Без темы
<<  Функции Клирингового центра Функции ПМП-консилиума по психолого-педагогическому сопровождению учащихся  >>
III
III
Пример 1. . Найти значение z в т. М(1; -1)
Пример 1. . Найти значение z в т. М(1; -1)
Пример 2. Найти область определения функции
Пример 2. Найти область определения функции
Частные производные
Частные производные
Аналогично, частной производной функции z = z(x, y) по аргументу y
Аналогично, частной производной функции z = z(x, y) по аргументу y
Из определения следует, что на момент дифференцирования функция z
Из определения следует, что на момент дифференцирования функция z
При дифференцировании полезна следующая таблица: xx' = 1, xy' = 0 yy'
При дифференцировании полезна следующая таблица: xx' = 1, xy' = 0 yy'
zy' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)y' = (x – const) = (x3)y' – (3x2y)y‘ +
zy' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)y' = (x – const) = (x3)y' – (3x2y)y‘ +
Полный дифференциал
Полный дифференциал
Пример
Пример
Эти 6 производных подставляются в (1) и (2):
Эти 6 производных подставляются в (1) и (2):
Частные производные высших порядков
Частные производные высших порядков
Порядок дифференцирования указан в индексе пи прочтении слева направо
Порядок дифференцирования указан в индексе пи прочтении слева направо
Вначале найдем частные производные первого порядка: z’x = (x2-2xy2)’x
Вначале найдем частные производные первого порядка: z’x = (x2-2xy2)’x
Экстремум функции нескольких переменных
Экстремум функции нескольких переменных
Находить экстремум согласно определению в общем случае бессмысленно
Находить экстремум согласно определению в общем случае бессмысленно
Точками экстремума являются лишь те из критических точек, в
Точками экстремума являются лишь те из критических точек, в
Рассмотрим в критической точке М(a; b) дискриминант
Рассмотрим в критической точке М(a; b) дискриминант
Пример
Пример
Производные существуют во всей области определения
Производные существуют во всей области определения
Тогда A=z’’xx(0; 2)=2, C=z’’yy(0; 2)=2, B=z’’xy(0; 2)=0
Тогда A=z’’xx(0; 2)=2, C=z’’yy(0; 2)=2, B=z’’xy(0; 2)=0
Функции нескольких переменных
Функции нескольких переменных

Презентация на тему: «Функции нескольких переменных». Автор: Оля. Файл: «Функции нескольких переменных.ppt». Размер zip-архива: 93 КБ.

Функции нескольких переменных

содержание презентации «Функции нескольких переменных.ppt»
СлайдТекст
1 III

III

Функции нескольких переменных.

Определение. Если каждой паре действительных чисел (x; y) из области D по определенному правилу ставится в соответствие только одно число z из области Е, то говорит, что на множестве D задана функция двух переменных z = z(x, y). Значение z(a; b) функции z = z (x, y) есть значение этой функции, вычисленное при x = a, y = b.

2 Пример 1. . Найти значение z в т. М(1; -1)

Пример 1. . Найти значение z в т. М(1; -1)

3 Пример 2. Найти область определения функции

Пример 2. Найти область определения функции

Такая функция вычисляется, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. 1 – x2 – y2 ? 0 ? x2 + y2 ? 1

Область есть указанный на рисунке круг.

4 Частные производные

Частные производные

Определение. Частной производной функции z = z(x, y) по аргументу x называется производная этой функции по x, при постоянном y. Обозначения:

5 Аналогично, частной производной функции z = z(x, y) по аргументу y

Аналогично, частной производной функции z = z(x, y) по аргументу y

называется производная этой функции по y при постоянном x. Обозначения:

6 Из определения следует, что на момент дифференцирования функция z

Из определения следует, что на момент дифференцирования функция z

является функцией одной переменной и, следовательно, при нахождении частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования функций одной переменной.

7 При дифференцировании полезна следующая таблица: xx' = 1, xy' = 0 yy'

При дифференцировании полезна следующая таблица: xx' = 1, xy' = 0 yy'

= 1, yx' = 0 cx' = 0, cy' = 0, c – const Примеры. z = x3 – 3x2y + 2y3 + 1, zx', zy' - ? zx' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)x' = (y – const) = (x3)x' – (3x2y)x' + (2y3)x' + 1x' = = 3x2 - 3y · (x2)x' + 0 + 0 = 3x2 – 6xy

8 zy' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)y' = (x – const) = (x3)y' – (3x2y)y‘ +

zy' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)y' = (x – const) = (x3)y' – (3x2y)y‘ +

(2y3)y' + 1y' = = 0 – 3x2 · yy' + 2(y3)y' + 0 = -3x2 + 6y2 2. z = xy, zx', zy' - ? zx' = (xy)x' = yxy-1, zy' = (xy)y' = xylnx (y – const) (x – const)

