Числовая последовательность и её предел

Числовая последовательность и её предел

Сходимость последовательности

Ограниченная последовательность

Определение.

Числовая последовательность

Ограниченная сверху

Ограниченная снизу

Ограниченная

Примеры

Ограниченная сверху

Ограниченная снизу

Ограниченная

Ограниченная

Неограниченная

Определение.

Неограниченная

Пример.

Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности

Определение.

Бесконечно большая

Бесконечно малая

Определение

Утверждение

Ограниченная, то

Если

Бесконечно малая и

Бесконечно малая

Пример.

Утверждение

Обратное неверно.

Теорема 4 (об ограниченности сходящейся последовательности)

Доказательство:

A

(

)

Ограниченность последовательности является необходимым условием

сходимости, но не достаточным.

Пример.

Монотонные последовательности

Число е.

Определение

Последовательность

Невозрастающая

Неубывающая

Возрастающая

Убывающая

Монотонная, если она

Неубывающая или

Невозрастающая

Утверждение

1.Неубывающая последовательность ограничена, если она ограничена сверху.

2.Невозрастающая последовательность ограничена, если она ограничена снизу.

Доказательство:

1)

2)

Теорема

Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Ограниченная

Неубывающая

Докажем,что

Для невозрастающей ограниенной

Утверждение

Монотонность не является необходимым условием сходимости

Пример.

Немонотонная, но

Принцип вложенных отрезков

Следствие .

Пусть задана последовательность отрезков

Тогда

Пример

Монотонно возрастает

Ограниченная

1 –точная верхняя грань

Число e

-неравенство Бернулли

Ограничена снизу 2

Монотонная и ограниченная снизу

Теорема Больцано-Вейерштрасса и ее следствия

Определение

Подпоследовательностью для

Называется бесконечное подмножество

Элементов данной последовательности (

.....)

Пример

Подпоследовательность четных чисел;

Подпоследовательность чисел, дающих в остатке 1 при делении на 3.

Определение 2 Число

Называется частичным пределом данной последовательности

, Если

Ее подпоследовательность

,Сходящаяся к

, Т.Е.

Пример.

Теорема (Больцано-Вейерштрасса): Любая ограниченная последовательность

содержит сходящуюся подпоследовательность Или Любая ограниченная последовательность имеет по меньшей мере один конечный частичный предел.

Доказательство:

Ограниченная

-Содержит бесконечное множество

-Содержит бесконечное множество

Подпоследовательность

Последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю.

Следствия: Следствие 1. Любое бесконечное подмножество ограниченной

последовательности имеет частичный предел. Следствие 2. Если все частичные пределы последовательности одинаковы и равны а, то она сходится к

, Т.Е.

Следствие 3. Последовательность, для которых

Хотя бы два различных частичных предела, расходящаяся.

Пример.

Расходящаяся последовательность

Теорема 2 (критерий Коши)

- фундаментальная, если удовлетворяет условию Коши