Квадратное уравнение
<<  Квадратные уравнения Квадратные уравнения  >>
Квадратные уравнения
Квадратные уравнения
Государственный общеобразовательный стандарт
Государственный общеобразовательный стандарт
Цели и задачи урока
Цели и задачи урока
Описание ресурсов для урока
Описание ресурсов для урока
Описание хода урока
Описание хода урока
Азбука квадратного уравнения
Азбука квадратного уравнения
Квадратным уравнением - называется уравнение вида ах2 +вх+с=0,где
Квадратным уравнением - называется уравнение вида ах2 +вх+с=0,где
Неполные квадратные уравнения
Неполные квадратные уравнения
Если с=0
Если с=0
Если В=0
Если В=0
Если В=0 и С=0
Если В=0 и С=0
Полные квадратные уравнения
Полные квадратные уравнения
Алгоритм решения квадратного уравнения:
Алгоритм решения квадратного уравнения:
D < 0 Корней нет
D < 0 Корней нет
B = 2k (четное число)
B = 2k (четное число)
Примеры квадратных уравнений:
Примеры квадратных уравнений:
Примеры решения квадратных уравнений по формуле
Примеры решения квадратных уравнений по формуле
Примеры решения квадратных уравнений по формуле:
Примеры решения квадратных уравнений по формуле:
Примеры решения квадратных уравнений по формуле:
Примеры решения квадратных уравнений по формуле:
Теорема ВИЕТА
Теорема ВИЕТА
Теорема Виета
Теорема Виета
Из истории решения квадратных уравнений
Из истории решения квадратных уравнений
Диофант Александрийский (около 3 в.)
Диофант Александрийский (около 3 в.)
Пригласительный билет
Пригласительный билет
Пригласительный билет
Пригласительный билет
Золотые мысли
Золотые мысли
Домашнее задание:
Домашнее задание:
Тест
Тест
Тест 1. Установите, истинны или ложны следующие утверждения :
Тест 1. Установите, истинны или ложны следующие утверждения :
Тест 2. Выбрать правильный ответ из предложенных вариантов:
Тест 2. Выбрать правильный ответ из предложенных вариантов:
Кроссворд
Кроссворд
1 случай
1 случай
Стихотворение для запоминания формулы
Стихотворение для запоминания формулы
Из истории решения квадратных уравнений
Из истории решения квадратных уравнений
Вывод формулы корней квадратного уравнения ал-Хорезми:
Вывод формулы корней квадратного уравнения ал-Хорезми:
Задача из китайского трактата «Математика в девяти книгах»(примерно II
Задача из китайского трактата «Математика в девяти книгах»(примерно II
Решение задачи о границах города:
Решение задачи о границах города:
Проверь себя ( решение задачи при помощи языка программирования):
Проверь себя ( решение задачи при помощи языка программирования):
Использованная литература:
Использованная литература:
Брахмагупт(около 598-660 г.г.)
Брахмагупт(около 598-660 г.г.)
Евклид (3 в. До н.э.)
Евклид (3 в. До н.э.)
Аль-Хорезми
Аль-Хорезми
Ответы к кроссворду:
Ответы к кроссворду:
Ответы к тесту 1
Ответы к тесту 1
Ответ к тесту 2
Ответ к тесту 2

Презентация на тему: «Квадратные уравнения». Автор: Марина. Файл: «Квадратные уравнения.ppt». Размер zip-архива: 458 КБ.

Квадратные уравнения

содержание презентации «Квадратные уравнения.ppt»
СлайдТекст
1 Квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Презентация разработки урока на конкурс «Лучший учебный план с использованием ресурсов Учебного Интернет-Центра»

Урок ознакомления Алгебра 8 класс .

Разработана учителем математики МОУ СОШ№5 Цукановой Зоей Ивановной.

Выход

Далее

2 Государственный общеобразовательный стандарт

Государственный общеобразовательный стандарт

Выработать умение решать квадратные уравнения и уметь их применять. Изучение материала начинается с решения неполных квадратных уравнений различного вида. Основное внимание уделяется формированию у учащихся умения решать квадратные уравнения с использованием формулы корней. Познакомить учащихся с историей квадратных уравнений.

Назад

Далее

3 Цели и задачи урока

Цели и задачи урока

Назад

Далее

Целью урока является решение следующих задач: - образовательные: обработка способов решения квадратного уравнения, выработка умения выбрать нужный рациональный способ решения; - развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, обще-учебных умений, умение сравнивать и обобщать. - воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры, воспитание чувства ответственности перед товарищами, умение контролировать свои действия. Для осуществления поставленных на урок задач выбраны следующие методы и формы обучения: Методы - наглядный, словесный, частично-поисковый; Формы - общеклассная, индивидуальная, групповая.

