Алгебра
<<  «Уравнение» урок алгебры, 8 класс Алгебра и начала анализа 11 класс  >>
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§1
§1
Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий
Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий
Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и
Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и
??
??
 
 
Два вектора называются равными, если они а) коллинеарны, б) одинаково
Два вектора называются равными, если они а) коллинеарны, б) одинаково
Вектор можно переносить в любую точку пространства посредством
Вектор можно переносить в любую точку пространства посредством
 
 
§2
§2
Коллинеарен вектору
Коллинеарен вектору
Сумму двух векторов можно находить либо по правилу треугольников, либо
Сумму двух векторов можно находить либо по правилу треугольников, либо
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Правило параллелограмма
Правило параллелограмма
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Сумму трех и более векторов можно находить по правилу замыкания
Сумму трех и более векторов можно находить по правилу замыкания
И
И
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
И
И
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
3. Прибавление нулевого вектора к любому вектору не меняет последнего:
3. Прибавление нулевого вектора к любому вектору не меняет последнего:
7. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению
7. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению
§3
§3
И осью ox называется угол
И осью ox называется угол
 
 
и осью Ох, т.е
и осью Ох, т.е
длине отрезка СD, взятой со знаком «+», если
длине отрезка СD, взятой со знаком «+», если
Рис
Рис
Свойства проекции вектора на ось
Свойства проекции вектора на ось
§4
§4
 
 
Базисом в пространстве называют любые три некомпланарных вектора в
Базисом в пространстве называют любые три некомпланарных вектора в
При этом коэффициенты
При этом коэффициенты
2. При сложении (вычитании) векторов
2. При сложении (вычитании) векторов
=
=
Декартовой системой координат в пространстве называют совокупность
Декартовой системой координат в пространстве называют совокупность
 
 
Прямая ОX называется осью абсцисс, прямая ОY
Прямая ОX называется осью абсцисс, прямая ОY
Базис называют ортонормированным, если базисные векторы попарно
Базис называют ортонормированным, если базисные векторы попарно
 
 
Пусть в прямоугольной системе координат даны две точки
Пусть в прямоугольной системе координат даны две точки
 
 
Учитывая, что при вычитании векторов вычитаются их
Учитывая, что при вычитании векторов вычитаются их
Определяется по формуле
Определяется по формуле
Отметим, что в прямоугольной системе координаты вектора
Отметим, что в прямоугольной системе координаты вектора
 
 
§ 5. Деление отрезка в данном отношении
§ 5. Деление отрезка в данном отношении
Тогда координаты точки М вычисляются по формулам
Тогда координаты точки М вычисляются по формулам
При
При
Пример
Пример
?
?
Для нахождения координат точки
Для нахождения координат точки
§6
§6
 
 
Скалярным произведением двух векторов называется
Скалярным произведением двух векторов называется
Скалярное умножение обладает следующими свойствами
Скалярное умножение обладает следующими свойствами
?
?
Если
Если
?
?
?
?
Пусть в прямоугольной системе координат векторы заданы
Пусть в прямоугольной системе координат векторы заданы
Приложения скалярного произведения в геометрии
Приложения скалярного произведения в геометрии
Поэтому
Поэтому
2. Угол между векторами
2. Угол между векторами
3. Направляющие косинусы векторов
3. Направляющие косинусы векторов
Таким образом,
Таким образом,
Косинусы углов, образованных вектором и осями координат Ox, Oy, Oz,
Косинусы углов, образованных вектором и осями координат Ox, Oy, Oz,
Вычислить внутренний угол при вершине А
Вычислить внутренний угол при вершине А
Пример
Пример
Следовательно,
Следовательно,
§7
§7
Правая система координат Левая система
Правая система координат Левая система
?
?
 
 
Свойства векторного произведения:
Свойства векторного произведения:
4)
4)
Рассмотрим произведение
Рассмотрим произведение
Площадь которого равна единице
Площадь которого равна единице
Для векторного произведения ортов можно составить таблицу:
Для векторного произведения ортов можно составить таблицу:
Пусть векторы
Пусть векторы
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Полученную формулу можно представить в виде определителя:
Полученную формулу можно представить в виде определителя:
Приложение векторного произведения к геометрии
Приложение векторного произведения к геометрии
Пример
Пример
Решение:
Решение:
Пример
Пример
Так, как
Так, как
§8
§8
Свойства смешанного произведения
Свойства смешанного произведения
И
И
Выражение смешанного произведения через координаты
Выражение смешанного произведения через координаты
Некоторые приложения смешанного произведения
Некоторые приложения смешанного произведения
3. Определение объемов пространственных фигур
3. Определение объемов пространственных фигур
Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах
Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах
Пример
Пример
Пример
Пример
Тогда
Тогда

Презентация на тему: «Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ». Автор: Compaq nx6110. Файл: «Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.pptx». Размер zip-архива: 919 КБ.

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

содержание презентации «Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.pptx»
СлайдТекст
1 Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

2 §1

§1

Векторы. Основные определения.

Величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (например, длина, площадь, масса, объем и т.д.), называются скалярными.

Величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать еще и направление (например, сила, скорость, ускорение и т.д.), называются векторными. Векторные величины геометрически изображаются с помощью векторов.

3 Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий

Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий

определенную длину и определенное направление.

Если

? Начало вектора,

? Его конец, то вектор

Или

Обозначается

Длиной вектора называется расстояние между началом и концом этого вектора и обозначается

4 Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и

обозначается

Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается

5 ??

??

И

Векторы

Называются коллинеарными, если они

Лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых;

Записывают

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

6  

 

7 Два вектора называются равными, если они а) коллинеарны, б) одинаково

Два вектора называются равными, если они а) коллинеарны, б) одинаково

направлены, в) имеют одинаковые длины.

8 Вектор можно переносить в любую точку пространства посредством

Вектор можно переносить в любую точку пространства посредством

параллельного переноса (это следует из определения равенства векторов).

Векторы в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

9  

 

10 §2

§2

Линейные операции над векторами.

Под линейными операциями над векторами понимают а) произведение вектора на число, б) сложение и вычитание векторов.

Произведением вектора

На число

Удовлетворяющий следующим

Называется вектор

Условиям:

А) длина вектора

Равна произведению модуля числа

На длину вектора

11 Коллинеарен вектору

Коллинеарен вектору

Направление

Б) вектор

Совпадает с направлением вектора

Если

И противоположно ему, если

Пример.

12 Сумму двух векторов можно находить либо по правилу треугольников, либо

Сумму двух векторов можно находить либо по правилу треугольников, либо

по правилу параллелограмма.

Правило треугольников.

И

? два произвольных вектора. Возьмем

Пусть

Произвольную точку

И построим вектор

Вектор

От точки

Отложим вектор

Соединяющий начало первого вектора с концом второго,

И

Называется суммой векторов

13 Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
14 Правило параллелограмма

Правило параллелограмма

И

? два произвольных вектора. Возьмем

Пусть

Произвольную точку

И построим векторы

И

Суммой двух векторов

И

Называется вектор

Диагонали параллелограмма

Построенного на векторах

И

15 Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
16 Сумму трех и более векторов можно находить по правилу замыкания

Сумму трех и более векторов можно находить по правилу замыкания

ломаной:

Чтобы найти сумму векторов

Совместить с началом вектора

Нужно конец вектора

– С началом вектора

И т.Д.,

Конец вектора

Пока не дойдем до вектора

Тогда суммой

Будет вектор,

Идущий из начала вектора

В конец вектора

17 И

И

Называется такой

Разностью двух векторов

Вектор

Который нужно сложить с вектором

Чтобы получить вектор

Т.Е.

Нужно

Чтобы построить вектор

И

Параллельным переносом перенести векторы

Будет

К общему началу, и тогда вектор

Выходить из конца вектора

В конец вектора

18 Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
19 И

И

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах

Одна направленная диагональ

Является

Суммой векторов,

А другая – разностью.

20 Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. Сложение векторов коммутативно:

2. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых трех векторов выполняется условие

21 3. Прибавление нулевого вектора к любому вектору не меняет последнего:

3. Прибавление нулевого вектора к любому вектору не меняет последнего:

Называется противоположным вектору

4. Вектор

И обозначается

5. Умножение вектора на единицу не меняет этого вектора:

6. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е.

22 7. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению

7. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению

чисел, т.е.

8. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов, т.е.

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях над векторами так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные множители.

23 §3

§3

Проекция вектора на ось.

Осью называется всякая прямая, на которой указано направление.

Проекцией точки М на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из точки М на данную ось.

24 И осью ox называется угол

И осью ox называется угол

повернуть кратчайшим образом полуось Сx, до совмещения

Или равным ему вектором

Углом между вектором

На который нужно

Ее с вектором

Область изменения угла

25  

 

26 и осью Ох, т.е

и осью Ох, т.е

Проекцией вектора

на ось Ох называется число,

И равное

Обозначаемое

Где

– Угол между вектором

По определению

27 длине отрезка СD, взятой со знаком «+», если

длине отрезка СD, взятой со знаком «+», если

Геометрически проекция вектора

на ось Ох равна

(Рис.2).

(Рис.1), и со знаком «–», если

При

Отрезок CD превращается в точку и

28 Рис

Рис

Рис.2

29 Свойства проекции вектора на ось

Свойства проекции вектора на ось

1. При умножении вектора

На число m,

Его проекция на ось умножается на то же число.

2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме

Проекций составляющих на ту же ось:

30 §4

§4

Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартова система координат.

Базисом на плоскости называют любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятых в определенном порядке.

Теорема. Если на плоскости выбран базис

Этой плоскости можно разложить по

То любой вектор

И такое разложение единственно:

Векторам

31  

 

32 Базисом в пространстве называют любые три некомпланарных вектора в

Базисом в пространстве называют любые три некомпланарных вектора в

этом пространстве, взятых в определенном порядке.

Теорема. Если в пространстве выбран базис

Этой плоскости можно разложить

То любой вектор

По векторам

И такое разложение единственно:

,

33 При этом коэффициенты

При этом коэффициенты

В данном разложении

Называют координатами вектора

В базисе

И записывают

Или

Для векторов, заданных своими координатами, имеют место следующие свойства.

1. При умножении вектора

На число

Все его координаты умножаются на это число:

.

34 2. При сложении (вычитании) векторов

2. При сложении (вычитании) векторов

И

Складываются (вычитаются) их

Соответствующие координаты:

3. Вектор

Коллинеарен вектору

, Если выполняется условие

Т.Е.

Или

Где

? Некоторое число.

35 =

=

4. Вектор

Равен вектору

, Если их

Соответствующие координаты равны:

36 Декартовой системой координат в пространстве называют совокупность

Декартовой системой координат в пространстве называют совокупность

фиксированной точки О и базиса

Точка О называется началом координат, а прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов ? осями координат.

.

37  

 

38 Прямая ОX называется осью абсцисс, прямая ОY

Прямая ОX называется осью абсцисс, прямая ОY

осью ординат, прямая ОZ ? осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

для произвольной точки М называют ее

Координаты радиуса-вектора точки М по отношению к началу координат называют координатами точки М в рассматриваемой системе координат. Первая координата называется абсциссой, вторая ? ординатой, третья ? аппликатой.

Вектор

Радиус-вектором.

39 Базис называют ортонормированным, если базисные векторы попарно

Базис называют ортонормированным, если базисные векторы попарно

ортогональны и длина каждого из них равна единице. На плоскости ортонормированный базис принято обозначать

В пространстве ?

Декартова система координат с ортонормированным базисом называется прямоугольной системой координат.

40  

 

41 Пусть в прямоугольной системе координат даны две точки

Пусть в прямоугольной системе координат даны две точки

И

.

Тогда по правилу треугольника

42  

 

43 Учитывая, что при вычитании векторов вычитаются их

Учитывая, что при вычитании векторов вычитаются их

Соответствующие координаты, имеем

Т.Е. Если заданы координаты начала и конца вектора, то чтобы найти координаты этого вектора, надо из соответствующей координаты его конца вычесть координату начала.

44 Определяется по формуле

Определяется по формуле

А длина вектора

Для точек

Заданных на плоскости,

Последняя формула примет вид

В частности,

Аналогично,

45 Отметим, что в прямоугольной системе координаты вектора

Отметим, что в прямоугольной системе координаты вектора

Равны соответственно проекциям вектора на

Оси координат:

46  

 

47 § 5. Деление отрезка в данном отношении

§ 5. Деление отрезка в данном отношении

Пусть даны точки

И

Лежит на отрезке

И пусть точка

И делит этот отрезок в отношении

Т.Е.

48 Тогда координаты точки М вычисляются по формулам

Тогда координаты точки М вычисляются по формулам

Деления отрезка в данном отношении

49 При

При

Точка

Делит отрезок

Пополам и последние формулы принимают вид

Т.Е. Координаты середины отрезка равны полусумме

Соответствующих координат его концов.

50 Пример

Пример

Даны три последовательные вершины параллелограмма

Найти его четвертую вершину

И точку

Пересечения его диагоналей.

Решение.

51 ?

?

Пусть

Тогда

Поскольку

Параллелограмм, то

Отсюда получаем

52 Для нахождения координат точки

Для нахождения координат точки

Воспользуемся

Формулами координат середины отрезка

53 §6

§6

Скалярное произведение векторов.

Углом между двумя векторами называется

Наименьший

Угол между этими векторами, приведенными к общему началу.

Символически

И

Угол между векторами

Причем

Записывают

54  

 

55 Скалярным произведением двух векторов называется

Скалярным произведением двух векторов называется

Число, равное произведению длин этих векторов на

Косинус угла между ними:

Скалярное произведение принято обозначать

Или

Или

56 Скалярное умножение обладает следующими свойствами

Скалярное умножение обладает следующими свойствами

1. Скалярное умножение коммутативно:

2. Для любого вектора скалярный квадрат равен квадрату

Модуля:

Из последнего равенства следует

57 ?

?

3. Скалярное произведение равно нулю, если сомножители

Ортогональны или хотя бы один из них равен нулю:

Или

Или

4. Скалярное умножение обладает свойством

Ассоциативности относительно скалярного множителя:

5. Скалярное умножение дистрибутивно относительно

Сложения:

58 Если

Если

Пример 1. Найти длину вектора

Решение.

59 ?

?

?

И

Пример 2. Найти угол между векторами

Если вектор

Перпендикулярен вектору

И

Решение.

60 ?

?

Пример 3. Вычислить скалярное произведение

Если

Где

Единичные

Векторы, а угол между ними равен

Решение.

61 Пусть в прямоугольной системе координат векторы заданы

Пусть в прямоугольной системе координат векторы заданы

Своими координатами:

И

Тогда скалярное произведение можно вычислять по формуле:

62 Приложения скалярного произведения в геометрии

Приложения скалярного произведения в геометрии

1. Проекция векторов на ось.

Рассмотрим рис.1.

Спроектировав вектор

На вектор

, Получим

63 Поэтому

Поэтому

Или

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно

Модулю одного из них, умноженному на проекцию второго

Вектора на первый.

64 2. Угол между векторами

2. Угол между векторами

Из определения скалярного произведения следует, что

Если векторы заданы своими координатами в

Ортонормированном базисе:

И

То последнюю формулу можно переписать так:

65 3. Направляющие косинусы векторов

3. Направляющие косинусы векторов

Направление вектора

Определяется углами

Образованными вектором

С положительными направлениями осей

Соответственно

(Или вектором

С векторами

соответственно). Косинусы этих углов называются

Направляющими косинусами этого вектора.

Найдем их.

66 Таким образом,

Таким образом,

Направляющие косинусы связаны соотношением

67 Косинусы углов, образованных вектором и осями координат Ox, Oy, Oz,

Косинусы углов, образованных вектором и осями координат Ox, Oy, Oz,

называются направляющими косинусами этого вектора.

68 Вычислить внутренний угол при вершине А

Вычислить внутренний угол при вершине А

Решение. Внутренний угол при вершине А ? это угол

Пример. Даны вершины треугольника

И

Между векторами

То

Так как

Следовательно,

69 Пример

Пример

Вычислить угол между вектором

И осью

Решение. Угол между вектором

И осью

? Это

Угол между вектором

И вектором

70 Следовательно,

Следовательно,

71 §7

§7

Векторное произведение векторов.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов

Называется правой, если из конца вектора

Ко второму

Кратчайший поворот от первого вектора

Виден против хода часовой стрелки.

Вектору

В противном случае тройка

Называется левой.

72 Правая система координат Левая система

Правая система координат Левая система

Координат

73 ?

?

?

Векторным произведением векторов

И

Называется вектор, обозначаемый

И удовлетворяющий следующим трем условиям:

1)

2)

?

Правая.

3) упорядоченная тройка

Важно: Результатом векторного произведения является вектор.

74  

 

75 Свойства векторного произведения:

Свойства векторного произведения:

1) От перестановки множителей векторное произведение меняет направление на противоположное, сохраняя модуль, т.е.

2) Если в векторном произведении изменить знак одного из сомножителей на противоположный, то векторное произведение изменит знак, т.е.

3) Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения.

76 4)

4)

5) Векторное произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, либо сомножители коллинеарны:

Или

Или

6)

77 Рассмотрим произведение

Рассмотрим произведение

7) Рассмотрим векторное произведение ортов:

78 Площадь которого равна единице

Площадь которого равна единице

Вектор

Аналогично находим, что

Параллелограмм, построенный на

есть квадрат ОАDB,

Перпендикулярен векторам

и образует с ними правую тройку. Следовательно, произведение

Есть единичный вектор, направленный по оси OZ, т.Е.

Переставив множители, получим

79 Для векторного произведения ортов можно составить таблицу:

Для векторного произведения ортов можно составить таблицу:

80 Пусть векторы

Пусть векторы

Заданы своими координатами:

Тогда

Перемножим эти два вектора:

81 Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
82 Полученную формулу можно представить в виде определителя:

Полученную формулу можно представить в виде определителя:

83 Приложение векторного произведения к геометрии

Приложение векторного произведения к геометрии

1. Площадь параллелограмма построенного на векторах

Равна модулю векторного произведения:

2. Площадь треугольника построенного на векторах

Равна

Половине модуля векторного произведения:

84 Пример

Пример

Найти площадь параллелограмма построенного на векторах

85 Решение:

Решение:

Таким образом,

Значит

86 Пример

Пример

Найти вектор

Если известно, что он

Перпендикулярен к векторам

И удовлетворяет условию

Где

Решение. Так, как вектор

Перпендикулярен к

Плоскости векторов

И

А вектор

Также перпендикулярен к плоскости этих векторов по

Определению, то отсюда следует, что

Имеем

87 Так, как

Так, как

То координаты этих векторов

Пропорциональны, т.Е.

Тогда

Таким образом,

88 §8

§8

Смешанное произведение трёх векторов.

Смешанным произведением векторов

Называется число, обозначаемое

И определяемое

Как скалярное произведение вектора

И вектора

Результатом смешанного произведения является число.

89 Свойства смешанного произведения

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической

Перестановке трех его векторов-сомножителей:

2. Смешанное произведение меняет знак на

Противоположный при перестановке любых двух

Векторов-сомножителей:

90 И

И

3. Смешанное произведение не меняется при перемене

Местами знаков векторного и скалярного умножения:

4. Смешанное произведение ненулевых векторов равно

Нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:

? Компланарны.

91 Выражение смешанного произведения через координаты

Выражение смешанного произведения через координаты

Пусть заданы векторы

Тогда

92 Некоторые приложения смешанного произведения

Некоторые приложения смешанного произведения

1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.

Если

То

? Правая тройка;

Если же

То

? Левая тройка.

2. Установление компланарности векторов.

Векторы

? Компланарны ?

93 3. Определение объемов пространственных фигур

3. Определение объемов пространственных фигур

Объем параллелепипеда, построенного на векторах

И

Вычисляется по формуле:

Объем треугольной призмы, построенной на векторах

И

Вычисляется по формуле:

94 Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах

И

Вычисляется по формуле:

95 Пример

Пример

Даны векторы

Выяснить ориентацию тройки векторов

Решение. Составим и вычислим смешанное произведение

? Левая тройка векторов.

96 Пример

Пример

Найти объем треугольной пирамиды, вершинами

Которой являются точки

Решение.

97 Тогда

Тогда

«Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/glava-2.-elementy-vektornoj-algebry-215214.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Алгебра > Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