Числа
<<  Тема 5. Числовые функции Числовые и буквенные выражения  >>
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Числовые ряды
Числовые ряды
Если начиная с некоторого номера N для членов ряда справедливо
Если начиная с некоторого номера N для членов ряда справедливо
Для ряда
Для ряда
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РЯДОВ 1) Рассматривается в математическом
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РЯДОВ 1) Рассматривается в математическом
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
2. Основные свойства числовых рядов
2. Основные свойства числовых рядов
ТЕОРЕМА 2 (об арифметических действиях над сходящимися рядами) Если
ТЕОРЕМА 2 (об арифметических действиях над сходящимися рядами) Если
ТЕОРЕМА 3 (необходимый признак сходимости ряда)
ТЕОРЕМА 3 (необходимый признак сходимости ряда)
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
§15
§15
ТЕОРЕМА 3 (второй признак сравнения)
ТЕОРЕМА 3 (второй признак сравнения)
ЭТАЛОННЫЕ РЯДЫ, которые используются в признаках сравнения: а)
ЭТАЛОННЫЕ РЯДЫ, которые используются в признаках сравнения: а)
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
ТЕОРЕМА 4 (признак Даламбера)
ТЕОРЕМА 4 (признак Даламбера)
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
ТЕОРЕМА 5 (признак Коши)
ТЕОРЕМА 5 (признак Коши)
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
ТЕОРЕМА 6 (интегральный признак Коши)
ТЕОРЕМА 6 (интегральный признак Коши)
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
§ 2. Сходимость знакопеременных рядов
§ 2. Сходимость знакопеременных рядов
ТЕОРЕМА 1 (признак сходимости Лейбница)
ТЕОРЕМА 1 (признак сходимости Лейбница)
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Замечания
Замечания
2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 1) ТЕОРЕМА 3. Если ряды
СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 1) ТЕОРЕМА 3. Если ряды
2) ТЕОРЕМА 4 (о перестановке членов ряда)
2) ТЕОРЕМА 4 (о перестановке членов ряда)
ТЕОРЕМА 5 (о сходимости произведения рядов)
ТЕОРЕМА 5 (о сходимости произведения рядов)
ТЕОРЕМА 6 (признак Дирихле)
ТЕОРЕМА 6 (признак Дирихле)

Презентация: «Числовые ряды». Автор: Пахомова Е.Г.. Файл: «Числовые ряды.ppt». Размер zip-архива: 952 КБ.

Числовые ряды

содержание презентации «Числовые ряды.ppt»
СлайдТекст
1 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:

Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:

Числовые ряды

Лектор Кабанова Л.И.

2014 г.

2 Числовые ряды

Числовые ряды

§1 . Основные понятия теории числовых рядов 1. Основные определения Пусть задана числовая последовательность {un} ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение вида u1 + u2 + … + un + … = называют числовым рядом. При этом, члены последовательности {un} называются члена- ми ряда (1-м, 2-м, …, n-м (общим членом) )

3 Если начиная с некоторого номера N для членов ряда справедливо

Если начиная с некоторого номера N для членов ряда справедливо

равенство uN = uN + 1 = uN + 2 = … = 0 , то ряд называют конечным. В противном случае ряд называется бесконечным . Ряд ?un называют знакоположительным, если un ? 0 , ?n?? ; знакоотрицательным, если un ? 0 , ?n?? ; знакопостоянным, если он знакоположительный или знакоотрицательный; знакопеременным, если он содержит бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.

4 Для ряда

Для ряда

un запишем последовательность S1 = u1 , S2 = u1 + u2 , … , Sn = u1 + u2 + … + un , … Числа S1, S2 , …, Sn называют частичными суммами ряда ?un (1-й, 2-й, …, n-й ). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд ?un называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм { Sn }. При этом, число называют суммой ряда ?un . Если то говорят, что ряд ?un расходится и не имеет суммы. Если S – сумма ряда ?un , то записывают: ?un = S .

5 ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РЯДОВ 1) Рассматривается в математическом

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РЯДОВ 1) Рассматривается в математическом

анализе: Определить, сходится или расходится заданный ряд (говорят: «исследовать ряд на сходимость») 2) Рассматривается в вычислительной математике: Найти сумму сходящегося ряда. Найти точное значение суммы S сходящегося ряда удается редко. Обычно полагают S ? Sn где n выбирают так, чтобы | Rn | = | S – Sn | < ? (? заранее задано). Число Rn называют остатком ряда.

