Свойства функции
<<  Функция и её свойства Нейрон, его свойства и функции  >>
Функция и ее свойства
Функция и ее свойства
Определение
Определение
и пишут или При этом множество X называется областью определения
и пишут или При этом множество X называется областью определения
Множество Y называется множеством значений функции
Множество Y называется множеством значений функции
f
f
Если каждому значению x ставится в соответствие одно единственное
Если каждому значению x ставится в соответствие одно единственное
Если каждому значению x ставится в соответствие несколько определенных
Если каждому значению x ставится в соответствие несколько определенных
Способы задания функции
Способы задания функции
1. Аналитический
1. Аналитический
Например
Например
2. Графический
2. Графический
y
y
Не для каждой функции ее график можно изобразить на рисунке
Не для каждой функции ее график можно изобразить на рисунке
3. Табличный
3. Табличный
Основные элементарные функции
Основные элементарные функции
1. (При постоянном m) – степенная функция; 2. (При , ) – показательная
1. (При постоянном m) – степенная функция; 2. (При , ) – показательная
4. , , , , , – Тригонометрические функции
4. , , , , , – Тригонометрические функции
Сложная функция
Сложная функция
Эта функция, определяемая соответствием , называется сложной функцией,
Эта функция, определяемая соответствием , называется сложной функцией,
суперпозиций каких-либо функций, так и без их помощи
суперпозиций каких-либо функций, так и без их помощи
Например, функцию можно рассматривать как суперпозицию следующих
Например, функцию можно рассматривать как суперпозицию следующих
Элементарной функцией называется всякая функция, которая получается из
Элементарной функцией называется всякая функция, которая получается из
Обратная функция
Обратная функция
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно биссектрисы
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно биссектрисы
Свойства функции
Свойства функции
1. Четность
1. Четность
2. Нечетность
2. Нечетность
График четной функции симметричен относительно оси Оу (ось симметрии)
График четной функции симметричен относительно оси Оу (ось симметрии)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат
График нечетной функции симметричен относительно начала координат
3. Периодичность
3. Периодичность
Монотонность
Монотонность
Определение
Определение
Другими словами ,
Другими словами ,
Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых
Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых
Если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на некотором
Если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на некотором
План описания свойств элементарной функции
План описания свойств элементарной функции
0. Название вида функции
0. Название вида функции
3. Если и , то: а) свойство четности, нечетности б) если определена на
3. Если и , то: а) свойство четности, нечетности б) если определена на
4. Интервалы постоянного знака а) xi – нули б) в)
4. Интервалы постоянного знака а) xi – нули б) в)
5. Характеристика линии (График) а) координаты вершины, центра
5. Характеристика линии (График) а) координаты вершины, центра
6. Интервалы монотонности изменения
6. Интервалы монотонности изменения
Степенная функция с целым показателем
Степенная функция с целым показателем
Целый положительный показатель
Целый положительный показатель
4. не периодическая 5. парабола нечетного порядка четного порядка 6
4. не периодическая 5. парабола нечетного порядка четного порядка 6
7.
7.
Целый отрицательный показатель
Целый отрицательный показатель
Функция и ее свойства
Функция и ее свойства
(0; 0) ось симметрии центр симметрии ветви в 1 и 2 четвертях 1 и 3
(0; 0) ось симметрии центр симметрии ветви в 1 и 2 четвертях 1 и 3
Степенная функция с рациональным показателем
Степенная функция с рациональным показателем
Степенная функция с положительным рациональным показателем имеет вид ,
Степенная функция с положительным рациональным показателем имеет вид ,
1. 2. 3. 4. Ветвь параболы (0; 0) - вершина
1. 2. 3. 4. Ветвь параболы (0; 0) - вершина
Ось симметрии параболы: Если , ветвь - вверх Если , ветвь - вправо 5
Ось симметрии параболы: Если , ветвь - вверх Если , ветвь - вправо 5
Числитель - четный; знаменатель- нечетный 1. 2. 3. 4
Числитель - четный; знаменатель- нечетный 1. 2. 3. 4
5. парабола или ветви параболы, (0; 0) – вершина
5. парабола или ветви параболы, (0; 0) – вершина
Числитель и знаменатель нечетные 1. 2. 3. 4. 5. Парабола нечетного
Числитель и знаменатель нечетные 1. 2. 3. 4. 5. Парабола нечетного
(0; 0) - центр симметрии направление ветвей - вверх и вниз - вправо и
(0; 0) - центр симметрии направление ветвей - вверх и вниз - вправо и
Степенная функция с отрицательным рациональным показателем
Степенная функция с отрицательным рациональным показателем
четный знаменатель, нечетный числитель 1. 2. 3. Нулей нет
четный знаменатель, нечетный числитель 1. 2. 3. Нулей нет
4. Ветвь гиперболы центр симметрии асимптоты 5
4. Ветвь гиперболы центр симметрии асимптоты 5
Иррациональные функции
Иррациональные функции
4.
4.
Рассмотреть свойства самостоятельно
Рассмотреть свойства самостоятельно

Презентация: «Функция и ее свойства». Автор: Евгений С. Курышев. Файл: «Функция и ее свойства.ppt». Размер zip-архива: 320 КБ.

Функция и ее свойства

содержание презентации «Функция и ее свойства.ppt»
СлайдТекст
1 Функция и ее свойства

Функция и ее свойства

2 Определение

Определение

Пусть X и Y – некоторые множества. Если каждому по некоторому закону f поставлено в соответствие определенное действительное число , то говорят, что на множестве X задана функция со значениями в Y.

3 и пишут или При этом множество X называется областью определения

и пишут или При этом множество X называется областью определения

функции, а x при этом называется независимой переменной или аргументом, f называется законом (правилом), по которому устанавливается соответствие.

4 Множество Y называется множеством значений функции

Множество Y называется множеством значений функции

Таким образом, функция задана, если заданы: 1) область определения; 2) правило f, по которому ставится соответствие.

5 f

f

x1

f

y1

x2

y2

Y

X

6 Если каждому значению x ставится в соответствие одно единственное

Если каждому значению x ставится в соответствие одно единственное

определенное значение y, то функция называется однозначной. Если аргумент x может принимать только действительные значения, то функция y называется функцией действительной переменной x.

7 Если каждому значению x ставится в соответствие несколько определенных

Если каждому значению x ставится в соответствие несколько определенных

значений y, то функция называется многозначной.

8 Способы задания функции

Способы задания функции

9 1. Аналитический

1. Аналитический

Функция называется заданной аналитически, если она определяется с помощью формулы, указывающей, какие действия надо произвести над каждым значением x, чтобы получить соответствующее значение y.

10 Например

Например

, ,

11 2. Графический

2. Графический

Функция называется заданной графически, если задан ее график, т. е. множество точек на плоскости xОy, абсциссы которых принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

12 y

y

О

x

13 Не для каждой функции ее график можно изобразить на рисунке

Не для каждой функции ее график можно изобразить на рисунке

Например, функция Дирихле не допускает такого изображения. Функция D(x) задана на всей числовой оси, а множество ее значений состоит из двух чисел 1 и 0.

14 3. Табличный

3. Табличный

Функция называется заданной таблично, если приведена таблица, в которой указаны численные значения функции для некоторых значений аргумента. При табличном задании функции ее область определения состоит только из значений перечисленных в таблице.

15 Основные элементарные функции

Основные элементарные функции

16 1. (При постоянном m) – степенная функция; 2. (При , ) – показательная

1. (При постоянном m) – степенная функция; 2. (При , ) – показательная

(экспоненциальная) функция; 3) (при , ) – логарифмическая функция;

17 4. , , , , , – Тригонометрические функции

4. , , , , , – Тригонометрические функции

5. , , , – Обратные тригонометрические функции.

18 Сложная функция

Сложная функция

(функция от функции). Пусть заданы две функции , причем область задания функции F содержит область значений функции f , тогда каждому x из области определения функции f соответствует z такое, , где .

19 Эта функция, определяемая соответствием , называется сложной функцией,

Эта функция, определяемая соответствием , называется сложной функцией,

или суперпозицией функций f и F. Сложная функция отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ ее задания. Одна и та же функция может быть задана как с помощью

20 суперпозиций каких-либо функций, так и без их помощи

суперпозиций каких-либо функций, так и без их помощи

Например, сложная функция , , заданная с помощью суперпозиций показательной и логарифмической функций, может быть задана и без этой суперпозиции .

21 Например, функцию можно рассматривать как суперпозицию следующих

Например, функцию можно рассматривать как суперпозицию следующих

функций , , , ,

22 Элементарной функцией называется всякая функция, которая получается из

Элементарной функцией называется всякая функция, которая получается из

основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа операций взятия функции от функции.

23 Обратная функция

Обратная функция

Пусть задана функция , Если принять зависимую переменную y за аргумент, а независимую переменную x за функцию, то полученная функция называется обратной по отношению к функции .

24 Графики прямой и обратной функций симметричны относительно биссектрисы

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно биссектрисы

первого и третьего координатных углов.

y

O

x

25 Свойства функции

Свойства функции

26 1. Четность

1. Четность

Функция называется четной, если для любого x из области определения следует, что: 1) 2)

27 2. Нечетность

2. Нечетность

Функция называется нечетной, если для любого x из области определения следует, что: 1) 2)

28 График четной функции симметричен относительно оси Оу (ось симметрии)

График четной функции симметричен относительно оси Оу (ось симметрии)

29 График нечетной функции симметричен относительно начала координат

График нечетной функции симметричен относительно начала координат

(Центр симметрии)

30 3. Периодичность

3. Периодичность

Функция называется периодической, если для любого x существует такое число Т , что 1) 2) . Т - наименьший положительный период.

31 Монотонность

Монотонность

32 Определение

Определение

Функция называется возрастающей на некотором промежутке , если для любых двух значений x1 и x2 из этого промежутка из неравенства

33 Другими словами ,

Другими словами ,

х – приращение арг. , ?у – приращение ф. Т.Е. - Возрастает

34 Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых

двух значений из этого промежутка из неравенства , т. е. ,

35 Если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на некотором

Если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на некотором

промежутке, то говорят, что она на этом промежутке монотонна.

36 План описания свойств элементарной функции

План описания свойств элементарной функции

37 0. Название вида функции

0. Название вида функции

Преобразование правила f (Канонический вид) 1. Область определения (существования) функции 2. Множество значений функции

38 3. Если и , то: а) свойство четности, нечетности б) если определена на

3. Если и , то: а) свойство четности, нечетности б) если определена на

R, то свойство периодичности и найти наименьший положительный период

39 4. Интервалы постоянного знака а) xi – нули б) в)

4. Интервалы постоянного знака а) xi – нули б) в)

40 5. Характеристика линии (График) а) координаты вершины, центра

5. Характеристика линии (График) а) координаты вершины, центра

симметрии б) уравнение осей симметрии в) уравнения асимптот г) следы графика на осях д) другие характеристические точки е) изображение эскиза графика

41 6. Интервалы монотонности изменения

6. Интервалы монотонности изменения

42 Степенная функция с целым показателем

Степенная функция с целым показателем

43 Целый положительный показатель

Целый положительный показатель

1. 2. 3.

44 4. не периодическая 5. парабола нечетного порядка четного порядка 6

4. не периодическая 5. парабола нечетного порядка четного порядка 6

Вершина (0; 0) Вершина (0; 0) (0; 0) Центр симметрии - ось симметрии ветви в 1 и 3 четвертях 1 и 2 четвертях

45 7.

7.

46 Целый отрицательный показатель

Целый отрицательный показатель

1. 2. 3. 4. Кривая - гипербола а) асимптоты ,

47 Функция и ее свойства
48 (0; 0) ось симметрии центр симметрии ветви в 1 и 2 четвертях 1 и 3

(0; 0) ось симметрии центр симметрии ветви в 1 и 2 четвертях 1 и 3

четвертях

49 Степенная функция с рациональным показателем

Степенная функция с рациональным показателем

50 Степенная функция с положительным рациональным показателем имеет вид ,

Степенная функция с положительным рациональным показателем имеет вид ,

, где p- числитель, нечетный; q- знаменатель, четный

51 1. 2. 3. 4. Ветвь параболы (0; 0) - вершина

1. 2. 3. 4. Ветвь параболы (0; 0) - вершина

52 Ось симметрии параболы: Если , ветвь - вверх Если , ветвь - вправо 5

Ось симметрии параболы: Если , ветвь - вверх Если , ветвь - вправо 5

53 Числитель - четный; знаменатель- нечетный 1. 2. 3. 4

Числитель - четный; знаменатель- нечетный 1. 2. 3. 4

54 5. парабола или ветви параболы, (0; 0) – вершина

5. парабола или ветви параболы, (0; 0) – вершина

Ось симметрии графика - ветви вверх - ветви вправо и влево ось симметрии 6.

55 Числитель и знаменатель нечетные 1. 2. 3. 4. 5. Парабола нечетного

Числитель и знаменатель нечетные 1. 2. 3. 4. 5. Парабола нечетного

порядка

56 (0; 0) - центр симметрии направление ветвей - вверх и вниз - вправо и

(0; 0) - центр симметрии направление ветвей - вверх и вниз - вправо и

влево 5.

57 Степенная функция с отрицательным рациональным показателем

Степенная функция с отрицательным рациональным показателем

58 четный знаменатель, нечетный числитель 1. 2. 3. Нулей нет

четный знаменатель, нечетный числитель 1. 2. 3. Нулей нет

59 4. Ветвь гиперболы центр симметрии асимптоты 5

4. Ветвь гиперболы центр симметрии асимптоты 5

60 Иррациональные функции

Иррациональные функции

Функции вида 1. 2. , 3. ,

61 4.

4.

62 Рассмотреть свойства самостоятельно

Рассмотреть свойства самостоятельно

Построить графики функций: 1. 2. 3. 4.

«Функция и ее свойства»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/funktsija-i-ee-svojstva-249065.html
cсылка на страницу

Свойства функции

23 презентации о свойствах функции
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды