Презентация на тему «Комплексные числа»

Комплексные числа

МАОУ лицей «Морской технический»,учитель математики Дементьева Т.А.

ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ Комплексные числа

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

Понятие комплексного числа

Х+А=В - недостаточно положительных чисел А·Х + В=0 (А?0) – разрешимы на множестве рац.чисел Х?=2 или Х?=5 - корни - иррациональные числа

Х+5=2

Решение квадратных уравнений

А · Х?+ В ·Х+ С =0 При D<0 действительных корней нет

Комплексные числа

Вид комплексного числа

Х?=-1 Х=i -корень уравнения i- комплексное число, такое , что i?=-1

А + В· i

Запись комплексного числа в общем виде

А + В· i

А и В – действительные числа i- некоторый символ , такой, что i?= -1 А – действительная часть В – мнимая часть i – мнимая единица

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексно сопряженные числа

Z=А - В· i

Z= А + В· i

(Z) = Z

Модуль комплексного числа

Z = A + B i=

Сопряженное

Тригонометрическая форма комплексного числа

Z =r ?- аргумент аргумент комплексного числа Z=r cos ? + i Z sin ? = = r (cos ?+ i sin ?) Для Z=0 аргумент не определяется

Z= А + В· i= cos

+i sin?

Т.к Z =r =

Сложение и умножение комплексных чисел

Геометрическая форма

Алгебраическая форма

Сумма (A+iB) + (C+iD)= (A+C)+(B+D)I

Произведение Z1= r1 (cos ?1+ i sin ?1) Z2= r2(cos ?2+ i sin ?2) Z1 ·Z2= r1r2[cos( ?1+ ?2)+isin ( ?1+ ?2)]

Произведение (A+iB) · (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC)i

Если Z 1= Z2, то получим Z

=[r (cos ?+ i sin ?)]?= r? (cos2 ?+ i sin 2?) Z?= Z?·Z=[r (cos ?+ i sin ?)]?·r (cos ?+ i sin ?)= r? (cos3 ?+ i sin 3?)

Формула Муавра

Для любого Z= r (cos ?+ i sin ?)?0 и любого натурального числа n

Число Z называется корнем степени n из числа

(обозначается ), если (*) Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения является корнем степени n из числа ?.

?= ?(cos ?+ i sin ?)

Z= r (cos ?+ i sin ?)

Вторая формула Муавра

Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения

степени n

Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень

Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n-корней.

Пример:

Решить уравнение:

Свойства сложения и умножения

Переместительное свойство: Сочетательное свойство: Распределительные свойство:

Z1 + Z2 = Z1 +Z2

Z1 · Z2 = Z1 ·Z2

(Z1 + Z2 )+Z3 = Z1 +(Z2+Z3)

(Z1 · Z2 ) · Z3 = Z1 ·(Z2 · Z3)

Z1 ·(Z2 + Z3 )= Z1 · Z2+ Z1 · Z3

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Вычитание и деление комплексных чисел

Вычитание – операция, обратная сложению:

Z+ Z2 = Z1

Z+ Z2 +(- Z2 )= Z1 +(- Z2 )

Z= Z1 - Z2 –разность

Деление – операция, обратная умножению:

Z · Z2 = Z1

Разделив обе части на Z2 получим:

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Примеры:

Найти разность и частное комплексных чисел

Решение:

Конец