Графики сложных тригонометрических функций

Графики сложных тригонометрических функций

Выполнила: Ученица 10А класса Гаязова Алиса Руководитель Учитель математики Разумова Зинаида Андреевна

1. Цель и задачи проекта:

Цель: выявление методов построения графиков сложных тригонометрических функций. Задачи: проанализировать литературу по проблеме исследования; раскрыть сущность методов построения графиков сложных тригонометрических функций; подобрать и разработать творческие задания, способствующие развитию навыков построения графиков сложных тригонометрических функций.

Вспомним определение синуса и косинуса угла поворота:

?

sin?

cos?

Sin? - ордината точки поворота

Cos? - абсцисса точки поворота

(Под «точкой поворота» следует понимать – «точку единичной тригонометрической окружности, полученной при повороте на ? радиан от начала отсчета»)

y

1

x

0

1

0

Синусом

называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе) Косинусом ? называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе) Тангенсом ? называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему) Котангенсом ? называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему) Секансом ? называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к прилежащему катету) Косекансом ? называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к противолежащему катету)

График функции y=sinx называется синусоидой

График функции y=cosx называется косинусоидой.

y

1

x

0

?1

y

1

0

?1

График функции y=tgx называется тангенсоидой

?

Линия тангенсов

y

y

1

1

1

0

1

0

0

x

?1

?3

?2

?1

График функции y=ctgx называется котангенсоидой

y

1

x

0

?1

Методы построения графиков сложных тригонометрических функций

Построение графиков с помощью компьютерных программ. Построение графиков с помощью упрощения формулы. Примеры.

Построение графиков с помощью компьютерных программ

Построение графика функции в Excel. Даны функция y = f(x) и отрезок [a, b]. Шаг h=0,1. Построить график этой функции на заданном отрезке, используя табличный процессор. Пусть f(x) = x • cos(x); a = —10; b = 10. Для решения задачи воспользуемся ЭТ MS Excel. Решение состоит из двух шагов: 1) протабулировать заданную функцию на заданном отрезке, т.е. вычислить ее значения с заданным шагом. Занесем начало и конец отрезка в отдельные ячейки, чтобы при необходимости можно было изменить начало и конец отрезка. В один из столбцов поместим значения аргумента, в другой — значения функции. Ниже приведено начало таблицы в режиме отображения формул.

2) Получив необходимые значения, переходим собственно к построению

графика. Для этого воспользуемся мастером диаграмм. Из всех диаграмм наиболее подходящей представляется точечная. Ниже приведены серия рисунков, иллюстрирующих процесс (шаги) построения графика, и фрагмент таблицы, содержащей конечный результат.

Построение графиков с помощью упрощения уравнения функции

При построении графиков функций сложного вида можно примерно придерживаться следующего плана: Найти область определения и область значений функции. Выяснить, является ли функция четной (нечетной). Выяснить, является ли функция периодической. Найти точку пересечения графика функции с осью ординат. Найти нули функции и промежутки знакопостоянства. Вычислить производную функции f(x) и определить точки, в которых могут существовать экстремумы. Найти промежутки монотонности функции. Определить экстремумы функции. Вычислить вторую производную f(x) Определить точки перегиба. Найти промежутки выпуклости функции. Найти асимптоты графика. Найти значения функции в нескольких контрольных точках. Построить эскиз графика функции.

Примеры 1. y= ОДЗ: sin x

0 x ? ?k; y= = = y=2 cos x ?sin x? a) Если sin x ? 0, то y=2 cos x ?sin x? ( 2?k < x < ?+2?k ) y = sin 2x T= =?

b) Если sin x<0, то y=-2cos x * sin x (

+2?k < x < 2?+2?k ) y=-sin 2x 2. y= ОДЗ: cos x ?0 x? ; y= => y= ; a) Если cos x>0, то y= ; ( - y= cos x

b) Если cos x<0, то y=-cos x ( y= на [0;

] ОДЗ: 2x ? x? k=0,1,2,3,4 y= ; а) Если sin 2x<0, то y= - =-sin2x 2?k <2x< ?+2?k б) Если sin 2x<0, то y= sin2x ?+2?k <2x< 2?+2?k

y= на [ ] y= ОДЗ: ctg 2x

1 2x ? ?k x? k=0,1 2x ? x ? k=0,1,2,-1,-2

y= y= =

cos 2x?*tg 2x = a) Если cos 2x<0, то y=-sin 2x - b) Если cos 2x<0, то y=-sin 2x

Творческие работы учащихся:

1. y= = = ОДЗ: sin x ? 0 x ? ?k; sin x>0, то y=3 (1 и 2 четверти) sin x<0, то y=-3 (3 и 4 четверти) 2. y= 3. y= 4. y= 5. y= 6. y= 7. y= 8. y= 9. y=

Заключение

Анализ научной литературы, учебников математики позволил структурировать отобранный материал в соответствии с целями исследования, подобрать и разработать эффективные методы построения графиков сложных тригонометрических функций. В работе представлены методы построения графиков сложных тригонометрических функций и примеры функций, в которых используются данные методы. Результатом проекта можно считать творческие задания, подобранные обучающимися, как вспомогательный материал для развития навыка построения графиков сложных тригонометрических функций .

Спасибо за внимание