9 Полный дифференциал

Полный дифференциал

Пусть z=z(x, y), где x=x(u, v), y=y(u, v), u и v – независимые переменные. Тогда частные производные сложной функции z = z(x(u, v), y(u, v)) = f(u, v) находятся по формулам: (1) (2)

10 Пример

Пример

Найдем 6 частных производных, входящих в правые части равенств (1) и (2):

11 Эти 6 производных подставляются в (1) и (2):

Эти 6 производных подставляются в (1) и (2):

В данные выражения подставлять x(u, v) и y(u, v) и упрощать их необязательно. В каждом конкретном случае, когда необходимо вычислить z’u и z’v в т. М(х0; у0), рациональнее предварительно вычислять х и у в этой точке и полученные значения подставлять в (3) и (4).

12 Частные производные высших порядков

Частные производные высших порядков

Частными производными второго порядка функции z=z(x, y) называются частные производные от частных производных первого порядка.

13 Порядок дифференцирования указан в индексе пи прочтении слева направо

Порядок дифференцирования указан в индексе пи прочтении слева направо

Последние две производные отличаются только порядком, называются смешанными и в случае их непрерывности равны.

Пример. z = x2-2xy2 Найти все частные производные 2-ого порядка и проверить равенство z’’xy = z’’yx

14 Вначале найдем частные производные первого порядка: z’x = (x2-2xy2)’x

Вначале найдем частные производные первого порядка: z’x = (x2-2xy2)’x

= 2x-2y2, z’y = (x2-2xy2)’y = -4xy Теперь z’’xx = (2x-2y2)’x = 2, z’’yy = (-4xy)’y = -4x z’’xy = (2x-2y2)’y = -4y, z’’yx = (-4xy)’x = -4y Нетрудно видеть, что z’’xy = z’’yx Выполнение этого условия может служить критерием правильности нахождения частных производных 1-ого порядка и смешанных – 2-ого порядка.

15 Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Точка M(a; b) называется точкой максимума (минимума) функции Z(x , y), если существует такая окрестность точки M, что для всех других точек из этой окрестности Z(x, y)<Z(a, b) (Z(x, y)>Z(a, b)) Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума. Соответствующее значение функции есть экстремум.

16 Находить экстремум согласно определению в общем случае бессмысленно

Находить экстремум согласно определению в общем случае бессмысленно

Выделить из области определения функции конечное число точек, претендующих на точки экстремума, помогает необходимое условие экстремума. «Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки из области определения функции, в которых все ее частные производные 1-ого порядка обращаются в нуль, или не существует хотя бы одна из них». Выделить из множества критических точек точки экстремума позволяют достаточные условия экстремума. Укажем на 2 из них.

17 Точками экстремума являются лишь те из критических точек, в

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, в

окрестности которых приращение функции ?Z = Z(x, y) - Z(a, b) не меняет знака. При этом, если ?Z>0 (?Z<0), то критическая точка есть точка минимума (максимума).

18 Рассмотрим в критической точке М(a; b) дискриминант

Рассмотрим в критической точке М(a; b) дискриминант

=АС-В2, где А=z’’xx(a; b), C=z’’yy(a; b), B=z’’xy(a; b), или B=z’’yx(a; b). Тогда: 1) если ?>0, то М(a; b) - точка экстремума, а именно точка максимума при А<0 (или C<0) и точка минимума при A>0 (или C>0); 2) если ?<0, то в точке М экстремума нет; 3) если ?=0, то требуется дополнительное исследование.

19 Пример

Пример

Найти экстремум функции z=y2-4y+x2 Найдем критические точки. Выпишем частные производные 1-ого порядка: z’x=(y2-4y+x2)’x=2x z’y=(y2-4y+x2)’y=2y-4 Приравниваем их к нулю:

- Критическая точка

20 Производные существуют во всей области определения

Производные существуют во всей области определения

Найдем дискриминант ?=АС-В2. Для этого вначале вычислим частные производные 2-ого порядка: z’xx=(2x)’x=2 z’yy=(2y-4)’y=2 Из равных смешанных производных находят ту, которая получается проще, например, z’’xy: z’’xy=(2x)’y=0

21 Тогда A=z’’xx(0; 2)=2, C=z’’yy(0; 2)=2, B=z’’xy(0; 2)=0

Тогда A=z’’xx(0; 2)=2, C=z’’yy(0; 2)=2, B=z’’xy(0; 2)=0

Дискриминант ?=2·2-02=4>0 => М(0; 2) точка экстремума. A=2>0 => М(0; 2) - точка минимума. Тогда zmin = z(0; 2) = 22 - 4·2 + 0 = -4 Ответ: zmin=-4

22 Функции нескольких переменных
«Функции нескольких переменных»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/funktsii-neskolkikh-peremennykh-121249.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Без темы > Функции нескольких переменных