием ?xi и высотой f(ci), а сумма ?n=

Представляет собой

Площадь заштрихованной ступенчатой фигуры.

Если существует

, То

Называют

Площадью криволинейной трапеции (геометрический смысл определенного интеграла).

11 Свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

1.

2.

3.

4. ??, ??R

5. ?A, b, c?r, если все три интеграла существуют, то

6.

– формула Ньютона-Лейбница.

12 8.5 Методы вычисления определенных интегралов

8.5 Методы вычисления определенных интегралов

1. Метод подстановки

(1)

Пример:

13 2. Метод замены переменной

2. Метод замены переменной

(2)

Пример:

14 Важным в формулах (1) и (2) является то, что одновременно с заменой

Важным в формулах (1) и (2) является то, что одновременно с заменой

подынтегрального выражения изменяются соответствующим образом и пределы интегрирования.

3. Интегрирование по частям

Пример:

15 8.6 Применение определенного интеграла

8.6 Применение определенного интеграла

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), прямыми х = a, x = b и осью Ох находится по формуле

При f(x)?0 и

При f(x)?0 ?х?[a, b].

16 Если криволинейная трапеция ограничена кривыми y = f1(x) и y = f2(x),

Если криволинейная трапеция ограничена кривыми y = f1(x) и y = f2(x),

причем f1(x) ? f2(x) на [a, b], то

17 Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х и у = 2-х2

Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х и у = 2-х2

У = х

У = 2-х2

В данном случае функции f2(x) = 2-х2 и f1(x) = х пересекаются при х1=-2 и х2=1. Следовательно,

x

-2

1

x

0

1

-1

2

-2

y

-2

1

y

2

1

1

-2

-2

«8 Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/8-integrirovanie-irratsionalnykh-i-trigonometricheskikh-vyrazhenij-208282.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Уравнения > 8 Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений