Презентация на тему «Числовые последовательности»

Числовые последовательности

Учитель математики МАОУ СОШ № 29 Стрыгина Галина Петровна

Числовая последовательность

Рассмотрим ряд натуральных чисел N: 1, 2, 3, …, n – 1, n, п + 1, … Функцию y = f(x), x ? N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или y1, y2, …, yn, … или {уn}. Величина уn называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой уn = f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена.

Способы задания последовательностей

Перечислением членов последовательности (словесно). Последовательность простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; … Заданием аналитической формулы. Арифметическая прогрессия: an = a1 + (n – 1)d Заданием рекуррентной формулы. Геометрическая прогрессия: bn + 1 = bn ? q

Числовая последовательность задана формулой

An =2n+3 заполните таблицу

a1

a2

a3

a4

a5

Числовая последовательность задана формулой

An =n(n-2) заполните таблицу

a1

a2

a3

a4

a5

Числовая последовательность задана рекуррентной формулой

An+1 = 4an – 1 заполните таблицу

a1

a2

a3

a4

a5

Примеры числовых последовательностей

1, 2, 3, 4, 5, … – ряд натуральных чисел; 2, 4, 6, 8, 10, … – ряд чётных чисел; 1, 8, 27, 64, 125, … – ряд кубов натуральных чисел; 5, 10, 15, 20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5; 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... – ряд вида 1/n, где n?n; и т.Д.

Еще одна последовательность

Дана вот такая нехитрая последовательность чисел: 4, 3, 3, 5, 4, 4, 3, 5... Какое следующее число в этом ряду и по какому принципу расположены числа?

Ответ: Запишем числа, начиная с нуля, на английском языке: zero 4 one 3 two 3 three 5 four 4 five 4 six 3 seven 5 Количество букв в этих словах и образует данную последовательность. Следующее число 5 (eight)

Нижний ряд

Какое число должно стоять вместо вопросительного знака? По какому принципу расположены числа в нижнем ряду? 4 5 6 7 8 9 61 52 63 94 46 ?

Ответ: 18. Числа нижнего ряда являются квадратами чисел верхнего ряда с переставленными цифрами.

Детская задачка

Если 736 - 1 308 - 3 144 - 0 240 - 1 835 - 2, то что тогда 688 - ?

Ответ: 5. Считаем число колечек в цифрах: 736 - 1 колечко: 6 308 - 3 колечка: 08 144 - 0 колечек 240 - 1 колечко: 0 835 - 2 колечка: 8 ... 688 - 5 колечек: 688

Задача для первоклассников

При поступлении в школу детям дают задачку: КОРОВА - 2 ОВЦА - 2 СВИНЬЯ - 3 СОБАКА - 3 КОШКА - 3 УТКА - 3 КУКУШКА - 4 ЛОШАДЬ - 5 ПЕТУХ - 8 Что тогда ОСЛИК?

Ответ: 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными

Проверить закономерность

Посмотрите на таблицу: 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 Может быть, эта закономерность (сумма подряд стоящих нечетных чисел начиная с единицы равна квадрату их числа) сохраняется и дальше? Как это проверить?

Ответ: Нам нужно найти сумму всех нечетных чисел от 1 до 2n-1 и убедиться, что она равна n2. Это можно сделать разными способами. Мы предпочли геометрический. Возьмем квадрат из n2 клеток и закрасим клетки так, как это сделано на рисунке для n = 6. Квадрат при этом распадается на чередующиеся по цвету участки. Сосчитаем количество клеток в них, начиная с левого верхнего угла. Первый участок состоит из одной клетки, второй - из трех клеток, третий - из пяти и т. д., последний n-й участок состоит из 2n-1 клеток. Следовательно, число клеток в квадрате равно 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2n-1 Это убеждает нас, что нужное равенство выполнено всегда.

Ограниченность числовой последовательности

Последовательность {уn} ограниченна сверху, если существует число M такое, что для любого п выполняется неравенство уп ? М Число М называют верхней границей последовательности.

Пример: -1, -4, -9, -16, …, -п2, … - ограничена сверху 0.

Последовательность {уn} называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

Ограниченность числовой последовательности

Последовательность {уn} ограниченна снизу, если существует число m такое, что для любого п выполняется неравенство уп ? m Число m называют нижней границей последовательности.

Пример: 1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1.

Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью.

Последовательность {уn} называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

Возрастание и убывание числовой последовательности

Последовательность {уn} называют убывающей последовательностью, если каждый ее член меньше предыдущего: у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > …

Последовательность {уn} называют возрастающей последовательностью, если каждый ее член больше предыдущего: у1 < y2 < y3 < y4 < … < yn < yn+1 < …

Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п-1, … - возрастающая последовательность.

Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п–1), … - убывающая последовательность.

Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными