Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

Алгебра и начала анализа, 10 класс

Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Вспомним определение синуса и косинуса угла поворота:

?

sin?

cos?

Sin? - ордината точки поворота

Cos? - абсцисса точки поворота

(Под «точкой поворота» следует понимать – «точку единичной тригонометрической окружности, полученной при повороте на ? радиан от начала отсчета»)

y

1

x

0

1

0

Масштаб

:3

?

?

Таким образом мы получили график функции y=sinx на промежутке [0; ?].

На оси абсцисс координатной плоскости Оху будем отмечать точки, соответствующие различным углам поворота, а на оси ординат – значения синусов этих углов.

y

y

?4

?3

1

?5

?2

1

?1

?6

0

x

1

0

x

0

?4

?1

?2

?3

?6

?5

Масштаб

:3

Теперь воспользуемся тем, что функция y=sinx является нечетной, а, значит, график функции на промежутке [?? ; 0] можно получить из данного симметрией относительно начала координат (или поворотом на 1800).

??

?

Таким образом, мы получили график функции y=sinx на промежутке [?? ; ?].

y

1

x

0

?1

Напомним некоторые рациональные значения функции у=sinx на промежутке

[??; ?]:

y

1

0

x

0

1

?1

Масштаб

:3

График функции y=sinx называется синусоидой.

На практике, для построения графика функции у=sinx на промежутке [0; ?], сначала отмечают точки с координатами (0; 0), ( ?/6; 0,5), ( ?/2; 1), ( 5?/6; 0,5) и ( ?; 0). Они образуют своеобразную «арку», которая периодически (с периодом ?) отображается симметрично оси Ох.

После этого используют свойство периодичности функции у=sinx. Так как наименьший положительный период функции y=sinx равен 2?, то изображенный участок графика можно параллельно переносить влево и вправо вдоль оси Ох на 2??n (n??) единичных отрезков.

y

1

x

0

?1

Масштаб

:3

График функции y=cosx называется косинусоидой.

Используя равенство cosx=sin( ), график функции у=cosx можно получить из синусоиды путем параллельного переноса вдоль оси Ох влево на единичных отрезков.

y

1

x

0

?1

И опять, воспользовавшись свойством периодичности функции y=cosx, достраивают график на всей числовой прямой.

?

y

Линия тангенсов

Комментарий учителя

y

1

1

1

?1

?2

?3

x

0

1

0

x

0

?3

?2

?1

График функции y=tgx называется тангенсоидой

Комментарий учителя

y

1

x

0

?1

Масштаб

:3

Комментарий учителя

y

1

x

0

?1

График функции y=ctgx называется котангенсоидой

Масштаб ?:3

Комментарий учителя

y

1

x

0

?1