6 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
7 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
8 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
9 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
10 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
11 2. Основные свойства числовых рядов

2. Основные свойства числовых рядов

ТЕОРЕМА 1. Поведение ряда относительно сходимости не изменится, если добавить (отбросить) конечное число членов ряда. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1) Произведением ряда ?un на число c?? называется ряд ?c ? un . 2) Суммой (разностью) рядов ?un и ?vn называется ряд ?(un + vn) [ ?(un – vn) ]. ОБОЗНАЧАЮТ: c ? ?un – произведение ряда на число c ; ?un ? ? vn – сумма (разность) рядов ?un и ?vn

12 ТЕОРЕМА 2 (об арифметических действиях над сходящимися рядами) Если

ТЕОРЕМА 2 (об арифметических действиях над сходящимися рядами) Если

ряд ?un сходится и его сумма равна U , ряд ?vn сходится и его сумма равна V , то а) ряд ?cun – сходится и его сумма равна cU (?c??); б) ряд ?(un ? vn) – сходится и его сумма равна U ? V . СЛЕДСТВИЯ теоремы 2. 1) Если ?un расходится, то ?c?0 (c??) ряд ?cun – тоже расходится. 2) Если ряд ?un сходится , а ряд ?vn расходится, то ряд ?(un ? vn) – расходится . .

13 ТЕОРЕМА 3 (необходимый признак сходимости ряда)

ТЕОРЕМА 3 (необходимый признак сходимости ряда)

Если ряд ?un сходится, то СЛЕДСТВИЕ теоремы 3 (достаточное условие расходимости ряда) Если , то ряд ?un расходится. ТЕОРЕМА 4 (закон ассоциативности для сходящихся рядов). Пусть ряд ?un сходится и его сумма равна U Если сгруппировать члены этого ряда, НЕ ИЗМЕНЯЯ ИХ ПОРЯДКА, то полученный в результате этого ряд будет сходиться и иметь ту же сумму U.

14 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
15 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
16 §15

§15

Сходимость знакоположительных рядов

ЛЕММА 1 (необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда). Знакоположительный ряд сходится ? последовательность его частичных сумм ограничена. ТЕОРЕМА 2 (первый признак сравнения). Пусть ?un и ?vn – знакоположительные ряды, причем un ? vn , ?n?N (N??). Тогда 1) если ряд ?vn сходится, то и ряд ?un тоже сходится; 2) если ряд ?un расходится, то и ряд ?vn тоже расходится.

17 ТЕОРЕМА 3 (второй признак сравнения)

ТЕОРЕМА 3 (второй признак сравнения)

Пусть ?un и ?vn – знакоположительные ряды. Если при n ? ? существует конечный и отличный от нуля предел отношения их общих членов, т.е. то ряды ?un и ?vn ведут себя одинаково по отношению к сходимости.

18 ЭТАЛОННЫЕ РЯДЫ, которые используются в признаках сравнения: а)

ЭТАЛОННЫЕ РЯДЫ, которые используются в признаках сравнения: а)

гармонический ряд – расходится; б) обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле) в) ряд геометрической прогрессии

19 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
20 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
21 ТЕОРЕМА 4 (признак Даламбера)

ТЕОРЕМА 4 (признак Даламбера)

Пусть ?un – знакоположительный ряд и существует Тогда а) если ? < 1 , то ряд сходится; б) если ? > 1 , то ряд расходится; в) если ? = 1 , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

22 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
23 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
24 ТЕОРЕМА 5 (признак Коши)

ТЕОРЕМА 5 (признак Коши)

Пусть ?un – знакоположительный ряд и существует Тогда а) если ? < 1 , то ряд сходится; б) если ? > 1 , то ряд расходится; в) если ? = 1 , то вопрос о сходимости ряда остается открытым. Замечания. 1) В обеих теоремах 4 и 5 случай ? = ? включается в ? > 1 . 2) В ходе доказательства теорем 4 и 5 показывается, что если ? > 1 , то

25 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
26 ТЕОРЕМА 6 (интегральный признак Коши)

ТЕОРЕМА 6 (интегральный признак Коши)

Пусть ?un – знакоположительный ряд, f(x) – непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая на [c;+ ?) (где c?? , c ? 1) функция такая, что f(n) = un (для любого n = 1,2,3 …). Тогда несобственный интеграл и ряд ведут себя одинаково относительно сходимости.

27 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
28 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
29 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
30 § 2. Сходимость знакопеременных рядов

§ 2. Сходимость знакопеременных рядов

1. Знакочередующиеся ряды ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки, называется знакочереду- ющимся. Будем считать, что 1-й член знакочередующегося ряда положителен. ? знакочередующийся ряд имеет вид: u1 – u2 + u3 – u4 + … (–1)n + 1un + … =?(–1)n + 1 ? un , (1) где un > 0 , ?n?? .

31 ТЕОРЕМА 1 (признак сходимости Лейбница)

ТЕОРЕМА 1 (признак сходимости Лейбница)

Пусть знакочередующийся ряд ?(–1)n + 1 ? un удовлетворяет условиям: 1) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т.е. u1 > u2 > … >un > … , 2) Тогда ряд ?(–1)n + 1 ? un сходится, причем его сумма S поло- жительна и не превосходит первого члена ряда.

32 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
33 Замечания

Замечания

1) Ряд ?(–1)n + 1 ? un будет сходиться и в том случае, когда условие 1 теоремы Лейбница выполняется, начиная с некоторого номера N. Но утверждение о сумме ряда в этом случае не будет иметь места. 2) Если ряд ?(–1)n + 1 ? un удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то погрешность, получаемая при замене суммы ряда S его частичной суммой Sn, не превосходит модуля первого отбрасываемого члена, т.е. | Rn | = | S – Sn | < un + 1 3) Если ряд ?(–1)n + 1 ? un не удовлетворяет 2-му условию теоремы Лейбница, то он расходится (т.к. не выполнено необходимое условие сходимости). Если ряд ?(–1)n + 1 ? un удовлетворяет 2-му условию теоре- мы Лейбница, но не удовлетворяет ее 1-му условию, то о сходимости ряда ничего сказать нельзя.

34 2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов

2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов

Пусть ?un – знакопеременный ряд. Рассмотрим ряд ?| un | . ТЕОРЕМА 2 (признак абсолютной сходимости). Если ряд ?| un | сходится, то ряд ?un тоже сходится. Замечание. Признак абсолютной сходимости достаточный, но не необходимый. Т.е. существуют сходящиеся знакопере- менные ряды ?un , для которых ?| un | – расходится. ОПРЕДЕЛНИЕ. Ряд ?un называют абсолютно сходящимся, если его ряд модулей ?| un | сходится. Если ряд ?un – сходится, а его ряд модулей ?|un| – расходится, то ряд ?un называют условно сходящимся.

35 Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема:
36 СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 1) ТЕОРЕМА 3. Если ряды

СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 1) ТЕОРЕМА 3. Если ряды

un и ?vn сходятся абсолютно, то ряд ?(?un ? ?vn) тоже сходится абсолютно (??,???). СЛЕДСТВИЕ теоремы 3. Если ряд ?un – сходятся абсолютно, ?vn – сходятся условно, то ряд ?(?un ? ?vn) сходится условно (??,???, ? ? 0 ) .

37 2) ТЕОРЕМА 4 (о перестановке членов ряда)

2) ТЕОРЕМА 4 (о перестановке членов ряда)

а) Если ряд ?un сходится абсолютно, то ряд, полученный из него в результате перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму. б) Если ряд ?un сходится условно, то можно так переставить члены ряда, что сумма получившегося ряда будет равна любому, заранее заданному числу. Более того, можно так переставить члены ряда, что получившийся ряд будет расходиться (теорема Римана).

38 ТЕОРЕМА 5 (о сходимости произведения рядов)

ТЕОРЕМА 5 (о сходимости произведения рядов)

Пусть ряды ?un и ?vn сходятся абсолютно и их суммы равны U и V соответственно. Тогда ряд ?un ? ?vn тоже сходится абсолютно и его сумма равна U ? V .

39 ТЕОРЕМА 6 (признак Дирихле)

ТЕОРЕМА 6 (признак Дирихле)

Пусть 1) последовательность {an} монотонна и 2) последовательность частичных сумм ряда ?bn ограничена. Тогда ряд ? an ? bn – сходится . ТЕОРЕМА 7 (признак Абеля). Пусть 1) {an} монотонная и ограниченная; 2) ряд ?bn – сходится. Тогда ряд ? an ? bn – сходится

«Числовые ряды»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/chislovye-rjady-235317.html
cсылка на страницу

Числа

38 презентаций о числах
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды