Презентация на тему «Линейная функция и ее график»

Линейная функция и ее график

Функция вида y = k x + b

Определение. Функция вида y = k x+ b, где: x – независимая переменная, y – зависимая переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной. Область определения функции: x – любое действительное число. Область значений функции: y – любое действительное число. График линейной функции – прямая.

II

I

III

IV

Построение графика линейной функции y = k x + b

x2

Y = k x + b

y1

•

X1 задаем,

Y1 вычисляем

x2

По формуле: y1 = k x1+ b

x1

X2 задаем,

y2

•

У2 вычисляем

По формуле: у2 = k x2 + b

Из геометрии известно, что через две точки проходит только одна прямая, поэтому, для того чтобы построить график функции y = k x + b, достаточно построить две точки графика, а затем провести через эти точки прямую.

У1

У2

X1

Построение графика функции y = k x, b = 0

Задаем x1, вычисляем y1:

y1

•

y1 = k x1

x1

Так как начало координат (точка с координатами x = 0, y = 0) принадлежит графику функции y = k x, то для построения этого графика достаточно найти еще одну точку ( x1, y1) и провести через эти две точки прямую.

Построение графика функции y = k x при к > 0, b = 0

y

x

y

1) От числа K зависит угол наклона прямой к оси абсцисс (к ОX).

II

y

I

Y = k x

III

I

.k = 1,

X

x

0

II. K = 2, y = 2 x

y

III. K = 0,5; y = 0,5 x

x

2) Чем больше К, тем больше угол наклона.

3) При К > 0 и b = 0 прямая проходит через | и ||| четверти.

4

У = x

2

0

2

1

k2

k3

0

2

2

0

2

0

4

0

2

0

1

k1

Построение графика y = k x, k < 0, b = 0

x 0 2 y 0 -2

Y=k x

I. k = -1, y = -x

К3

II. k = -2, y = -2 x x 0 2 y 0 -4

III

III. K = -0,5; y = -0,5 x x 0 2 y 0 -1

I

II

k1

k2

·

·

Построение графика функции y = k x + b, k > 0, b < 0, b = 0,b > 0.

I

I. Y = 1,5 x - 2

II

2

III

x

0

y

1

-2

II.Y = 3k

•

x 0 1

y 0 3

B

•

III. Y = 0,5 x + 1,5

•

•

x 0 -3

y 1,5 0

Прямая I пересекает ось OY в точке A(0; -2),

A

Прямая II – в точке O (0; 0),

Прямая III – в точке B ( 0; 1,5 )

Прямая Y= k x + b пересекает ось OY

В точке с координатами ( 0; b ).

Построение графика функции y = k x + b, k < 0, b < 0, b = 0, b > 0

II

y

I. Y = -1,5 x - 2

I

x 0 -2

III

y -2 1

3

II. Y = -3 x

x 0 -1

1,5

y 0 3

1

x

-1

III. Y = - 0,5 x + 1,5

-2

0

x 0 2

y 1,5 0,5

-2

Прямая I пересекает ось OY в

Точке (0; -2), прямая II – в точке (0;0),

Прямая III – в точке (0; 1,5).

Прямая y = k x+ b пересекает ось OY

В точке с координатами ( 0; b).

2

Построение графика функции y = k x + b, k > 0, k1 = k2 = = kn

y

I

II

III

I. Y = 1,5 x + 3

x 0 -3

3

y 3 -1,5

y = 1,5 x

II.

1,5

x 0 1

1

x

y 0 1,5

-3

0

1

2

III. y = 1,5 x - 2

-1,5

x 0 2

-2

y -2 1

K – коэффициент наклона прямой

К оси OY, поэтому, если k1 = k2 = = k n

Прямые параллельны.

•

•

•

•

•

Построение графика функции y = k x + b, k < 0, k1= k2 = k3 = = k n

y

I

II

I. y = -2 x + 1,5

III

x 0 2

y 1,5 -2,5

II. y = -2 x

2,5

x 0 2

1,5

y 0 -4

x

0

III. y = -2 x - 1,5

-2

2

-1,5

x 0 -2

5

y -1,5 2,

-2,5

-4

Прямые параллельны, так как коэффициенты наклона прямых к оси ОУ равны , т. е. к1= к2= к4 = -2

.

•

•

•

Построение графика линейной функции y = b и x = b

I. y= 3, где k = 0, b = 3 или y= 0 x + 3, следовательно, y = 3 при любом значении х, так как 0Х= 0. Таким образом, прямая y=3 параллельна оси ОХ и пересекает ось ОУ в точке с координатами ( 0; 3). II. x = -1,5 рассматривают как функцию x = 0y – 1,5;где x= -1,5 при любом значении y, так как 0Y= 0 . Прямая x = -1,5 параллельна оси ОУ и пересекает ось ОХ в точке с координатами (-1,5;0). k = 0, b = 3

y

3

Y=3

x

-1,5

0

X= -1,5

Исследование графика линейной функции y= k x + b

b = 0

y

I

I. Y = 2 x, .

F

6

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Y -6 -4 -2 0 2 4 6 8

E

4

1) Y =0 при x = 0

D

2

2) y< 0 при x < 0

При k > 0

3) y >0 при x

> 0

x

0

1 2 3 4

-3 -2 -1

-2

C

-4

B

-6

A

Исследование графика линейной функции y = k x + b

y = - 2 x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

6 4 2 0 -2 -4 -6 -8

y

I

I.

6

x

4

Y = 0, при x = 0 y > 0 при x < 0 3) y < 0 при x > 0

2

При

K < 0

x

b = 0

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2

-4

-6

А

В

С

D

E

F

Исследование графика функции y = k x + b, k > 0, b > 0

I. y = 2x +1

•

x

•

y

K

3

F

2

x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1

y -3 -2 -1 0 1 2 3

E

1

1) y = 0 при х = -0,5

-2 -1,5 -1-0,5

2) y >0 при х > -0,5

D

0 0,5 1

3) y <0 при x <-0,5

-1

C

Те значения Х, при которых значения У равны 0, называют нулями функции.

-2

B

-3

У = 0 при х =-0,5

Х = -0,5

A

Нуль функции.

Исследование графика функции у = к х + b, k < 0

I.

I

y

y = - x + 1,5

-3 -2 -1 0 1 1,5 2

3

4,5 3,5 2,5 1,5 0,5 0 -0,5 -1,5

•

x

•

-3 -2 -1 0 1 2 3

4

x

A

4,5

y

-2,5

B

3,5

2,5

Y = 0 при х = 1,5 у > 0 при х < 1,5 3) y < 0 при х > 1,5

C

D

1,5

E

0,5

1,5

•

4

4

F

K

-0,5

-1,5

L

II.

Y = 0 при х - ? y > 0 при х - ? 3) y < 0 при х - ?

-2,5

M

II

Чтение графика функции у = к х + b

I.

y = k x + b b = -1

y = k x - 1

I.

II

B ( 2; 1 ) y = k x -

1 = k 2 - 1

2k = 2

k = 1

3) b = -1, k = 1 y = x -1

II.

По графику найти числа k и b и записать формулу функции.

1)

-

y

2)

1

B

1

x

0

1

Решите задачи

1). Постройте график функции, заданной формулой Найдите по графику: а) значение у, соответствующее значению х, равному ; б) при каком значении х значение у равно ; в) при каком значении х значения у положительны. 2). В одной и той же системе координат постройте графики функций ; . Что произошло с графиком функции Какой числовой коэффициент повлиял на это ? Функция задана графиком ( см. рис.) По графику определите числа к и b и задайте функцию формулой.

1

x

0 1

y