Без темы
<<  Функция контроля Функция организации находит свое выражение в форме организационной структуры компании  >>
Математический анализ Тема: Функция нескольких переменных
Математический анализ Тема: Функция нескольких переменных
ГЛАВА III
ГЛАВА III
Называют: X – область определения функции (Обозначают: D(u) ), x1, x2,
Называют: X – область определения функции (Обозначают: D(u) ), x1, x2,
?(x,y) 
?(x,y) 
Если M1(x1), M2(x2)
Если M1(x1), M2(x2)
Пусть M0(x01, x02 , …, x0n)
Пусть M0(x01, x02 , …, x0n)
?-окрестность точки M0
?-окрестность точки M0
Замечания
Замечания
3. Непрерывность функции нескольких переменных
3. Непрерывность функции нескольких переменных
§9
§9
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Замечания
Замечания
Соответствие (и ) является функцией, определенной на D1(D2)
Соответствие (и ) является функцией, определенной на D1(D2)
Фактически, – это обыкновенная про- изводная функции z = f(x,y),
Фактически, – это обыкновенная про- изводная функции z = f(x,y),
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ частных производных функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ частных производных функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
§10
§10
Обозначения
Обозначения
Частные производные второго порядка в общем случае являют- ся
Частные производные второго порядка в общем случае являют- ся
Частные производные высших порядков, взятые по разным аргументам,
Частные производные высших порядков, взятые по разным аргументам,
§11
§11
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Напомним: для дифференцируемой функции y = f(x) справед- ливы
Напомним: для дифференцируемой функции y = f(x) справед- ливы
Замечания
Замечания
ПРИМЕР
ПРИМЕР
2. Дифференциал ФНП
2. Дифференциал ФНП
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ полного дифференциала функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ полного дифференциала функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Прямая, проходящая через точку P0 перпендикулярно касатель- ной
Прямая, проходящая через точку P0 перпендикулярно касатель- ной
2) если поверхность задана уравнением F(x,y,z) = 0, F(x,y,z) –
2) если поверхность задана уравнением F(x,y,z) = 0, F(x,y,z) –
Пусть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0)
Пусть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0)
Функция нескольких переменных
Функция нескольких переменных
Очевидно, что соответствие (x0,y0,
Очевидно, что соответствие (x0,y0,
3. Дифференциалы высших порядков ФНП
3. Дифференциалы высших порядков ФНП
Продолжая далее этот процесс, определим дифференциал n-го порядка
Продолжая далее этот процесс, определим дифференциал n-го порядка
Замечание
Замечание
2) Символическая формула для нахождения дифференциала dku функции
2) Символическая формула для нахождения дифференциала dku функции
§12
§12
Теорема 1 естественным образом обобщается на случай функции большего
Теорема 1 естественным образом обобщается на случай функции большего
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ сложной ФНП 1) Пусть z = f(x,y), где x = 
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ сложной ФНП 1) Пусть z = f(x,y), где x = 
§13
§13
ЗАДАЧА
ЗАДАЧА
§14
§14
Замечания
Замечания
ТЕОРЕМА 2 (необходимые условия экстремума)
ТЕОРЕМА 2 (необходимые условия экстремума)
ТЕОРЕМА 3 (достаточные условия экстремума функции ДВУХ переменных)
ТЕОРЕМА 3 (достаточные условия экстремума функции ДВУХ переменных)
Замечание
Замечание
§15
§15
1. Производная по направлению
1. Производная по направлению
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ПО НАПРАВЛЕНИЮ – средняя скорость
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ПО НАПРАВЛЕНИЮ – средняя скорость
Замечание
Замечание
Пусть z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0)
Пусть z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0)
где cos
где cos
2. Градиент
2. Градиент

Презентация на тему: «Функция нескольких переменных». Автор: Пахомова Е.Г.. Файл: «Функция нескольких переменных.ppt». Размер zip-архива: 363 КБ.

Функция нескольких переменных

содержание презентации «Функция нескольких переменных.ppt»
СлайдТекст
1 Математический анализ Тема: Функция нескольких переменных

Математический анализ Тема: Функция нескольких переменных

Лектор Пахомова Е.Г.

2010 г.

2 ГЛАВА III

ГЛАВА III

Функции нескольких переменных

§8. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = {(x1, x2 , …, xn) | xi?Xi ? ? } , U ? ? . Функция f : X ? U называется функцией n переменных . Записывают: u = f(x1, x2 , …, xn) , где f – закон, задающий соответствие между x1, x2 , …, xn и u . Значение u = f(x1, x2 , …, xn) при x1 = x01, x2 = x02, …, xn = x0n записывают в виде u = f(x01, x02 , …, x0n) или

3 Называют: X – область определения функции (Обозначают: D(u) ), x1, x2,

Называют: X – область определения функции (Обозначают: D(u) ), x1, x2,

…, xn – аргументы (независимые переменные), U – область значений (Обозначают: E(u) ), u (u ?U) – зависимая переменная (функция). 2. Предел функции нескольких переменных Напомним: Число A?? называется пределом функции f(x) при x стремящемся к x0 (пределом функции f(x) в точке x0), если ??>0 ??>0 такое, что если x?U*(x0, ?) , то f(x)?U(A, ?) .

4 ?(x,y) 

?(x,y) 

(x,y) ? M?xOy ; ? z = f(x,y) = f(M), где M?D?xOy . ?(x,y,z) ? M?Oxyz ? u = f(x,y,z) = f(M), где M?D?Oxyz . По аналогии, последовательность (x1, x2 , …, xn) будем считать декартовыми координатами точки n-мерного пространства и рассматривать функцию n переменных как функцию точки этого пространства. Обозначают: ?n – n-мерное пространство, u = f(M) , где M(x1, x2 , …, xn)??n – функция n переменных.

5 Если M1(x1), M2(x2)

Если M1(x1), M2(x2)

сли M1(x1), M2(x2)?Ox , то расстояние между ними (обознача- ют: | M1M2 |) находится по формуле: Если M1(x1,y1), M2(x2,y2)?xOy , то Если M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2)?Oxyz , то Обобщая эти формулы, будем считать, что расстояние между точками n-мерного пространства M1(x1, x2 , …, xn), M2(y1, y2 , …, yn)??n равно

6 Пусть M0(x01, x02 , …, x0n)

Пусть M0(x01, x02 , …, x0n)

усть M0(x01, x02 , …, x0n)??n . Множество точек ?n , находя- щихся от M0 на расстоянии меньшем ?, будем называть ?-окрестностью точки M0 и обозначать U(M0,?). Иначе говоря, ?-окрестность M0(x01, x02, …, x0n) состоит из таких точек M(x1, x2 , …, xn), для которых имеет место неравенство При n = 1 U(M0,?) = {M?Ox | |M0M| = |x – x0| < ?} = (x0 – ?, x0 + ?) . При n = 2 т.е. U(M0,?) точки M0(x0,y0) – круг с центром в точке M0(x0,y0) и радиусом ? . При n = 3 т.е. U(M0,?) точки M0(x0,y0,z0) – шар с центром в точке M0(x0,y0,z0) и радиусом ? .

7 ?-окрестность точки M0

?-окрестность точки M0

?n без самой точки M0 будем называть проколотой и обозначать U*(M0,?) Пусть функция n переменных u = f(M) определена в некоторой окрестности точки M0??n , кроме, может быть, самой M0 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число A?? называется пределом функции f(M) при M стремящемся к M0 (пределом функции f(M) в точке M0), если ??>0 ??>0 такое, что если M?U*(M0, ?) , то f(M)?U(A, ?) . Записывают в общем случае: Для функции z = f(x,y):

8 Замечания

Замечания

1) Условие M?U*(M0,?) означает, что выполняется неравен- ство: 2) Условие f(M)?U(A,?) означает, что для f(M) выполняется неравенство | f(M) – A | < ? 3) Так как формально определение предела функции n пере- менных ничем не отличается от определения предела функции одной переменной, то все утверждения, которые были получены о пределах функции одной переменной и в которых не используется упорядоченность точек числовой прямой, остаются верными и для предела функции n переменных. 4) Определение бесконечно большой функции переносится на случай функции n переменных тоже дословно (сформулировать самостоятельно).

9 3. Непрерывность функции нескольких переменных

3. Непрерывность функции нескольких переменных

Пусть u = f(M) определена в некоторой окрестности M0 ??n . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке M0 если справедливо равенство Справедливы утверждения: 1) арифметические операции над непрерывными в точке M0 функциями приводят к непрерывным в этой точке функциям (при условии, что деление производится на функцию, не обращающуюся в ноль); 2) сложная функция, составленная из нескольких непрерывных функций, тоже будет непрерывной. Если функция u = f(M) определена в некоторой окрестности точки M0 (за исключением, может быть, самой M0), но не является в этой точке непрерывной, то ее называют разрывной в точке M0, а саму точку M0 – точкой разрыва.

10 §9

§9

Частные производные

Для наглядности, здесь и далее все определения и утверждения будем формулировать для функции 2-х (или 3-х) переменных. На случай большего числа неизвестных они обобщаются естественным образом. Пусть z = f(x,y) , D(z) = D ? xOy , D – открытая область. Пусть ?M0(x0,y0)?D . Придадим x0 приращение ?x, оставляя значение y0 неиз- мененным (так, чтобы точка M(x0 + ?x,y0)?D). При этом z = f(x,y) получит приращение ?xz(M0) = f(M) – f(M0) = f(x0 + ?x,y0) – f(x0,y0). ?xz(M0) называется частным приращением функции z = f(x,y) по x в точке M0(x0,y0).

11 ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Предел (если он существует и конечен) называется частной производной функции z = f(x,y) по переменной x в точке M0(x0,y0). Обозначают: или

12 Замечания

Замечания

1) Обозначения и надо понимать как целые символы, а не как частное двух величин. Отдельно взятые выражения ?z(x0,y0) и ?x смысла не имеют. 2) характеризует скорость изменения функции z = f(x,y) по x в точке M0(x0,y0) (физический смысл частной производной по x). Аналогично определяется частная производная функции z = f(x,y) по переменной y в точке M0(x0,y0): Обозначают:

13 Соответствие (и ) является функцией, определенной на D1(D2)

Соответствие (и ) является функцией, определенной на D1(D2)

D(f). Ее называют частной производной функции z = f(x,y) по переменной x (y) и обозначают Операция нахождения для функции z = f(x,y) ее частных производных называется дифференцированием функции z = f(x,y) по переменной x и y соответственно.

14 Фактически, – это обыкновенная про- изводная функции z = f(x,y),

Фактически, – это обыкновенная про- изводная функции z = f(x,y),

актически, – это обыкновенная про- изводная функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция одной переменной x (соответственно y) при постоянном значении другой переменной. Поэтому, вычисление частных производных производится по тем же самым правилам, что и для функции одной переменой. При этом, одна из переменных считается константой. ПРИМЕР. Найти частные производные по x и по y функции f(x,y) = x2 + xy2 + y3

15 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ частных производных функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ частных производных функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть функция z = f(x,y) имеет в M0(x0,y0) частную произ- водную по x (y). Пусть поверхность S – график функции z = f(x,y). Тогда где ?(?) – угол наклона к оси Ox(Oy) касательной, проведен- ной в точке P0(x0,y0, f(x0,y0)) к линии пересечения поверхнос- ти S и плоскости y = y0 (x = x0).

16 §10

§10

Частные производные высших порядков

Пусть z = f(x,y) имеет и , определенные на D ? xOy . Функции и называют также частными производными первого порядка функции f(x,y) (или первыми частными производными функции f(x,y)). и в общем случае функции переменных x и y . Частные производные по x и по y от и , если они существуют, называются частными производ- ными второго порядка (или вторыми частными производ- ными) функции f(x,y).

17 Обозначения

Обозначения

18 Частные производные второго порядка в общем случае являют- ся

Частные производные второго порядка в общем случае являют- ся

функциями двух переменных. Их частные производные (если они существуют) называют частными производными третьего порядка (или третьими частными производными) функции z = f(x,y). Продолжая этот процесс, назовем частными производными порядка n функции z = f(x,y) частные производные от ее частных производных (n – 1)-го порядка. Обозначения аналогичны обозначениям для частных производ- ных 2-го порядка. Например: Частные производные порядка n > 1 называют частными производными высших порядков.

19 Частные производные высших порядков, взятые по разным аргументам,

Частные производные высших порядков, взятые по разным аргументам,

называются смешанными. Частные производные высших порядков, взятые по одному аргументу, называют иногда несмешанными. ПРИМЕР. Найти частные производные 2-го порядка от функции z = x4 + 3x2y5 . ТЕОРЕМА 1 (условие независимости смешанной производной от последовательности дифференцирований). Пусть z = f(x,y) в некоторой области D ? xOy имеет все частные производные до n-го порядка включительно и эти производные непрерывны. Тогда смешанные производные порядка m (m ? n), отлича- ющиеся лишь последовательностью дифференцирований, совпадают между собой.

20 §11

§11

Дифференцируемость функций нескольких переменных

1. Дифференцируемые функции нескольких переменных Пусть z = f(x,y) , D(z) = D ? xOy , D – область (т.е. открытое связное множество). Пусть ?M0(x0,y0)?D . Придадим x0 и y0 приращение ?x и ?y соответственно (так, чтобы точка M(x0 + ?x,y0 + ?y)?D). При этом z = f(x,y) получит приращение ?z(M0) = f(M) – f(M0) = f(x0 + ?x,y0 + ?y) – f(x0,y0). ?z(M0) называется полным приращением функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0), соответствующим ?x и ?y.

21 ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция z = f(x,y) называется дифференци- руемой в точке M0(x0,y0) если ее полное приращение в этой точке может быть записано в виде ?z(M0) = A ? ?x + B ? ?y + ?1 ? ?x + ?2 ? ?y , (1) где A, B – некоторые числа, ?1,?2 – бесконечно малые при ?x ? 0, ?y ? 0 (или, что то же, при ). Замечание. Функции ?1 и ?2 зависят от x0,y0,?x,?y. Равенство (1) можно записать и в более сжатой форме: ?z(M0) = A ? ?x + B ? ?y + ? ? ? , (2) где – бесконечно малая при ? ? 0. Функция z = f(x,y), дифференцируемая в каждой точке некото- рой области D, называется дифференцируемой в D.

22 Напомним: для дифференцируемой функции y = f(x) справед- ливы

Напомним: для дифференцируемой функции y = f(x) справед- ливы

апомним: для дифференцируемой функции y = f(x) справед- ливы утверждения: 1) y = f(x) дифференцируема в x0 ? ?f ?(x0); 2) y = f(x) дифференцируема в x0 ? y = f(x) непрерывна в x0 . ТЕОРЕМА 1 (необходимые условия дифференцируемости ФНП) Пусть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0). Тогда она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по обеим независимым переменным. Причем

23 Замечания

Замечания

1) С учетом теоремы 1 равенства (1) и (2) можно записать соответственно в виде: (3) (4) где ?1,?2 – бесконечно малые при ?x ? 0, ?y ? 0, ? – бесконечно малая при ? ? 0. 2) Утверждение обратное теореме 1 неверно. Из непрерывности функции двух переменных в точке и существования в этой точке ее частных производных еще не следует дифферен- цируемость функции.

24 ПРИМЕР

ПРИМЕР

Функция непрерывна в точке (0;0) и имеет в этой точке частные производные, но не явля- ется в этой точке дифференцируемой. ТЕОРЕМА 2 (достаточные условия дифференцируемости ФНП) Пусть функция z = f(x,y) имеет в некоторой окрестности точки M0(x0,y0) частные производные и , причем в самой точке M0 эти производные непрерывны. Тогда функция z = f(x,y) дифференцируема в этой точке.

25 2. Дифференциал ФНП

2. Дифференциал ФНП

Пусть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0). Тогда где ?1,?2 – бесконечно малые при ?x ? 0, ?y ? 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0), то линейная относительно ?x и ?y часть ее пол- ного приращения в этой точке, т.е. называется полным дифференциалом функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) и обозначается dz(M0) или df(x0,y0).

26 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ полного дифференциала функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ полного дифференциала функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть S – поверхность, P0 – фиксированная точка на поверхности S, P – текущая точка на поверхности S. Проведем секущую прямую PP0. Плоскость, проходящая через точку P0, называется касатель- ной плоскостью к поверхности S в точке P0, если угол между секущей PP0 и этой плоскостью стремится к нулю когда точка P стремится к P0, двигаясь по поверхности S произвольным образом.

27 Прямая, проходящая через точку P0 перпендикулярно касатель- ной

Прямая, проходящая через точку P0 перпендикулярно касатель- ной

плоскости к поверхности в этой точке, называется нормалью к поверхности в точке P0. ДОКАЗАНО, что 1) если функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0), то поверхность z = f(x,y) имеет в точке P0(x0,y0,f(x0,y0)) касательную плоскость. Ее уравнение: ? уравнение нормали к поверхности z = f(x,y) в P0(x0,y0,f(x0,y0)):

28 2) если поверхность задана уравнением F(x,y,z) = 0, F(x,y,z) –

2) если поверхность задана уравнением F(x,y,z) = 0, F(x,y,z) –

) если поверхность задана уравнением F(x,y,z) = 0, F(x,y,z) – дифференцируема в P0(x0,y0,z0), причем хотя бы одна из ее частных производных не обращается в P0 в ноль, то касательная плоскость к поверхности в точке P0(x0,y0,z0) существует и ее уравнение ? уравнения нормали к поверхности F(x,y,z) = 0 в P0(x0,y0,z0): Замечание. Точка P0(x0,y0,z0) поверхности F(x,y,z) = 0, в которой все частные производные функции F(x,y,z) обращаются в ноль, называется особой точкой поверхности.

29 Пусть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0)

Пусть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0)

усть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0). ? поверхность z = f(x,y) имеет в точке P0(x0,y0,f(x0,y0)) касательную плоскость. Ее уравнение: Обозначим x – x0 = ?x, y – y0 = ?y. Тогда уравнение касательной плоскости примет вид: ТАКИМ ОБРАЗОМ, полный дифференциал функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) равен приращению, которое получает аппликата точки P0(x0,y0,f(x0,y0)) касательной плоскости к поверхности z = f(x,y), когда ее координаты x0 и y0 получают приращения ?x и ?y соответственно.

30 Функция нескольких переменных
31 Очевидно, что соответствие (x0,y0,

Очевидно, что соответствие (x0,y0,

x,?y) ? df(x0,y0) является функцией (четырех переменных). Ее называют полным дифференциалом функции z = f(x,y) и обозначают dz или df(x,y). Легко доказать, что полный дифференциал функции n пере- менных обладает теми же свойствами, что и дифференциал функции одной переменной. В частности, для df(x,y) существует вторая, инвариантная форма записи:

32 3. Дифференциалы высших порядков ФНП

3. Дифференциалы высших порядков ФНП

Пусть z = f(x,y) дифференцируема в области D1?D(f) . Ее дифференциал dz(M) – функция переменных x, y, dx, dy. Далее будем dz(M) называть дифференциалом 1-го порядка. Зафиксируем значение dx и dy. Тогда dz(M) станет функцией двух переменных x и y. Дифференциал функции dz(M) (если он существует) называется дифференциалом 2-го порядка функции z = f(x,y) (или вто- рым дифференциалом функции z = f(x,y)) и обозначается d 2z, d 2f(x,y). d 2z(M) – функция переменной x и y. Дифференциал функции d 2z(M) (если он существует) называют дифференциалом третьего порядка функции z = f(x,y) (или третьим дифференциалом функции z = f(x,y)) и обозна- чается d 3z, d 3f(x,y).

33 Продолжая далее этот процесс, определим дифференциал n-го порядка

Продолжая далее этот процесс, определим дифференциал n-го порядка

функции z = f(x,y) как дифференциал от ее диффе- ренциала порядка n – 1. Обозначают: d nz, d nf(x,y). Замечание. Значение дифференциала n-го порядка функции f(x,y) в точке (x0,y0) обозначают d nz(M0), d nf (x0,y0) . Дифференциалы порядка n > 1 называют дифференциалами высших порядков. Если функция z = f(x,y) имеет дифференциал порядка n, то ее называют n раз дифференцируемой. ТЕОРЕМА 3 (о связи дифференциала n-го порядка и n-х частных производных). Если все производные k-го порядка функции z = f(x,y) в области D непрерывны, то она k раз дифференцируема. При этом имеет место символическая формула

34 Замечание

Замечание

1) Чтобы записать дифференциал по формуле (6) необходимо: а) формально раскрыть скобку по биномиальному закону, б) умножить получившееся выражение на f(x,y), в) заменить каждое произведение частной производной Например, для n = 2 получим: Для n = 3 получим:

35 2) Символическая формула для нахождения дифференциала dku функции

2) Символическая формула для нахождения дифференциала dku функции

u = f(x1,x2,…xn) будет иметь вид при условии, что x1,x2,…xn – независимые аргументы. 3) В теореме 3 предполагается, что z = f(x,y) – k раз дифференцируемая функция 2-х независимых переменных. Если x,y – функции, то она не будет справедлива. Т.е. формула (6) не является инвариантной.

36 §12

§12

Частные производные сложных ФНП

Пусть z = f(x,y), где x = ?1(u,v), y = ?2(u,v). Тогда z – сложная функция независимых переменных u и v. Переменные x и y называются для z промежуточными переменными. ЗАДАЧА: найти частные производные функции z по u и v. ТЕОРЕМА 1 ( о производной сложной функции). Пусть z = f(x,y), где x = ?1(u,v), y = ?2(u,v). Если f(x,y), ?1(u,v), ?2(u,v) дифференцируемы, то справедливы формулы (1)

37 Теорема 1 естественным образом обобщается на случай функции большего

Теорема 1 естественным образом обобщается на случай функции большего

числа независимых и промежуточных аргументов. А именно, если u = f(x1, x2 , …, xn), где xi = ?i(t1, t2 , …, tm) (i = 1,2, …, n), то

38 ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ сложной ФНП 1) Пусть z = f(x,y), где x = 

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ сложной ФНП 1) Пусть z = f(x,y), где x = 

АСТНЫЕ СЛУЧАИ сложной ФНП 1) Пусть z = f(x,y), где x = ?1(t), y = ?2(t). Тогда z – сложная функцией одной переменной t. Если f(x,y), ?1(t), ?2(t) дифференцируемы, то справедлива формула (2) 2) Пусть z = f(x,y), где y = ?(x) Тогда z – сложная функцией одной переменной x. Если f(x,y), ?(x) дифференцируемы, то справедлива формула (3) Производная в левой части формулы (3) называется полной производной функции z.

39 §13

§13

Дифференцирование неявных функций

ТЕОРЕМА 1 (существования неявной функции). Пусть функция F(x1, x2 , …, xn , u) и все ее частные произ- водные 1-го порядка определены и непрерывны в некоторой окрестности точки P0(x01 , x02 , …, x0n , u0). Если F(P0) = 0 и , то ? такая окрестность U точки M0(x01 , x02 , …, x0n), в которой уравнение F(x1, x2 , …, xn , u) = 0 определяет непрерывную функцию u = f(x1, x2 , …, xn), причем 1) f(M0) = u0 ; 2) для любой точки M(x1, x2 , …, xn)?U 3) функция u = f(x1, x2 , …, xn) имеет в окрестности U непрерывные частные производные по всем аргументам.

40 ЗАДАЧА

ЗАДАЧА

Найти частные производные неявно заданной функции. 1) Пусть F(x,y) удовлетворяет условиям теоремы 1 в некоторой окрестности P0(x0,y0) Тогда уравнение F(x,y) = 0 определяет в некоторой окрестности U точки x0, непрерывную функцию y = f(x). (1) 2) Пусть F(x,y,z) удовлетворяет условиям теоремы 1 в окрестности P0(x0,y0,z0) . Тогда уравнение F(x,y,z) = 0 определяет в некоторой окрест- ности U точки M0(x0,y0) непрерывную функцию z = f(x,y). Так как фактически это обыкновенная производная функ- ции z = f(x,y), рассматриваемой как функция одной пере- менной при постоянном значении другой, то по формуле (1) получаем

41 §14

§14

Экстремумы ФНП

Пусть z = f(x,y) определена в некоторой области D?xOy , M0(x0,y0)?D . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Точка M0(x0,y0) называется точкой максимума функции f(x,y), если ?M(x,y)?U(M0,?) выполняется неравенство f(x,y) ? f(x0,y0) . Точка M0(x0,y0) называется точкой минимума функции f(x,y), если ?M(x,y)?U(M0,?) выполняется неравенство f(x,y) ? f(x0,y0) . Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимумами и минимумами (экстремумами) этой функции.

42 Замечания

Замечания

1) По смыслу точкой максимума (минимума) функции f(x,y) могут быть только внутренние точки области D. 2) Если ?M(x,y)?U*(M0,?) выполняется неравенство f(x,y) < f(x0,y0) [ f(x,y) > f(x0,y0) ], то точку M0 называют точкой строгого максимума (соответственно точкой строгого минимума) функции f(x,y). Определенные в 1 точки максимума и минимума называют иногда точками нестрогого максимума и минимума. 3) Понятия экстремумов носят локальный характер. В рассматриваемой области функция может совсем не иметь экстремумов, может иметь несколько (в том числе бесчисленно много) минимумов и максимумов. При этом некоторые минимумы могут оказаться больше некоторых ее максимумов.

43 ТЕОРЕМА 2 (необходимые условия экстремума)

ТЕОРЕМА 2 (необходимые условия экстремума)

Если функция z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из них не существует. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы 2. Если M0(x0,y0) – точка экстремума функции z = f(x,y), то касательная плоскость к графику этой функции в точке P0(x0,y0,f(x0,y0)) либо параллельна плоскости xOy, либо вообще не существует. Точки, удовлетворяющие условиям теоремы 2, называются критическими точками функции z = f(x,y).

44 ТЕОРЕМА 3 (достаточные условия экстремума функции ДВУХ переменных)

ТЕОРЕМА 3 (достаточные условия экстремума функции ДВУХ переменных)

Пусть M0(x0,y0) – критическая точка функции z = f(x,y) и в некоторой окрестности точки M0 функция имеет непрерыв- ные частные производные до 2-го порядка включительно. Обозначим Тогда 1) если A ? C – B2 < 0 , то точка M0(x0,y0) не является точкой экстремума; 2) если A ? C – B2 > 0 и A > 0 , то в точке M0(x0,y0) функция имеет минимум; 3) если A ? C – B2 > 0 и A < 0 , то в точке M0(x0,y0) функция имеет максимум; 4) если A ? C – B2 = 0 , то никакого заключения о крити- ческой точке M0(x0,y0) сделать нельзя и требуются дополнительные исследования.

45 Замечание

Замечание

1) Если с помощью теоремы 3 исследовать критическую точку M0(x0,y0) не удалось, то ответ на вопрос о наличии в M0 экстремума даст знак ?f(x0,y0) : а) если при всех достаточно малых ?x и ?y имеем ?f(x0,y0) < 0, то M0(x0,y0) – точка строгого максимума; б) если при всех достаточно малых ?x и ?y имеем ?f(x0,y0) > 0, то M0(x0,y0) – точка строгого минимума. В случае нестрогих экстремумов при некоторых значениях ?x и ?y приращение функции будет нулевым 2) Определения максимума и минимума и необходимые условия экстремума легко переносятся на функции трех и более числа переменных. Достаточные условия экстремума для функции n (n > 2) переменных ввиду их сложности в данном курсе не рассматриваются. Определять характер критических точек для них мы будем по знаку приращения функции.

46 §15

§15

Скалярное поле

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть G – некоторая область в простран- стве Oxyz [на плоскости xOy]. Говорят, что на G задано скалярное поле, если в каждой точке M?G определена функция 3-х переменных u = f(M) [функция 2-х переменных z = f(M)]. Поведение скалярного поля характеризуют 1) производная по направлению; 2) градиент.

47 1. Производная по направлению

1. Производная по направлению

Пусть z = f(x,y) определена в области D?xOy , M0(x0,y0)?D, s? – некоторый вектор. Пусть M(x0+?x,y0+?y) ?D , такая, что ? s?? . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует и конечен то его называют производной функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) по направлению вектора s? . Обозначают:

48 ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ПО НАПРАВЛЕНИЮ – средняя скорость

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ПО НАПРАВЛЕНИЮ – средняя скорость

изменения функции z = f(x,y) на отрезке M0M . – скорость изменения функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) в направлении вектора s? . Так же как и для функции одной переменной доказывается, что 1) если , то функция в точке M0(x0,y0) в направле- нии вектора s? возрастает; 2) если , то функция в точке M0(x0,y0) в направле- нии вектора s? убывает; 3) если , то в направлении вектора s? функция не изменяется. ? направление вектора s? – направление линии уровня функ- ции, проходящей через точку M0 (вектор s? является касательным к линии уровня в точке M0).

49 Замечание

Замечание

Частные производные функции являются частным случаем производной по направлению. А именно: – производная функции по направлению век- тора i (направлению оси Ox); – производная функции по направлению век- тора j (направлению оси Oy).

50 Пусть z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0)

Пусть z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0)

усть z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0). Тогда где ? – бесконечно малая при Обозначим | M0M | = ? . Тогда ?x = ? ? cos? , ?y = ? ? cos? где cos?, cos? – направляющие ко синусы вектора s? . Следовательно, Разделив на | M0M | = ? и перейдя к пределу при ? ? 0, полу- чим

51 где cos

где cos

, cos? – направляющие косинусы вектора s? . Замечание. Аналогично определяется и обозначается производ- ная по направлению для функции 3-х переменных u = f(x,y,z). Для нее получим ? , cos? , cos? – направляющие косинусы вектора s?.

52 2. Градиент

2. Градиент

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Градиентом функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) называется вектор с координатами Обозначают: gradz(M0). СВОЙСТВА ГРАДИЕНТА 1) gradz(M0) определяет направление, в котором функция в точке M0 возрастает с наибольшей скоростью. При этом | gradz(M0) | равен наибольшей скорости изменения функции в точке M0. 2) gradz(M0) перпендикулярен к линии уровня функции z = f(x,y), проходящей через точку M0. Замечание. Для функции 3-х переменных градиент определя- ется и обозначается аналогичным образом, и сохраняет все свои свойства.

«Функция нескольких переменных»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/funktsija-neskolkikh-peremennykh-119731.html
cсылка на страницу

Без темы

326 презентаций
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Без темы > Функция нескольких переменных