Квадратное уравнение
<<  Квадратные уравнения Квадратные уравнения  >>
Квадратные уравнения
Квадратные уравнения
Цель:
Цель:
1.Квадратные уравнения
1.Квадратные уравнения
Квадратное уравнение
Квадратное уравнение
Т!
Т!
Неполные квадратные уравнения
Неполные квадратные уравнения
Метод выделения полного квадрата
Метод выделения полного квадрата
!
!
Пример: решите квадратное уравнение x2+2x-3=0 методом выделения
Пример: решите квадратное уравнение x2+2x-3=0 методом выделения
Формула квадратного уравнения
Формула квадратного уравнения
Аx2+bx+c=0,если b-чётное число, b=2m , a
Аx2+bx+c=0,если b-чётное число, b=2m , a
О!
О!
Теорема Виета
Теорема Виета
Пример : один из корней уравнения x2-14x-15=0 положителен
Пример : один из корней уравнения x2-14x-15=0 положителен
Теорема , обратная теореме Виета
Теорема , обратная теореме Виета
О!
О!
Т!
Т!
Уравнения , сводящиеся к квадратным
Уравнения , сводящиеся к квадратным
Решите уравнение: , О.Д.З.:х
Решите уравнение: , О.Д.З.:х
Решите уравнение: О.Д.З.:х
Решите уравнение: О.Д.З.:х
Решите уравнение: Решение: х2+7х+12=0 х1,2=-7/2±1/2 х1=-4 и х2=-3 ,
Решите уравнение: Решение: х2+7х+12=0 х1,2=-7/2±1/2 х1=-4 и х2=-3 ,
Занимательные задачи
Занимательные задачи
Стая обезьян
Стая обезьян
Решение: решим эту задачу с помощью уравнения
Решение: решим эту задачу с помощью уравнения
Задание: Записать ряд из пяти последовательных чисел , сумма квадратов
Задание: Записать ряд из пяти последовательных чисел , сумма квадратов
Пчелиный рой
Пчелиный рой
Решение: Пусть всего пчёл было х , тогда : Решим это уравнение:
Решение: Пусть всего пчёл было х , тогда : Решим это уравнение:
Какие числа
Какие числа
Если вам скажут :“ Квадратное уравнение , дискриминант которого меньше
Если вам скажут :“ Квадратное уравнение , дискриминант которого меньше
Задание: в уравнении 4х2–15х+4m2=0 , найти m так , чтобы один корень
Задание: в уравнении 4х2–15х+4m2=0 , найти m так , чтобы один корень
Задание: найти сумму квадратов корней уравнения ax2+bx+c=0 , не находя
Задание: найти сумму квадратов корней уравнения ax2+bx+c=0 , не находя
Проверь себя №1
Проверь себя №1
Проверь себя №2
Проверь себя №2
Проверь себя №3
Проверь себя №3
Проверь себя №4
Проверь себя №4
Правильный ответ
Правильный ответ
Правильный ответ
Правильный ответ
Правильный ответ
Правильный ответ
Правильный ответ
Правильный ответ
Неправильный ответ
Неправильный ответ
Неправильный ответ
Неправильный ответ
Неправильный ответ
Неправильный ответ
Неправильный ответ
Неправильный ответ
Доказательство: ax2+bx+c=0 ax2+2mx+c=0 D=4m2-4ac=4(m2-ac)
Доказательство: ax2+bx+c=0 ax2+2mx+c=0 D=4m2-4ac=4(m2-ac)
Доказательство: х1= -p/2 +
Доказательство: х1= -p/2 +
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство: х2=d, d>0 х 2- d=0 d=(
Доказательство: х2=d, d>0 х 2- d=0 d=(
Список используемого материала: 1. “Алгебра 8 класс” Виленкин Н.Я
Список используемого материала: 1. “Алгебра 8 класс” Виленкин Н.Я

Презентация на тему: «Квадратные уравнения». Автор: АНДРЕЙ. Файл: «Квадратные уравнения.ppt». Размер zip-архива: 778 КБ.

Квадратные уравнения

содержание презентации «Квадратные уравнения.ppt»
СлайдТекст
1 Квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2

Автор разработки Чумичева И.Б., учитель математики

2 Цель:

Цель:

образовательные: углубить знания по теме «Квадратные уравнения»,вывести и доказать формулы корней квадратного уравнения, сформулировать умения применять формулы в решении задач; развивающие: развивать умения в нахождении корней квадратного уравнения, абстрагировать и обобщать, развивать навыки самоконтроля; воспитательные: воспитывать волю и настойчивость для решения поставленной задачи

3 1.Квадратные уравнения

1.Квадратные уравнения

Определение , примеры. 2.Неполные квадратные уравнения. 3.Метод выделения полного квадрата . Вывод формулы корней квадратных уравнений . Решение квадратных уравнений. 4.Приведённое квадратное уравнение. 5.Теорема Виета. 6.Теорема , обратная теореме Виета. 7.Разложение квадратного трёхчлена на множители. 8.Уравнения сводящиеся к квадратным. 9.Занимательные задачи. 10.Список используемого материала.

4 Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

О!

Квадратным уравнением называется уравнение ax2+bx+c=0, где a,b,c- заданные числа, a?0. x- неизвестное, a- первый или старший коэффициент, b- второй коэффициент, с- свободный член. Например: х2+7x-24=0 4x2-x+5=0 2x2+6x=x2+3x+9

Далее

На главную

5 Т!

Т!

Уравнение x2=d, где d>0, имеет два корня: x1=?d x2= -?d

Пример: решите уравнение x2=25. Решение: x2=25 х1,2=±?25 x1= 5 x2 = - 5 Ответ: х1=5, х2= - 5

Проверь себя №1

На главную

6 Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения

О!

Квадратное уравнение ax2+bx+c=0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или c равен 0. Ax2=0 , (b=c=0) ax2+c=0 , (b=0) а?0 ax2+b=0 , (c=0).

Например: 3х2=0 х2-6х=0 9х2-81=0 (х2-9)/(х-3)=0

На главную

7 Метод выделения полного квадрата

Метод выделения полного квадрата

Ax2+bx+c=0 , a ? 0 , /а

-c

x2+

=

a

2bx

Х2+

+

=

+

2a

На главную

8 !

!

B2-4ac=d - дискриминант

Если b2-4ac?0, то:

- Мы вывели формулу корней квадратного уравнения.

9 Пример: решите квадратное уравнение x2+2x-3=0 методом выделения

Пример: решите квадратное уравнение x2+2x-3=0 методом выделения

полного квадрата. Решение: x2+2x-3=0 x2+2x=3 x2+2x+1=3+1 (x+1)2=4 , из этого следует : x+1=2 , или x+1=-2 , x1=1 x2= - 3 Ответ: х1=1, х2= - 3

На главную

10 Формула квадратного уравнения

Формула квадратного уравнения

!

Если b2-4ac<0, то уравнение ax2+bx+c=0 не имеет действительных корней, если b2-4ac>0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет два действительных корня, если b2-4ac=0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет два равных корня (x1=x2)

Проверь себя №2

На главную

11 Аx2+bx+c=0,если b-чётное число, b=2m , a

Аx2+bx+c=0,если b-чётное число, b=2m , a

0 , m2-ac?0

То

Доказательство

На главную

12 О!

О!

x2+px+q=0 – приведённое квадратное уравнение , (ax2+bx+c=0, где a=1) Любое квадратное уравнение аx2+bx+c=0 может быть приведённым , если разделить обе части на а , а?0 или

13 Теорема Виета

Теорема Виета

Т!

Если x1и x2 - корни уравнения x2+px+q=0,то справедливы формулы : x1+x2=-p x1x2=q т.е. сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту , взятому с противоположным знаком , а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство

Далее

На главную

14 Пример : один из корней уравнения x2-14x-15=0 положителен

Пример : один из корней уравнения x2-14x-15=0 положителен

Не решая уравнения , определить знак второго корня. Решение: По теореме Виета: x1x2= -15<0 , пусть x1>0 ( по условию ),тогда x2<0. Ответ : x2<0

На главную

15 Теорема , обратная теореме Виета

Теорема , обратная теореме Виета

Т!

Если числа p , q ,х1, x2 – таковы, что x1+x2=-p , x1x2=q , то x1 и x2 - корни уравнения x2+px+q=0.

Доказательство: х2+px+q=0 х1+x2=-p , x2x1=q х2-x(x1+x2)+x1x2=x2-xx1-xx2+x1x2=x(x-x1)-x2(x-x1)=(x-x1)(x-x2), т.е. х2+px+q=(x-x1)(x-x2)

16 О!

О!

Многочлен ax2+bx+c=0 , где а ? 0 , называют квадратным трёхчленом. Его можно разложить на множители способом группировки. Теорема: если x1 и x2 - корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0 , то при всех x справедливо равенство: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

Доказательство

Далее

На главную

17 Т!

Т!

Теорема: если квадратное уравнение ах2+bx+c=0 имеет корни х1 и х2 , то справедливо тождество ax2+bx+c=а(х-х1)(х-х2). В случае , когда уравнение имеет лишь один корень х1 , справедливо тождество ax2+bx+c=a(x-x1)2 . Если уравнение не имеет корней , то квадратный трёхчлен ax2+bx+с не разлагается на множители .

Аx2+bx+c=a(x-x1)2 , если D=0 аx2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) , если D>0

Проверь себя №4

На главную

18 Уравнения , сводящиеся к квадратным

Уравнения , сводящиеся к квадратным

О!

Уравнение ax4+bx2+c=0 , где а?0 , называют биквадратным. Решите биквадратное уравнение: 9х4+5х2-4=0. Решение: пусть х2=t , тогда x4=t2 , отсюда: 9t2+5t-4=0 D=25+4?4?9=169 t1=-1 , t2=8/18=4/9 x2= -1- не может быть x2=4/9 из этого следует x1,2=±2/3 Ответ: х1,2= ± 2/3

На главную

19 Решите уравнение: , О.Д.З.:х

Решите уравнение: , О.Д.З.:х

-2 , х ?3 Решение : , |? (х+2)(х-3), получим: 3(х-3)-4(х+2)=3(х+2)(х-3) 3х-9-4х-8=3х2+6х-9х-18 -х-17=3х2-3х-18 3х2+х+17-18-3х=0 3х2-2х-1=0 х1=1 х2=-1/3 Ответ: х1=-1/3 и х2=1

На главную

20 Решите уравнение: О.Д.З.:х

Решите уравнение: О.Д.З.:х

1 и х?2 Решение: умножим данное уравнение на (х-1)(х-2) 1+3(х-2)=(3-х)(х-1) 1+3х-6=3х-3-х2+х 1-6-х+х2+3=0 х2-х-2=0 х1,2=1/2±3/2 х1=2 х2=-1 х1=2-не подходит по О.Д.З. Ответ : х=-1. Корень х=2 - посторонний . При решении уравнения , содержащего неизвестное в знаменателе дроби , необходима проверка.

На главную

21 Решите уравнение: Решение: х2+7х+12=0 х1,2=-7/2±1/2 х1=-4 и х2=-3 ,

Решите уравнение: Решение: х2+7х+12=0 х1,2=-7/2±1/2 х1=-4 и х2=-3 ,

х2+7х+12=(х+4)(х+3) , |?(х+4)(х+3) О.Д.З.:х?-4 , х?-3;получим: (х+7)(х+3)-(х+4)+1=0 х2+7х+21+3х-х-4+1=0 х2+9х+18=0 х1,2=-9/2±3/2 х1 = -6 х2=-3 – не подходит по О.Д.З. Ответ: х = -6

На главную

22 Занимательные задачи

Занимательные задачи

1.Стая обезьян. 2.Ряд чисел. 3.Пчелиный рой. 4.Какие числа? 5.Интересное о дискриминанте. 6.Квадратное уравнение. 7.Теорема Виета.

На главную

23 Стая обезьян

Стая обезьян

На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась; Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали. Вместе сколько, ты мне скажешь , Обезьян там было в роще?

Решение

24 Решение: решим эту задачу с помощью уравнения

Решение: решим эту задачу с помощью уравнения

Пусть х обезьян было в роще , тогда по условию (х/8)2+12=х. Решим это уравнение (х/8)2+12=0 1/64х2-х+12=0 , умножим это уравнение на 64 и получим: х2-64х+768=0 х1,2=32± ?1024-768 х1,2=32± ?256 х1=32+16=48 х2=32-16=16 Ответ: в роще было 16 или 48 обезьян.

25 Задание: Записать ряд из пяти последовательных чисел , сумма квадратов

Задание: Записать ряд из пяти последовательных чисел , сумма квадратов

первых трёх из которых равна сумме квадратов двух последних . Решение: Пусть х – первое число , тогда : х2+(х+1)2+(х+2)2=(х+3)2+(х+4)2 х2+х2+2х+1+х2+4х+4=х2+6х+9+х2+8х+16 х2+1+4– 9 –8х – 16=0 х2 – 8х – 20=0 х1,2=4± ?16+20 х1=4+6=10 х2=4–6 Ответ: существует два ряда чисел , обладающих требуемым свойством : 1 ряд : 10;11;12;13;14. 2 ряд : - 2; - 1;0;1;2.

26 Пчелиный рой

Пчелиный рой

Пчёлы в числе , равном квадратному корню из половины всего их роя , сели на куст жасмина , оставив позади себя 8/9 роя . И только одна пчёлка из того же роя кружится возле лотоса , привлечённая жужжанием подруги , неосторожно попавшей в западню сладко пахнущего цветка . Сколько всего было пчёл в рое?

Решение

27 Решение: Пусть всего пчёл было х , тогда : Решим это уравнение:

Решение: Пусть всего пчёл было х , тогда : Решим это уравнение:

х/2=у , х=2у2 у+ +2=2у2 – |? 9; 9у+16у2+18-18у2=0 9у-2у2+18=0 – |? (-1) 2у2-9у-18=0 D=81+4?2?18=81+144=225 у1,2= у1=-6/4 у2=6 х1=2(-6/4)2=2(-3/2)2=2?9/4=4,5 , но число пчёл – натуральное, следовательно 4,5 – не подходит. х2=2?62=2?36=72 Ответ: всего было 72 пчёл в рое .

28 Какие числа

Какие числа

Задание: найти три последовательных числа , отличающихся тем свойством , что квадрат среднего на 1 больше произведения двух остальных . Решение: (х-1) и х и (х+1) х2 - (х-1)(х+1)=1 х2-х2+1=1 Ответ : можно взять любы последовательные числа.

29 Если вам скажут :“ Квадратное уравнение , дискриминант которого меньше

Если вам скажут :“ Квадратное уравнение , дискриминант которого меньше

нуля , не имеет решения ” , можете уточнить : “ Не имеет решения в действительных числах , в комплексных же имеет целых два ”. Пример: х2–2х+5=0 х1,2=1± ? (1-5 ) х1,2=1± ? (- 4 ) х1=1+2i x2=1– 2i Ответ: х1=1+2i x2=1–2i

30 Задание: в уравнении 4х2–15х+4m2=0 , найти m так , чтобы один корень

Задание: в уравнении 4х2–15х+4m2=0 , найти m так , чтобы один корень

был квадратом другого . Решение: х1=х22 (4m2)/4=х?х2 , значит m2=x3 , m=± ?(x3)=±x ?(x) . х+х2=15/4 х =(15–4х2)/4 4х=15–4х2 4х2+4х–15=0 х1,2=(–2± ?4+4?15 )/4 х1,2=(-2±8)/4 х1=-10/4 – не натуральное число под корнем . х2=6/4=3/2 m=±3/2 ?(3/2) Ответ: m=±3/2 ?(3/2)

31 Задание: найти сумму квадратов корней уравнения ax2+bx+c=0 , не находя

Задание: найти сумму квадратов корней уравнения ax2+bx+c=0 , не находя

его корней. Решение: x1+х2=- b/x x1?x2 =c/a x2+bx/a+c/a=0 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-b/a)2-2c/a=b2/a2-2c/a=(b2-2ac)/a2 Ответ:х12+х22=(b2-2ас)/а2

32 Проверь себя №1

Проверь себя №1

1.Как будет выглядеть квадратное уравнение , если известны его коэффициенты а=2 , b=7 , с=-1 ? 1)2х2+7х+1=0 2)2х2+7х – 1=0 3)7х2+2х – 1 =0 2.Найдите корни уравнения х2=289 . Какой из них является арифметическим? 1)х=17 , это арифметический корень 2)х= -17 , это арифметический корень 3)х1=17, это арифметический корень ; х2=-17 3.Решите уравнение х2= – 16 1)х1,2=±4 2)х= –4 3) нет действительных корней

33 Проверь себя №2

Проверь себя №2

1.Чему равен дискриминант уравнения 2х2+3х+1=0 1)D=9 2)D=17 3)D=1 2.Не решая уравнения 4х2– 7х –2=0 , скажите , сколько корней оно имеет ? 1)данное уравнение имеет один корень 2)данное уравнение имеет два действительных корня 3)данное уравнение не имеет действительных корней 3.Продолжите фразу :» Если дискриминант меньше нуля , то …» 1)уравнение не имеет решения 2)уравнение не имеет действительных корней 3)уравнение имеет два равных корня

34 Проверь себя №3

Проверь себя №3

1.Один из корней уравнения х2 –15х +14=0 равен 1 .Чему равен второй корень ? 1) 14 2) 15 3) –15 2.Не решая уравнения х2+2х – 80=0 , найдите сумму и произведение его корней . 1)х1+х2= – 80 ; х1х2 =2 2)х1+х2= – 2 ; х1х2= – 80 3)х1+х2= 80 ; х1х2 =2

3.Как будет выглядеть приведённое квадратное уравнение , если известны его корни : х1=5 , х2=2 ? 1)х2–7х +10=0 2)х2+10х +7=0 3)х2–7х –10=0

Назад

35 Проверь себя №4

Проверь себя №4

1.Если 2х2+х-3=2(х-1)(х+3/2) ,то какие корни будет иметь уравнение 2х2+х-3=0 ? 1)х1=-1 ,х2=-3/2 2)х1=-1 ,х2=3/2 3)х1=1 ,х2=-3/2 4)х1=1 ,х2=3/2 2.Разложите на множители квадратный трёхчлен х2- 15х+26 , если решением уравнения х2 - 15х+26 =0 являются корни х1=13 , х2=2 1)(х+13)(х+2) 2)(х-13)(х+2) 3)(х-13)(х-2) 4)(х+13)(х-2)

36 Правильный ответ

Правильный ответ

Проверь себя №1

37 Правильный ответ

Правильный ответ

Проверь себя №2

38 Правильный ответ

Правильный ответ

Проверь себя №3

39 Правильный ответ

Правильный ответ

Проверь себя №4

40 Неправильный ответ

Неправильный ответ

Проверь себя №1

41 Неправильный ответ

Неправильный ответ

Проверь себя №2

42 Неправильный ответ

Неправильный ответ

Проверь себя №3

43 Неправильный ответ

Неправильный ответ

Проверь себя №4

44 Доказательство: ax2+bx+c=0 ax2+2mx+c=0 D=4m2-4ac=4(m2-ac)

Доказательство: ax2+bx+c=0 ax2+2mx+c=0 D=4m2-4ac=4(m2-ac)

45 Доказательство: х1= -p/2 +

Доказательство: х1= -p/2 +

(p/2)2-q + х2= -p/2 - ?(p/2)2-q х1+x2=-2p/2=-p , x1+x2=-p х1x2=(-p/2)2=(?(p/2)2-q)2=(p/2)-(p/2)2+q2=q , x1x2=q

46 Доказательство:

Доказательство:

Пр. часть a(x-x1)(x-x2)=ax2-axx2-axx1+ax1x2=ax2-а(х1+х2)х+ах1х2 х1 и x2 – корни уравнения ax2+bx+c=0, т.е. уравнения x2+bx/a+c/а=0,то по теореме Виета x1+x2=-b/а , x1x2=c/а из этого следует: ax2-a(-b/a)x+ac/а=ах2+bx+c , что и требовалось доказать.

47 Доказательство: х2=d, d>0 х 2- d=0 d=(

Доказательство: х2=d, d>0 х 2- d=0 d=(

d)2 x 2– (?d )2 =0 (x - ?d)(x +?d)=0 x1=?d x2=-?d ,что и требовалось доказать.

48 Список используемого материала: 1. “Алгебра 8 класс” Виленкин Н.Я

Список используемого материала: 1. “Алгебра 8 класс” Виленкин Н.Я

Москва “Просвещение” 2001год 2. “Алгебра 8 класс” Алимов Ш.А. Москва “Просвещение” 1994 год 3.Энциклопедия для детей “ Математика” том 11 Москва “Аванта+” 1998 год 4.“Сборник задач московских математических олимпиад ” Г.И.Зубелевич 5.http://office.microsoft.com – картинки 6. “Информатика в видеосюжетах” Л.Ф.Соловьёва Санкт-Петербург “БХВ-Петербург” 2002 год

«Квадратные уравнения»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/kvadratnye-uravnenija-263580.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды