Квадратное уравнение
<<  Квадратные уравнения Квадратные уравнения  >>
Квадратные уравнения
Квадратные уравнения
Из истории решения квадратных уравнений
Из истории решения квадратных уравнений
Из истории решения квадратных уравнений
Из истории решения квадратных уравнений
Квадратным уравнением называется уравнение вида ах
Квадратным уравнением называется уравнение вида ах
Из предложенных уравнений выберите квадратные уравнения
Из предложенных уравнений выберите квадратные уравнения
Неполные
Неполные
Неполные квадратные уравнения
Неполные квадратные уравнения
Решение неполных квадратных уравнений
Решение неполных квадратных уравнений
Решение неполных квадратных уравнений
Решение неполных квадратных уравнений
Если b = 0
Если b = 0
Если b = 0 и c = 0
Если b = 0 и c = 0
Из предложенных уравнений выберите неполные квадратные уравнения
Из предложенных уравнений выберите неполные квадратные уравнения
Алгоритм решения квадратного уравнения
Алгоритм решения квадратного уравнения
Примеры решения квадратных уравнений по формуле
Примеры решения квадратных уравнений по формуле
Примеры решения квадратных уравнений по формуле
Примеры решения квадратных уравнений по формуле
Примеры решения квадратных уравнений по формуле
Примеры решения квадратных уравнений по формуле
Квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 1,
Квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 1,
Будущий преобразователь алгебры Франсуа Виет (1504 – 1603) появился на
Будущий преобразователь алгебры Франсуа Виет (1504 – 1603) появился на
Сейчас нам трудно представить математику без формул и уравнений, но
Сейчас нам трудно представить математику без формул и уравнений, но
Из предложенных уравнений выберите приведенные квадратные уравнения
Из предложенных уравнений выберите приведенные квадратные уравнения
1) х2 + х – 2 = 0 2) х2 + 2х – 3 = 0 3) х2 – 3х + 2 = 0 4) 100х2 + 34х
1) х2 + х – 2 = 0 2) х2 + 2х – 3 = 0 3) х2 – 3х + 2 = 0 4) 100х2 + 34х
Свойства коэффициентов квадратного уравнения
Свойства коэффициентов квадратного уравнения
Устно решить уравнения, применив «открытые» свойства
Устно решить уравнения, применив «открытые» свойства
Решение квадратных уравнений с параметрами
Решение квадратных уравнений с параметрами
Решение квадратных уравнений с параметрами
Решение квадратных уравнений с параметрами
Решение квадратных уравнений с параметрами
Решение квадратных уравнений с параметрами
Решение квадратных уравнений с параметрами
Решение квадратных уравнений с параметрами
Евклид (3 в. до н.э.)
Евклид (3 в. до н.э.)
Диофант Александрийский (около 3 в.)
Диофант Александрийский (около 3 в.)
Брахмагупта (около 598 – 660 г. г.)
Брахмагупта (около 598 – 660 г. г.)
Аль - Хорезми
Аль - Хорезми
В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и
В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и
Решение задач
Решение задач
Решение задач
Решение задач
Решение задач
Решение задач
Домашнее задание
Домашнее задание

Презентация: «Квадратные уравнения». Автор: . Файл: «Квадратные уравнения.ppt». Размер zip-архива: 1507 КБ.

Квадратные уравнения

содержание презентации «Квадратные уравнения.ppt»
СлайдТекст
1 Квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Алгебра 8 класс

2 Из истории решения квадратных уравнений

Из истории решения квадратных уравнений

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Уравнения второй степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во ?? тысячелетии до н. э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например Евклид –при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Приемы решения уравнений без обращений к геометрии дает Диофант Александрийский (??? в.). Задачи, приводящие к квадратным уравнениям рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах.

3 Из истории решения квадратных уравнений

Из истории решения квадратных уравнений

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598г.)

Среднеазиатский ученый аль-Хорезми (?? в.) в трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической интерпретации.

Общее правило решения квадратных уравнений было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487 – 1567). После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 – 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

4 Квадратным уравнением называется уравнение вида ах

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах

+ вх + с = 0, где х – переменная, а, в, с – некоторые числа, причем а ? 0. Числа а, в, с – коэффициенты квадратного уравнения. Число а – первый коэффициент, в – второй коэффициент, с – свободный член.

15х? - 9х + 5 = 0

Старший коэффициент

Второй коэффициент

Свободный член

Определение квадратного уравнения

5 Из предложенных уравнений выберите квадратные уравнения

Из предложенных уравнений выберите квадратные уравнения

6 Неполные

Неполные

Приведенные

Полные

Виды квадратного уравнения

7 Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называется неполным

Неполные квадратные уравнения

b = 0 ax2+c=0

b = c = 0 ax2=0

С = 0 ax2+bx=0

8 Решение неполных квадратных уравнений

Решение неполных квадратных уравнений

9 Решение неполных квадратных уравнений

Решение неполных квадратных уравнений

Если с = 0

Аx2 + bx = 0 х(ax+b) = 0 х = 0 или х = -a/b

Пример: 18х2 + 27х = 0 9х(2х + 3) = 0 9х = 0 или 2х + 3 = 0 х = 0 или х = -1,5

10 Если b = 0

Если b = 0

Ах2 + с = 0 x2 = - с : а , - с : а > 0 2 корня

Пример: 4х2 – 100 = 0 4х2 = 100 х2= 25 х1 = 5, х2 = - 5

Решение неполных квадратных уравнений

11 Если b = 0 и c = 0

Если b = 0 и c = 0

Ах2 = 0 х = 0

Примеры: а) 157х2 = 0 х = 0 б) -298х2 = 0 х = 0 в) 53,7х2 = 0 х = 0

Решение неполных квадратных уравнений

12 Из предложенных уравнений выберите неполные квадратные уравнения

Из предложенных уравнений выберите неполные квадратные уравнения

Решить оставшиеся уравнения

13 Алгоритм решения квадратного уравнения

Алгоритм решения квадратного уравнения

Ах?+вх+с=0

Если D<0, то

Если D=0, то

Если D>0, то

Уравнение не имеет корней

1 корень

2 корня

Определить коэффициенты а,в,с

Вычислить дискриминант D=в?-4ас

14 Примеры решения квадратных уравнений по формуле

Примеры решения квадратных уравнений по формуле

3х? + 11х + 6 = 0

А = 3; в = 11; с = 6

D=11? - 4 · 3· 6 = 121 – 72 = 49 > 0 , уравнение имеет два корня

15 Примеры решения квадратных уравнений по формуле

Примеры решения квадратных уравнений по формуле

9х? - 6х + 1 = 0

A = 9, b = - 6 , c = 1 D=(-6)? - 4 · 9 · 1 = 36 – 36 = 0, уравнение имеет один корень

Х =

16 Примеры решения квадратных уравнений по формуле

Примеры решения квадратных уравнений по формуле

-2х? + 3х – 5 = 0

A = - 2, b = 3, c = - 5 D =3? -4 · (-2) · (-5) = 9 – 40 = -31<0, уравнение не имеет корней

17 Квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 1,

Квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 1,

называется приведенным квадратным уравнением.

Х2 + px + q = 0

Теорема Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема Виета

Х1 + х2 = - р х1 · х2 = q

18 Будущий преобразователь алгебры Франсуа Виет (1504 – 1603) появился на

Будущий преобразователь алгебры Франсуа Виет (1504 – 1603) появился на

свет в маленьком французском городке. В 1560 году он окончил парижский университет и начал адвокатскую практику, через несколько лет перешел на государственную службу, став сначала советником короля Генриха ???, а затем рекетмейстером – докладчиком по ходатайствам. В 1569 году покровитель Виета – король – был убит, и Виет стал служить новому королю. Жизнь его проходила на фоне кровавых событий войны, которую вели две мощные религиозные группировки католиков и протестантов – гугенотов. Достаточно сказать, что он пережил Варфоломеевскую ночь.

Но был небольшой промежуток времени, когда из-за происков врагов Виет был отстранен от военной службы и получил неожиданный досуг.

19 Сейчас нам трудно представить математику без формул и уравнений, но

Сейчас нам трудно представить математику без формул и уравнений, но

именно такой была она для Виета. Виет завершил создание буквенного исчисления, введя обозначения не только для неизвестного и его степени, но и для параметров. Это позволило записать целые классы задач, которые можно решать с помощью одного правила. Он встал у истоков создания новой науки – тригонометрии. Многие тригонометрические формулы, которые ныне изучают в курсе математики средней школы, впервые были записаны Виетом. В 1593 году он первым сформулировал теорему косинусов. Четыре года опалы оказались необычайно плодотворными для Виета. Он работал самозабвенно. По рассказам современников Виет мог просиживать за письменным столом по трое суток подряд. Только иногда забываясь сном на несколько минут. В тот период он начал большой труд, который назвал «Искусство анализа, или Новая алгебра». Книгу он не завершил, но главное, что определило развитие всей математики Нового времени, было написано.

20 Из предложенных уравнений выберите приведенные квадратные уравнения

Из предложенных уравнений выберите приведенные квадратные уравнения

12х?+7х= - 7х?- 2х

Решить оставшиеся уравнения

21 1) х2 + х – 2 = 0 2) х2 + 2х – 3 = 0 3) х2 – 3х + 2 = 0 4) 100х2 + 34х

1) х2 + х – 2 = 0 2) х2 + 2х – 3 = 0 3) х2 – 3х + 2 = 0 4) 100х2 + 34х

– 134 = 0 5) 200х2 – 23х – 177 = 0 6) х2 – х – 2 = 0 7) х2 – 2х – 3 = 0 8) 90х2– 25х -115 = 0

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

22 Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Если в квадратном уравнении ах? + вх + с = 0 сумма коэффициентов а + в + с = 0, то х1 = 1; х2 = с/а

Пример. 5х? - 8х +3 = 0 так как 5 – 8 + 3 = 0, то х1= 1; х2 = 0,6

Если в квадратном уравнении ах? + вх + с = 0 выполняется равенство а + с = в, то х1= -1; х2 = - с/а

Пример. 5х? + 8х +3 = 0 так как 5 + 3 = 8, то х1 = - 1; х2 = - 0,6

.

.

.

23 Устно решить уравнения, применив «открытые» свойства

Устно решить уравнения, применив «открытые» свойства

х 2– 17х - 18 = 0 100х2 – 97х – 197 = 0 2х2 – х – 3 = 0 5х2 – х – 6 = 0. 14х2 – 17х + 3 = 0

, x2=2–

Доп.

, x2=3–

.

24 Решение квадратных уравнений с параметрами

Решение квадратных уравнений с параметрами

Х2 – (2а + 1)х + (а2 + а – 2) = 0

В заданном уравнении в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметрами.

Решить уравнение с параметром – это значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество корней.

25 Решение квадратных уравнений с параметрами

Решение квадратных уравнений с параметрами

Решить уравнение с параметром – это значит определить, при каких допустимых значениях параметров уравнение 1) имеет решения; 2) не имеет решения; 3) установить количество решений; 4) найти вид каждого решения при соответствующих ему значениях параметров.

26 Решение квадратных уравнений с параметрами

Решение квадратных уравнений с параметрами

При каком значении а уравнение 2х2 + ах + 8 = 0 имеет один корень?

Решение

Квадратное уравнение имеет один корень, если D = 0.

D = a2 - 4·2·8 a2 – 4 · 2 · 8 = 0 a2 – 64 = 0 a2 = 64 a1= 8 a2 = - 8 Ответ: при а = 8, и при а = - 8 уравнение имеет один корень

27 Решение квадратных уравнений с параметрами

Решение квадратных уравнений с параметрами

В уравнении х2 + рх + 56 = 0 один из корней равен – 4, найдите другой корень этого уравнения и коэффициент р.

Решение

х1+ х2 = - р х1· х2 = 56 т. к. х1 = - 4, то х2 = - 14 - р = х1 + х2 = - 4 + (- 14) = - 18 р = 18 Ответ: х2 = - 14, р = 18.

28 Евклид (3 в. до н.э.)

Евклид (3 в. до н.э.)

Древнегреческий математик, работал в Александрии. Главный труд «Начала»(15 книг), содержит основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики.

29 Диофант Александрийский (около 3 в.)

Диофант Александрийский (около 3 в.)

Диофант - древнегреческий математик из Александрии (возможно, что он был эллинизированный вавилонянин). Мы очень мало знаем о нем. Автор трактата Арифметика в 13 книгах(сохранились 6 книг) посвященного главным образом исследованию неопределенных уравнений (т.н. диофантовых уравнений). Одним из первых Диофант стал использовать при записи алгебраических рассуждений специальные знаки. На результаты, полученные Диофантом, впоследствии опирались Ферма, Эйлер, Гаусс и др.

30 Брахмагупта (около 598 – 660 г. г.)

Брахмагупта (около 598 – 660 г. г.)

Последний и наиболее выдающийся из древних индийских математиков и астрономов. Родом из Удджайна в Средней Индии, где у него была астрономическая обсерватория. В 628 г. изложил четвертую индуистскую астрономическую систему в стихотворной форме в сочинении Открытие Вселенной (Брахма-спхута-сиддханта). Две его главы посвящены математике, в том числе арифметической прогрессии и доказательству различных геометрических теорем. Остальные 23 главы посвящены астрономии: в них описаны фазы Луны, соединения планет, солнечные и лунные затмения, даны расчеты положений планет. Труд Брахмагупты был переведен на арабский язык и таким образом попал в Египет, а оттуда в Европу. Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к форме ах2 + bх = с, а > 0. В данном уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

31 Аль - Хорезми

Аль - Хорезми

Мухаммад ибн Муса Хорезми (ок. 783 – ок. 850) – великий персидский математик, астроном и географ, основатель классической алгебры. Сведений о жизни ученого сохранилось крайне мало. Значительный период своей жизни он провел в Багдаде, возглавляя при халифе аль-Мамуне (сыне знаменитого Гаруна аль-Рашида) библиотеку «Дома мудрости». Согдиец Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (то есть, родом из Хорезма - с берегов Сыр-Дарьи) работал в первой половине 9 века. Главная книга Хорезми названа скромно: "Учение о переносах и сокращениях", то есть техника решения алгебраических уравнений. По-арабски это звучит «Китаб аль-джебр валь-мукабала"; отсюда произошло наше слово "алгебра". Другое известное слово - "алгоритм", то есть четкое правило решения задач определенного типа - произошло от прозвания "аль-Хорезми". Третий известный термин, введенный в математику знаменитым согдийцем - это "синус".

Памятник аль-Хорезми в Тегеранском университете.

32 В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и

В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и

квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх. «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с. «Корни равны числу», т. е. ах = с. «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх. «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с. «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с = ах2. Для аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами аль-джабр и валь-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

33 Решение задач

Решение задач

Индусская задача из Бхасхары (1114г.). Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на три, спрятался в гроте; одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян?

Решение. Пусть было х обезьян.

- Не удовл. Усл. Задачи

Ответ: 50 обезьян

34 Решение задач

Решение задач

Индусская задача из Бхасхары (1114г.). На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась; Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали. Вместе сколько, ты мне скажешь, Обезьян там было в роще?

Решение

Пусть было х обезьян

Х = 48 или х = 16

35 Решение задач

Решение задач

Задача Безу (XVIII в.). Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал ее за 24 пистоля. При этом он потерял столько процентов своих денег, сколько стоила ему лошадь. За какую сумму денег была куплена лошадь первоначально?

Решение Пусть х пистолей стоила лошадь, 1% - пистолей потерял х%, т. е. известно, что продал ее за 24 пистоля. Лошадь стоила или х пистолей. Составляем уравнение: х = 60 или х = 40

Ответ: за 60 или 40 пистолей

36 Домашнее задание

Домашнее задание

Подготовиться к контрольной работе.

Задача из китайского трактата «Математика в девяти книгах» (примерно II в.до н.э) «Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу(1 бу=1,6 м) от северных ворот (вне города) стоит столб. Если пройти от южных ворот прямо 14 бу, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?»

«Квадратные уравнения»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/kvadratnye-uravnenija-153800.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды