Линейная функция

Линейная функция

И ее график

Рассмотрим преобразования линейного уравнения ax + by + с = 0; (1) by

= - ax – c ; - ax – c ; b

y =

y = -

a b

x -

c b.

Введя обозначения - = k, - = m, получаем y = kx + m.

a b

c b.

Таким образом, линейное уравнение (1) с двумя переменными x и y всегда можно преобразовать к виду y = kx + m, (2) где k, m – числа (коэффициенты), причем k ? 0.

Этот частный вид линейного уравнения будем называть ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИЕЙ .

?

Т

Линейная функция – это специальный вид линейного уравнения с двумя переменными. Графиком уравнения y = kx + m, как всякого линейного уравнения с двумя переменными, является прямая – ее называют также графиком линейной функции y = kx + m

Х y

x – НЕЗАВИСИМАЯ ПЕРЕМЕННАЯ(или аргумент), y – ЗАВИСИМАЯ ПЕРЕМЕННАЯ

0 3

1 5

-1 1

3 9

Пусть, например, y = 2x + 3. Тогда : если x = 0, то y =3;

Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у = 2х + 3, соответственно, в точках :х = 0, х = 1, х = -1, х=3

Пример 1

Решение.

Построить график линейной функции у = 2х +3

Составим таблицу:

03

Х у

1 5

Построим на координатной плоскости точки (0;3) и (1;5)

И проведем через них прямую

У = 2х + 3

?

1

Ежедневно привозили

Сколько угля будет на складе через 2, 4, 10 дней?

У= 30х + 500 – линейная функция есть математическая модель ситуации

Теперь нетрудно установить, что :

Если х = 2, то у = 560

Если х = 4, то у = 620

Если х = 10, то у = 800

Пусть х – количество дней, то у – количество угля на складе (в тоннах)

Ограничение на х

2

На каком расстоянии от А будет турист через 2ч, 4ч, 5ч ходьбы?

Математической моделью ситуации является линейная функция y =15 + 4x, где

х – время ходьбы (ч.), у – расстояние от А (км).

Если х = 2, то у = 23

Если х = 4, то у = 31

Если х = 5, то у = 39

0

6

Х

В задаче ? независимая переменная х может принимать только значения 1, 2, 3, …, поскольку х – число дней

Следовательно , уточненная математическая модель первой ситуации : у = 30х + 500, где х – натуральное число.

В задаче ? независимая переменная х теоретически может принимать любое неотрицательное значение х=0, х=2, х=3,5 …

Например,

А что является геометрической моделью данного нестрогого двойного неравенства?

Отрезок [0 ; 6]

Значит уточненная модель выглядит так : у = 15 + 4х, где х?[0 ; 6]

у = kx + m, х?Х

Пример 2

Решение.

Построить график линейной функции: y = -2x + 1, х?[-3 ; 2]

Составим таблицу для линейной функции: y = -2x +1

(-3; 7) и (2; -3)

Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции на [-3 ; 2]

7 – наибольшее значение линейной функции y = -2x + 1

Унаиб = 7

-3 – наименьшее значение

Унаим = -3

Х?[-3 ; 2)

Х?(-? ; 1]

?

Пример 3.

А) у = 0 при х = 3

Б) у ? 0 при х ? 3

В) у ? 0 при х ? 3

А) уравнение 2х – 6 = 0 (получили х = 3)

Б) неравенство 2х – 6 ? 0 (получили х ? 3)

В) неравенство 2х – 6 ? 0 (получили х ? 3)

С помощью графика линейной функции у = 2х - 6 ответить на вопросы: а) при каком значении х будет у = 0 ? б) при каких значениях х будет у ? 0 ? в) при каких значениях х будет у ? 0 ?

Если х ? 3 , то прямая расположена выше оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны

Если х ? 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны

Если k > 0, то линейная функция у = kx + m возрастает

Если k < 0, то линейная функция у = kx + m убывает

Подведем

Итог

Y = kx + m – это частный вид линейного уравнения с двумя переменными

ax + by + с= 0, который называется л и н е й н о й ф у н к ц и е й

Графиком линейной функции y = kx + m является п р я м а я

Узнали, как найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции y = kx + m

Узнали в каких случаях линейная функция y = kx + m в о з р а с т а е т или у б ы в а е т