4 Описание ресурсов для урока

Описание ресурсов для урока

Презентации; электронные ресурсы; бумага;

Маркеры; иллюстрированный раздаточный материал; таблицы.

Назад

Далее

5 Описание хода урока

Описание хода урока

Тема урока: Урок ознакомления по теме « Квадратные уравнения» Эпиграф урока: « Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх того, и умение» Требования государственного стандарта: На этом занятии даются знания различных способов решения квадратных уравнений. Учащиеся должны уметь верно и рационально решать квадратные уравнения.

Назад

Далее

6 Азбука квадратного уравнения

Азбука квадратного уравнения

7 Квадратным уравнением - называется уравнение вида ах2 +вх+с=0,где

Квадратным уравнением - называется уравнение вида ах2 +вх+с=0,где

х-переменная , а,в,с-некоторые числа , причем а?0 . Числа а,в,с – коэффициенты уравнения. Число а – первый коэффициент, в – второй коэффициент, число с – свободный член.

Квадратные уравнения бывают

Полные

Неполные

8 Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения

Неполные Квадратные уравнения

B=C=0 ax2=0

B=0 ax2+c=0

С=0 ax2+bx=0

Если в квадратном уравнении один из коэффициентов В или С равен 0,или В=С=0,то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

9 Если с=0

Если с=0

Ax2+bx=0 x(ax+b)=0 X=0 или х=- в/а

Пример: 18х?+27х=0 9х(2х+3)=0 9х=0 или 2х+3=0 Х=0 или х=-1,5

10 Если В=0

Если В=0

Ах2+с=0 х2=-с:а , -с:а>0 2 корня

Пример: 4х2-100=0 4х2=100 х? = 25 х1=5 ,х2=-5

11 Если В=0 и С=0

Если В=0 и С=0

Ах2=0 х=0

Примеры: а) 157х2=0, х=0 б) -298х2=0 , х=0 в) 53,7х2=0 , х=0

12 Полные квадратные уравнения

Полные квадратные уравнения

Полные квадратные уравнения-это уравнения,у которых все три коэффициента отличны от 0.

Квадратные уравнения, в которых первый коэффициент равен 1, называются приведенными квадратными уравнениями.

Примеры. 3х2-7х+4=0, 5х2+2=11х, 0,7х2=1,3х+2, х2-8х+15=0

Х2+вх+с=0 ,а#0

13 Алгоритм решения квадратного уравнения:

Алгоритм решения квадратного уравнения:

Ах?+вх+с=0

Если D<0, то

Если D=0, то

Если D>0, то

Уравнение не имеет корней

1 корень

2 корня

Определить коэффициенты а,в,с

Вычислить дискриминант D=в?-4ас

14 D < 0 Корней нет

D < 0 Корней нет

D = 0

D > 0

15 B = 2k (четное число)

B = 2k (четное число)

16 Примеры квадратных уравнений:

Примеры квадратных уравнений:

Например: а) –х?+6х+1,2=0, где а=-1, в=6, с=1,2; б) 5х?-2=0 – неполное квадратное уравнение, где а=5, в=0, с=-2; в) -3х?+7х=0 - неполное квадратное уравнение, где а=-3, в=7, с=0; г) 7х?=0 - неполное квадратное уравнение, где а=7, в=0, с=0; д) х?+4х-12=0 – приведенное квадратное уравнение, где а=1, в=4, с=-12.

17 Примеры решения квадратных уравнений по формуле

Примеры решения квадратных уравнений по формуле

Пример1: 3х?+11х+6=0 а=3; в=11;с=6. D=11?-4·3?6=121-72=49>0 – уравнение имеет 2 корня

18 Примеры решения квадратных уравнений по формуле:

Примеры решения квадратных уравнений по формуле:

Пример2. 9х?-6х+1=0 а=9; в=-6;с=1. D=(-6)?-4?9·1=36-36=0=0 – уравнение имеет 1 корень. Или D = 9 - 1·9 = 0 Х = 3:9 =1/3.

19 Примеры решения квадратных уравнений по формуле:

Примеры решения квадратных уравнений по формуле:

Пример 3: -2х?+3х-5=0 а=-2; в=3;с=-5. D=3?-4·(-2)?5=9-40=-31<0 – уравнение не имеет корней.

20 Теорема ВИЕТА

Теорема ВИЕТА

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком , произведение корней равно свободному члену. x2+px+q=0 х1+х2=-р и х1х2=q

Пример: х2+2х-15=0, х1+х2=-2, х1 х2= - 15 х1=-5 ,х2=3.

21 Теорема Виета

Теорема Виета

X1 и х2 – корни уравнения

X1 и х2 – корни уравнения

22 Из истории решения квадратных уравнений

Из истории решения квадратных уравнений

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский ученый ал-Хорезми (IX в.) в трактате «Китаб аль-джебр валь -мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической интерпретации.

23 Диофант Александрийский (около 3 в.)

Диофант Александрийский (около 3 в.)

Древнегреческий математик. В основном труде «Арифметика» (сохранились 6 книг из 13), дал решение задач, приводящихся к т.н. диофантовым уравнениям, и впервые ввел буквенную символику в алгебру.

24 Пригласительный билет

Пригласительный билет

x2- 7x + 12 = 0

5x2 = 15x

Уравнение

a

b

c

b2 - 4ac

x1

x2

x1+ x2

x1 · x2

5

-7

-6

3

0

-75

25 Пригласительный билет

Пригласительный билет

x2- 7x + 12 = 0

5x2 = 15x

Уравнение

a

b

c

b2 - 4ac

x1

x2

x1+ x2

x1 · x2

1

-7

12

1

4

3

7

12

5x2- 7x - 6 = 0

5

-7

-6

169

2

-0,6

1,4

-1,2

5

-15

0

225

0

3

3

0

3x2 - 75 = 0

3

0

-75

900

5

-5

0

-25

26 Золотые мысли

Золотые мысли

Учиться нелегко, но интересно.

Ян Амос Коменский (1592-1670), чешский педагог, писатель.

27 Домашнее задание:

Домашнее задание:

№ 515, а) б) №518 а), б), д). Выучить все записи в тетради. Учебник : п21, п22, - выучить формулы и правила.

28 Тест

Тест

Тест 1. Установить, истинны или ложны утверждения. Тест 2. Установить верный ответ из числа предложенных.

29 Тест 1. Установите, истинны или ложны следующие утверждения :

Тест 1. Установите, истинны или ложны следующие утверждения :

Ответы давать : да или нет. Время для выполнения – 10 минут. Указание: не выполнять задания 8 и 9. Текст теста:

30 Тест 2. Выбрать правильный ответ из предложенных вариантов:

Тест 2. Выбрать правильный ответ из предложенных вариантов:

Время для выполнения – 15 минут. Указание: не выполнять задания 6 и 7. Текст теста:

31 Кроссворд

Кроссворд

1. Уравнение вида ах?+вх+с=о 2.Квадратные уравнения, у которых первый коэффициент равен 1. 3. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни. 4. Числа а,в и с в квадратном уравнении. 5. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. 6. Равенство, содержащее неизвестное. 7. Неотрицательное значение квадратного корня. 8. Древнегреческий математик, который нашел приемы решения квадратных уравнений без обращения к геометрии. 9. Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0. 10. «Дискриминант» - по-латыни. 11. Коэффициент с квадратного уравнения. 12. Французский математик, который вывел формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов. Если вы разгадаете этот кроссворд верно, то сможете в выделенном вертикальном столбце прочитать термин, относящийся к теме.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

32 1 случай

1 случай

Если a+b+c=0, то х1=1; х2= с/а 2 случай. Если a-b+c=0, то х1=-1; х2= -с/а Нахождение корней приведенного квадратного уравнения: х?+px+q=0. здесь полезно воспользоваться формулой: Формула запоминается надолго, если выучить ее в стихотворной форме:

Это интересно (дополнительные сведения о нахождении корней квадратного уравнения в особых случаях):

33 Стихотворение для запоминания формулы

Стихотворение для запоминания формулы

«Пэ», со знаком взяв обратным, На два мы его разделим. И от корня аккуратно Знаком минут-плюс отделим. А под корнем, очень кстати, Половина «пэ» в квадрате, Минус «ку». И вот решенье Небольшого уравненья.

34 Из истории решения квадратных уравнений

Из истории решения квадратных уравнений

Уравнения 2-ой степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах. Например.

35 Вывод формулы корней квадратного уравнения ал-Хорезми:

Вывод формулы корней квадратного уравнения ал-Хорезми:

Суть его рассуждений видна из рисунка (рассматривается решение уравнения х?+10х=39. Площадь большого квадрата равна (х+5)?. Она складывается из площади х?+10х фигуры, закрашенной голубым цветом, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырех квадратов со стороной 5/2, равной 25. Таким образом, (х+5)?=39+25; х1=3; х2=-13.

5х/2

Х?

5х/2

36 Задача из китайского трактата «Математика в девяти книгах»(примерно II

Задача из китайского трактата «Математика в девяти книгах»(примерно II

в.до н.э.)

«Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу(1 бу=1,6 м) от северных ворот (вне города) стоит столб. Если пройти от южных ворот прямо 14 бу, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?» Решение смотри здесь:

37 Решение задачи о границах города:

Решение задачи о границах города:

Обозначим сторону квадрата через х. Из подобия треугольников BED и ABC (см.рис.) получим: k/0.5x=(k+x+l)/d. Поэтому, чтобы определить неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение х2+(k+l)-2kd=0. В данном случае уравнение имеет вид х2+34х-71000=0, откуда х=25000 бу. Отрицательных корней (в данном случае х=-284) китайские математики не рассматривали, хотя в этом же трактате содержатся операции с отрицательными числами.

l

38 Проверь себя ( решение задачи при помощи языка программирования):

Проверь себя ( решение задачи при помощи языка программирования):

Программа, позволяющая решать квадратные уравнения (язык Turbo Pascal)

39 Использованная литература:

Использованная литература:

Алтынов П.А. Тесты. Алгебра.7-9 – Москва, «Дрофа», 2002 год Макарычев Ю.Н. Алгебра, 8 класс – Москва, «Просвещение», 2000 год Ткачева М.В. Домашняя математика, 8 класс- Москва, «Просвещение», 1996 год Худадатова С.С. Математика в ребусах, кроссвордах – Москва, «Школьная Пресса», 2003 год Энциклопедический словарь юного математика –Москва, «Педагогика», 1985 год Энциклопедия «Я познаю мир. Математика» - Москва, АСТ, 1996 год.

40 Брахмагупт(около 598-660 г.г.)

Брахмагупт(около 598-660 г.г.)

Индийский математик и астроном. Основное сочинение «Усовершенствованное учение Брахмы» («Брахмаспхутасиддханта», 628 г.), значительная часть которого посвящена арифметике и алгебре. Брахмагупта , изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax2 + bх = с, а> 0. (1) В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

41 Евклид (3 в. До н.э.)

Евклид (3 в. До н.э.)

Древнегреческий математик, работал в Александрии. Лавный труд «Начала»(15 книг), содержит основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики.

42 Аль-Хорезми

Аль-Хорезми

Наибольших успехов в математике достиг согдиец Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (то есть, родом из Хорезма - с берегов Сыр-Дарьи). Он работал в первой половине 9 века и был любимцем ученейшего из халифов - Маамуна (сына знаменитого Гаруна ар-Рашида). Главная книга Хорезми названа скромно: "Учение о переносах и сокращениях", то есть техника решения алгебраических уравнений. По-арабски это звучит "Ильм аль-джебр ва"ль-мукабала"; отсюда произошло наше слово "алгебра". Другое известное слово - "алгоритм", то есть четкое правило решения задач определенного типа - произошло от прозвания "аль-Хорезми". Третий известный термин, введенный в математику знаменитым согдийцем - это "синус", хотя в этом деле не обошлось без курьеза. В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх. «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с. «Корни равны числу», т. е. ах = с. «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх. «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с. «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2. Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно,не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

43 Ответы к кроссворду:

Ответы к кроссворду:

1. Квадратное. 2. Приведенное. 3. Равносильное. 4. Коэффициент. 5. Корень. 6. Уравнение. 7. Арифметический. 8. Диофант. 9. Неполное. 10. Различитель. 11. Свободный. 12. Виет. В выделенном столбце : ДИСКРИМИНАНТ

44 Ответы к тесту 1

Ответы к тесту 1

Вариант 1. 1,2,3,4,10-да; 5,6,7 – нет. Вариант 2. 1,3,4,10 – да; 2,5,6,7 - нет

45 Ответ к тесту 2

Ответ к тесту 2

Вариант 1. 1 -г , 2-г , 3 - г, 4 -б , 5 -г . Вариант 2. 1 - в, 2- б , 3 - в, 4 - б, 5 - б .

«Квадратные уравнения»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/kvadratnye-uravnenija-118695.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды