Виды функций
<<  Логарифмическая функция Логарифмическая функция и ее приложения  >>
Кожевникова В.И., учитель математики МОУ «СОШ №8 им
Кожевникова В.И., учитель математики МОУ «СОШ №8 им
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
Эта кривая, такая простая по форме, кажется наполненной каким-то
Эта кривая, такая простая по форме, кажется наполненной каким-то
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
Горный козел архар
Горный козел архар
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
Паутина паука эпейра
Паутина паука эпейра
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
Картина Вермеера «Кружевница»
Картина Вермеера «Кружевница»
Композиция гравюры итальянского графика Маркантонио Раймонди (ок
Композиция гравюры итальянского графика Маркантонио Раймонди (ок
Логарифмическая спираль берет начало в смысловом центре композиции –
Логарифмическая спираль берет начало в смысловом центре композиции –
Картина Брюсова «Последний день Помпеи»
Картина Брюсова «Последний день Помпеи»
Если золотое сечение использовалось художниками для ощущения
Если золотое сечение использовалось художниками для ощущения
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
Идея архимеда
Идея архимеда
Ч т о ж е п р е д с т а в л я ю т с о б о й ч и с л а в е р х н е г о
Ч т о ж е п р е д с т а в л я ю т с о б о й ч и с л а в е р х н е г о
Числа верхнего ряда (ПОКАЗАТЕЛИ СТЕПЕНЕЙ) и называются ЛОГАРИФМАМИ
Числа верхнего ряда (ПОКАЗАТЕЛИ СТЕПЕНЕЙ) и называются ЛОГАРИФМАМИ
Такими средствами в ХV-ХVI вв
Такими средствами в ХV-ХVI вв
Т е м ы д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о и з у ч е н и я:
Т е м ы д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о и з у ч е н и я:
Покровительство логарифмов
Покровительство логарифмов
Ф и з и к а
Ф и з и к а
Информационные ресурсы
Информационные ресурсы
Основополагающий вопрос
Основополагающий вопрос
Что мы узнали из 1-го урока:
Что мы узнали из 1-го урока:
История логарифмов
История логарифмов
Спасибо за урок
Спасибо за урок
Методические рекомендации к проекту урока «История логарифмов»
Методические рекомендации к проекту урока «История логарифмов»
Х о д у р о к а
Х о д у р о к а
5. На информационном уровне познакомить учащихся с информацией на
5. На информационном уровне познакомить учащихся с информацией на

Презентация на тему: «Логарифмическая спираль». Автор: Administrator. Файл: «Логарифмическая спираль.ppt». Размер zip-архива: 1616 КБ.

Логарифмическая спираль

содержание презентации «Логарифмическая спираль.ppt»
СлайдТекст
1 Кожевникова В.И., учитель математики МОУ «СОШ №8 им

Кожевникова В.И., учитель математики МОУ «СОШ №8 им

А.С.Пушкина» г.Черемхово Иркутская обл.

В основу создания модуля положены статьи журнала «Математика в школе»: 1.А.И.Бородин,М.В.Каменская (г.Донецк) К истории логарифмов №5,1991 г. 2.С.В.Белобородова (г.Москва) Педагогическое значение истории математики на примере становления понятия логарифма. №9, 2003 г. 3. С.В.Белобородова (г.Москва) Зачем в школе изучают логарифмы? №8, 2004 г.

2006-2007 уч.Год

Проект урока в курсе «Алгебры и начал анализа», открывающего тему «Логарифмы»

Микромодуль мотивации в технологии личностно-ориентированного урока.

2 Логарифмическая спираль
3 Эта кривая, такая простая по форме, кажется наполненной каким-то

Эта кривая, такая простая по форме, кажется наполненной каким-то

непостижимым смыслом. Математики эту спираль называют логарифмической. Представить её можно следующим образом. Вокруг неподвижной точки (её называют полюсом) вращается прямая, а по прямой движется точка-маркер. Маркер удаляется от полюса со скоростью, пропорциональной от него до полюса. След, оставляемый маркером, и будет логарифмической спиралью. Эту спираль можно описать уравнением в полярных координатах: Из уравнения следует, что логарифм расстояния возрастает прямо пропорционально углу поворота. Впервые о логарифмической спирали говорится в трудах Декарта и Торричелли. Отметим одно интересное (и, наверное, самое известное) свойство логарифмической спирали: любой луч, проведенный из её полюса, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом. Швейцарский математик Яков Бернулли назвал спираль изумительной (spira mirabilis). Он даже завещал высечь её на своем надгробии вместе с латинским изречением «Eadem mutata resurgo» – «Изменённая, возрождаюсь прежней».

4 Логарифмическая спираль
5 Логарифмическая спираль
6 Логарифмическая спираль
7 Горный козел архар

Горный козел архар

8 Логарифмическая спираль
9 Паутина паука эпейра

Паутина паука эпейра

10 Логарифмическая спираль
11 Логарифмическая спираль
12 Логарифмическая спираль
13 Логарифмическая спираль
14 Картина Вермеера «Кружевница»

Картина Вермеера «Кружевница»

«…мне понадобилось размышлять над ней целое лето, чтобы осознать наконец, что я инстинктивно провел на холсте строгие логарифмические кривые…» /Сальвадор Дали/

15 Композиция гравюры итальянского графика Маркантонио Раймонди (ок

Композиция гравюры итальянского графика Маркантонио Раймонди (ок

1480-ок.1534) «Избиение младенца».

16 Логарифмическая спираль берет начало в смысловом центре композиции –

Логарифмическая спираль берет начало в смысловом центре композиции –

«…точке, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза». Разворот спирали подчеркивают такие части композиции, как «арка моста, идущая от головы женщины, - в левой части композиции и лежащее тело ребенка – в её центре».

17 Картина Брюсова «Последний день Помпеи»

Картина Брюсова «Последний день Помпеи»

18 Если золотое сечение использовалось художниками для ощущения

Если золотое сечение использовалось художниками для ощущения

уравновешенности, покоя, то золотая (логарифмическая) спираль, напротив, применялась для выражения тревожных, бурно развивающихся событий. Картина Брюсова «Последний день Помпеи», как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. На картине проведена золотая спираль, по которой располагаются основные фигуры композиции.

19 Логарифмическая спираль
20 Идея архимеда

Идея архимеда

Рассмотрим две прогрессии: арифметическую и геометрическую.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Пример 1. Мы хотим перемножить числа нижнего ряда 16 и 32. Сложим 4 и 5, стоящие над ними в верхнем ряду, будет 9. Спустимся вниз за ответом – 512.

Пример 2. Разделим числа нижнего ряда 256 на 64. Выполним вычитание с числами, стоящими в верхнем ряду: из 8 вычесть 6, будет 2. Спустимся вниз за ответом – 4.

Н о э т о е щ е н е в с е !

Испокон веков люди пытались упростить вычисления: составляли таблицы, вводили приближенные формулы, облегчающие расчеты, пытались заменить сложные операции умножения и деления более простыми – сложением и вычитанием.

21 Ч т о ж е п р е д с т а в л я ю т с о б о й ч и с л а в е р х н е г о

Ч т о ж е п р е д с т а в л я ю т с о б о й ч и с л а в е р х н е г о

р я д а ?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Пример 3. Пусть число 32 нижнего ряда мы задумали возвести в квадрат, т.е. в степень с показателем 2. Над 32 в верхнем ряду стоит 5. Умножим 5 на 2. Получается 10. От числа 10 в верхнем ряду спускаемся вниз за ответом: 1024.

Пример 4. Извлечем корень 4-ой степени из 256. Над ним вверху стоит число 8. Разделим 8 на 4, получим 2. Спускаемся от 2 вниз за ответом: 4.

?

Снова рассмотрим арифметическую и геометрическую прогрессии:

Чтобы выполнить действия с числами нижнего ряда, можно . . .

Выполнять более простые операции с числами верхнего ряда !

22 Числа верхнего ряда (ПОКАЗАТЕЛИ СТЕПЕНЕЙ) и называются ЛОГАРИФМАМИ

Числа верхнего ряда (ПОКАЗАТЕЛИ СТЕПЕНЕЙ) и называются ЛОГАРИФМАМИ

чисел нижнего ряда.

Устные упражнения

1. Номера из учебника….

2.

Объяснение кроется в свойствах степеней. Так, в примере 1

23 Такими средствами в ХV-ХVI вв

Такими средствами в ХV-ХVI вв

явились в первую очередь ЛОГАРИФМЫ и ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ.

Идея Архимеда (ок.287-212 гг. до н.э.) о сопоставлении членов арифметической и геометрической получила развитие не сразу. Пока математикам было достаточно уже имевшихся средств вычислений, они проходили мимо этого удивительного свойства прогрессий.

Н о в э п о х у В о з р о ж д е н и я с и т у а ц и я и з м е н и л а с ь.

Крупнейшие европейские державы стремились к владычеству на море. Для дальних плаваний, для определения положения морских судов по звездам и по Солнцу необходимо было все более развивать астрономию, а значит, и тригонометрию. И, в частности, понадобились более совершенные тригонометрические таблицы.

В связи с нарастающими запросами практики продолжали совершенствоваться астрономические инструменты, увеличивалась точность наблюдений, исследовались планетные движения. Обработка полученных данных требовала колоссальных расчетов и много времени. Следовательно стали необходимы новые средства упрощения вычислений.

24 Т е м ы д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о и з у ч е н и я:

Т е м ы д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о и з у ч е н и я:

Но если в ХVI в. логарифмы появились как средство для упрощения вычислений, то нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложнейшими расчетами? Ведь не изучаются же в современной школе такие старинные средства для упрощения вычислений, как простейшие счетные приборы, не изучаются древние алгоритмы умножения и деления чисел, извлечения квадратных и кубических корней и пр. ТАК ЗАЧЕМ ИЗУЧАЮТ ЛОГАРИФМЫ СЕГОДНЯ?

1. Какими были первые таблицы логарифмов? Кто стоит за ними? 2. Полярная система координат. Логарифмическая спираль. Логарифмические линии в природе. 3. Поворотное растяжение. Применение в технике. 4. Астрономия и физика. Яркость звезд и громкость шума. 5. Психология. Закон Вебера-Фехнера. 6. Современный рояль. Играем на логарифмах. 7. Идея Архимеда и логарифмическая линейка. 8. Число е. 9. Процентные вычисления. Сложные проценты.

25 Покровительство логарифмов

Покровительство логарифмов

Это любопытно !

Логарифмические линии в природе и искусстве. Логарифмическая спираль – символ соотношения формы и роста. Наблюдаем раковину улитки, рога горного козла архара, паутину эпейра, вызревшие семечки подсолнуха, многие галактики, в том числе которой принадлежит Солнечная система. Великий немецкий поэт Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.

М у з ы к а

Нажимая на клавиши современного рояля, мы, можно сказать, играем на логарифмах. Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы (умноженные на 12) числа колебаний соответствующих звуков.

В технике часто применяют вращающиеся ножи. Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т. е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.

26 Ф и з и к а

Ф и з и к а

Астрономия

П с и х о л о г и я

Таким обра-зом:

«Величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов по основанию 2,5.

Наше ухо с разной чувствительностью воспринимает звуки различной частоты. Громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.

При оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума, мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения. Оказывается, что оба эти явления – следствие общего психофизического закона Вебера-Фехнера, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения.

ЛОГАРИФМЫ вторглись и в область ПСИХОЛОГИИ !

27 Информационные ресурсы

Информационные ресурсы

Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. – М.: Наука, 1978. 2. Сальвадор Дали. Триумфальные скандалы. – М.: Берегиня, 1993. 3. Савелов А. А. Плоские кривые. – М.: Физматгиз, 1960. 4. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – Д.: ВАП, 1994. 5. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-практический курс. – М.: Школа-Пресс, 1998. (Библиотека журнала «Математика в школе»; Вып. 7). 6. Болгарский Б.В. Очерки по истории математики. – Минск: Вышейша школа, 1974. 7. Гутер Р.С., Полунов Ю.Л. Джон Непер. – М.: Знание, 1976. 8. Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления: пособие по математике для общеобразовательных классов и классов экономического профиля. – СПб., 1997. 9. Шибасова Л.П., Шибасова З.Ф. за страницами учебника математики: Математический анализ. Теория вероятностей. Старинные занимательные задачи. – М.: Просвещение, 1997. 10. Абельсон И.Б. Рождение логарифмов. М.: Л. 1948. 11. Арнольд И.В. Логарифмы в курсе элементарной алгебры. М.: Л. 1949. 12. Гиршвальд Л.Я. История открытия логарифмов. Харьков, 1952. 13. Маркушевич А.И. Площади и логарифмы. М., 1979. 14. Успенский Л.В. Очерк истории логарифмов. Петроград, 1923. 15. Статьи журналов «Математика в школе» №5, 1991; №9, 2003; №8, 2004.

28 Основополагающий вопрос

Основополагающий вопрос

Зачем в школе изучают логарифмы ?

Если мы хотим:

Усвоить научные данные об окружающем мире

Полнее и объективнее понимать, оценивать окружающую нас жизнь

Видеть полноценную картину мира

Ощущать себя более полноценным человеком

ТОГДА нужно было РАСКРЫТЬ

"Гуманитарную ауру логарифмов

29 Что мы узнали из 1-го урока:

Что мы узнали из 1-го урока:

Перестанем бубнить:»зачем нужно изучать логарифмы?»

Как придумали логарифмы?

Что побудило математиков к их изучению, зачем они были нужны?

30 История логарифмов

История логарифмов

Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в ней мысли. А.Д.Александров

31 Спасибо за урок

Спасибо за урок

32 Методические рекомендации к проекту урока «История логарифмов»

Методические рекомендации к проекту урока «История логарифмов»

Очень важно определить место данного урока. Он должен быть проведён на входе в тему «Показательная функция» с целью резерва времени у учащихся для работы над обозначенными в ходе урока темами для самостоятельного изучения и подготовки презентаций к моменту изучения темы «Логарифмы».

Основная цель урока: повысить мотивацию обучения, вызвать интерес к учебе, как необходимую почву для сотрудничества учащихся и учителя. Воспитательная цель: способствовать усвоению научных данных об окружающем мире, об его устройстве и законах, способствовать раскрытию «гуманитарной ауры» логарифмов, пониманию роли математики в системе человеческого знания. Создать условия для раскрытия учащихся, их самоактуализации, самореализации. Развивать гностические способности, связанные с потребностью в познавательной гармонии. Обучающая цель: 1.На репродуктивном уровне сформировать видение показательных уравнений. Раскрыть основную историческую идею логарифмов в сопоставлении арифметической и геометрической прогрессий. 2. Через обозначенную идею ввести определение логарифма и закрепить его на репродуктивном уровне. 3. Подвести учащихся к идеям уплотнения рядов, к истории создания логарифмических таблиц, заинтересовать обозначенными темами для самостоятельного изучения . Подвигнуть их к изучению тем и созданию своих проектов по выбранным темам.

33 Х о д у р о к а

Х о д у р о к а

2.Учитель предлагает выполнить классификацию ранее изученных уравнений , среди которых есть несколько показательных уравнений. Например: 2х = 4; 3х = 1; 2х+1 = 8; 2х = 7 . Как могут называться уравнения, где переменная находится в показателе? Часть уравнений учащиеся могут решить, кроме последнего. Можно сделать только прикидку корня. Как же найти этот корень и как его записать?

3. Обратиться к слайдам №14 и №15,№16. Плотно поработать с идеей Архимеда с целью осознанного понимания логарифма, как показателя степени, постоянно акцентируя на этом внимание учащихся. Затем вернуться к нерешенному показательному уравнению и записать его решение. Можно предложить самостоятельно придумать примеры уравнений, либо решить устные упражнения из учебника (любого автора). В конце данного этапа предложить устные упражнения на слайде. Здесь можно вернуться к слайду №2 и формуле логарифмической спирали и еще раз закрепить определение логарифма.

1. Учитель предлагает просмотреть слайды со 2-го по 13-ый и обозначить области, которым принадлежат иллюстрации. Это: моллюски, пауки, животный мир, растительный мир, искусство, астрономия, техника. Каким образом вся эта красота и гармония могут быть связаны с математикой? Вернуться к слайду №2, где изображена раковина моллюска Nautilus и логарифмическая спираль. Коротко познакомить с полярной системой координат и формулой r=aQ

34 5. На информационном уровне познакомить учащихся с информацией на

5. На информационном уровне познакомить учащихся с информацией на

слайдах № 19 и №20. Таким образом обозначились темы, которые могут быть интересны учащимся и предложены для самостоятельного изучения в течение времени, которым располагает учитель до изучения темы «Логарифмы». Это может быть урок – презентация. Темы и список информационных ресурсов (который может быть расширен) размножается и выдается учащимся на руки.

4.Попробовать вывести учащихся на идею уплотнения рядов, вернувшись к слайду №16. Далее продемонстрировать логарифмическую линейку (принцип действия которой, наверняка, уже стал понятен учащимся), а также по возможности другие вычислительные инструменты из истории (например, арифмометр, счеты и др.). Познакомить с информацией на слайде №17. У учащихся по прежнему остается вопрос: зачем сегодня изучать логарифмы если уже имеются мощные вычислительные средства? Вопрос обозначен на слайде №18.

6.Этап подведения итога урока с помощью слайдов №22, №23, №24, №25.

«Логарифмическая спираль»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/logarifmicheskaja-spiral-64107.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Виды функций > Логарифмическая спираль