Без темы
<<  Комплексные числа Комплексные числа  >>
Комплексные числа
Комплексные числа
Из истории комплексных чисел
Из истории комплексных чисел
Из истории комплексных чисел
Из истории комплексных чисел
Из истории комплексных чисел
Из истории комплексных чисел
Cодержание
Cодержание
N ? Z
N ? Z
Алгебраические операции
Алгебраические операции
Понятие комплексного числа
Понятие комплексного числа
Понятие комплексного числа
Понятие комплексного числа
Действия над комплексными числами
Действия над комплексными числами
Сопряженные числа
Сопряженные числа
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Комплексные числа на координатной плоскости
Комплексные числа на координатной плоскости

Презентация на тему: «Комплексные числа». Автор: user. Файл: «Комплексные числа.pptx». Размер zip-архива: 1386 КБ.

Комплексные числа

содержание презентации «Комплексные числа.pptx»
СлайдТекст
1 Комплексные числа

Комплексные числа

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Учитель математики: Семёнова Елена Юрьевна

2 Из истории комплексных чисел

Из истории комплексных чисел

Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в.

Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению.

3 Из истории комплексных чисел

Из истории комплексных чисел

4 Из истории комплексных чисел

Из истории комплексных чисел

Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень. Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (англ.), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году.

5 Cодержание

Cодержание

6 N ? Z

N ? Z

Q ? R ? C

Множества чисел

7 Алгебраические операции

Алгебраические операции

C

Действительные числа: +, –, ?, ?, любые длины

R

Q

Рациональные числа: +, –, ?, ?

Z

N

Целые числа: +, –, ?

Натуральные числа: +, ?

8 Понятие комплексного числа

Понятие комплексного числа

Комплексные числа C – это пара (a; b) действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число z = (a; b) записывают как z = a + bi. i2 = ?1, i – мнимая единица. Число Re z называется действительной частью числа z, а число Im z – мнимой частью числа z. Их обозначают a и b соответственно: a = Re z, b = Im z.

Определение: Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными.

9 Понятие комплексного числа

Понятие комплексного числа

Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: C1) Существует комплексное число, квадрат которого равен (?1). С2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному).

I – начальная буква французского слова imaginaire – «мнимый»

10 Действия над комплексными числами

Действия над комплексными числами

Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части) Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Вычитание (a + bi) ? (c + di) = (a ? c) + (b ? d)i Умножение (a + bi) ? (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac ? bd) + (bc + ad)i Деление

11 Сопряженные числа

Сопряженные числа

12 Примеры

Примеры

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Например: 1. (2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i; 2. (– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i; 3. (– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i = – 1 + 0i = – 1.

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i Например: (5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i; (3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2.

13 Примеры

Примеры

(a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i Например: 1. (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i; 2. (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13.

Произведение двух сопряженных чисел – действительное число: (a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 + b2 Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число: bi ? di = bdi2 = ? bd Например: 1. 5i•3i = 15i2 = ? 15; 2. ? 2i•3i = ? 6i2 = 6.

14 Примеры

Примеры

Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di ? 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле: Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c2 + d2 = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается. Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю. Например:

15 Комплексные числа на координатной плоскости

Комплексные числа на координатной плоскости

z = a + bi

b

|z|

?

a

Im z

Re z

0

«Комплексные числа»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/kompleksnye-chisla-156120.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды