"Логарифмические уравнения

"Логарифмические уравнения

"

МОУ «Старо - Матаковская средняя общеобразовательная школа» Алькеевского муниципального района РТ. Конспекты системы уроков по теме : Учительницы математики II квалификационной категории Советниковой Нины Николаевны. 2009 г.

Для чего были придуманы логарифмы

Для ускорение вычислений. Для упрощений вычислений. Для решение астрономических задач.

В современной школе основной формой обучения математике ,главным связующем звеном в интеграции различных организационных форм обучения по-прежнему остается урок. В процессе обучения математический материал осознается и усваивается преимущественно в процессе решения задач, потому на уроках математики теория не изучается в отрыве от практики. Для того чтобы успешно решать логарифмические уравнения , на которые в учебном плане отведено всего 3 часа, необходимо уверенное владение формулами для логарифмов и свойствами логарифмической функции. Тема « Логарифмические уравнения» в учебном плане идет за логарифмическими функциями и свойствами логарифмов. Ситуация несколько осложняется по сравнению с показательными уравнениями наличием ограничений на область определения логарифмических функций . Использования формул логарифма произведения, частного и других без дополнительных оговорок может привести как к приобретению посторонних корней, так и к потери корней . Поэтому необходимо внимательно следить за равносильностью совершаемых преобразований.

“Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему

жизнь»

Цели: Образовательные: 1.Ознакомить и закрепить основные методы решения логарифмических уравнений, предупредить появления типичных ошибок. 2.Предоставить каждому обучающему возможность проверить свои знания и повысить их уровень. 3.Активизировать работу класса через разные формы работы. Развивающие: 1.Развивать навыки самоконтроля. Воспитательные: 1.Воспитывать ответственное отношение к труду. 2.Воспитывать волю и настойчивость , для достижение конечных результатов.

Тема: « Логарифмические уравнения.»

Ход урока

1Организационный момент: 2.Актуализация опорных знаний; Упростите:

Урок №1. Тема урока: «Методы решения логарифмических уравнений» Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом Оборудование : Мультимедиа.

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма,

называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение loga х = б (а > 0, а? 1, б>0 ) Способы решения Решение уравнений на основании определения логарифма, например, уравнение loga х = б (а > 0, а? 1, б>0 ) имеет решение х = аb. Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их: если , loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а? 1. Метод введение новой переменной. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. Функционально – графический метод.

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых по

данным основаниям и числу определяется логарифм, по данному логарифму и основанию определяется число и по данному числу и логарифму определяется основание. Log2 4?2= х, log3?3 х = - 2 , logх 64= 3, 2х= 4?2, х =3?3 – 2 , х3 =64, 2х = 25/2 , х =3- 3 , х3 = 43 , х =5/2 . х = 1/27. х =4.

1метод:

2метод:

Решите уравнения: lg(х2-6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9. Условие для проверки всегда составляем по исходному уравнению. (х2-6х+9) >0, х? 3, Х-7 >0; х >7; х >7. С начало нужно преобразовать уравнение привести к виду log ((х-3)/(х-7))2 = lg9 применяя формулу логарифм частного. ((х-3)/(х-7))2 = 9, (х-3)/(х-7) = 3, (х-3)/(х-7)= - 3 , х- 3 = 3х -21 , х -3 =- 3х +21, х =9. х=6. посторонний корень. Проверка показывает 9 корень уравнения. Ответ : 9

Решите уравнения: log62 х + log6 х +14 = (

16 – х2)2 +х2, 16 – х2 ?0 ; - 4? х ? 4; х >0 , х >0, О.Д.З. [ 0,4). log62 х + log6 х +14 = 16 – х2 +х2, log62 х + log6 х -2 = 0 заменим log6 х = t t 2 + t -2 =0 ; Д = 9 ; t1 =1 , t2 = -2. log6 х = 1 , х = 6 посторонний корень . log6 х = -2, х = 1/36 , проверка показывает 1/36 является корнем . Ответ : 1/36.

3 метод:

Решите уравнения = ЗХ , возьмем от обеих частей уравнения логарифм по

основанию 3 Вопрос : 1.Это – равносильное преобразования ? 2.Если да то почему ? Получим log3 = log3 (3х) . Учитывая теорему 3 , получаем : log3 х2 log3 х = log3 3х, 2log3 х log3 х = log3 3+ log3 х, 2 log32 х = log3 х +1, 2 log32 х - log3 х -1=0, заменим log3 х = t , х >0 2 t 2 + t -2 =0 ; Д = 9 ; t1 =1 , t2 = -1/2 log3 х = 1 , х=3, log3 х = -1/ 2 , х= 1/?3. Ответ: {3 ; 1/?3. }.

4метод:

Решить уравнения: log9( 37-12х ) log7-2х 3 = 1, 37-12х >0, х< 37/12,

7-2х >0, х< 7/2, х< 7/2, 7-2х? 1; х? 3; х? 3; log9( 37-12х ) / log3 (7-2х ) = 1, ? log3( 37-12х ) = log3 (7-2х ) , log3( 37-12х ) = log3 (7-2х )2 , 37-12х= 49 -28х +4х2 , 4х2-16х +12 =0, х2-4х +3 =0, Д=19, х1=1, х2=3, 3 –посторонний корень . Проверкой убеждаемся , что х=1 корень уравнения.

5 метод :

Решите уравнения: log3 х = 12-х

Так как функция у= log3 х возрастающая , а функция у =12-х убывающая на (0; + ? ) то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень. Который легко можно найти. При х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ х=10.

6 метод

Итог урока

С какими методами решения логарифмических уравнений мы познакомились на уроке? Домашние задание: Определите метод решения и решите № 1547(а,б) ,№1549(а,б), №1554(а,б) . Проработать весь теоретический материал и разобрать примеры §52.

2 урок

Тема урока: «Применение различных методов при решение логарифмических уравнений.» Тип урока: Урок закрепления изученного Ход урока. 1.Организационный момент: 2.«Проверь себя» 1)log-3 ((х-1)/5)=? 2) log5 (121 – x2), (121 – x2) ? 0, x < – 11, x ? 11. 3) 32х =5, log5 3=2х , х = (log5 3)/2. 2log3 5 4log3 5 4) 9 =3 = 45 5) lg x2 = 2lg x.

Каким способом можно решить данное уравнение

(метод введение новой переменной ) log3 2х +3 log3х +9 = 37/ log3 (х/27); х>0 Обозначим log3х = t ; t 2 -3 t +9 =37/(t-3) ; t ? 3, (t-3) ( t 2 -3 t +9) = 37, t3-27 = 37; t3= 64 ; t=4. log3х = 4 ; х= 81. Проверкой убеждаемся , что х=81 корень уравнения.

3.Выполнение упражнений: №1563 (б )

№1564 (а);(метод логарифмирования )

log3 х Х = 81 , возьмем от обеих частей уравнения логарифм по основанию 3; log3 х log3 Х = log3 81; log3х log3х = log381; log3 2х =4; log3х =2, х=9 ; log3 х = -2, х=1/9. Проверкой убеждаемся , что х=9 и х=1/9 корни уравнения.

1 Областью определения логарифмической функции у= log3 Х является

множество положительных чисел . 2Функция у= log3 Х монотонно возрастает . 3.Область значений логарифмической функции от 0 до бесконечности. 4 logас/в = logа с - logа в. 5 Верно ,что log8 8-3 =1.

4.Физкультминутка(за партами , сидя ).

1-?х =In х Так как функция у= In х возрастающая , а функция у =1-

х убывающая на (0; + ? ) то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень. Который легко можно найти. При х=1 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ : х=1.

№1704.( А)

№ 1574(б)

log3 (х+2у) -2log3 4 =1- log3 (х – 2у), log3 (х 2 - 4у 2) = log3 48, log1/4 (х -2у) = -1; log1/4 (х -2у) = -1; х 2 - 4у 2 – 48 =0, х =4 +2у, х =8, х -2у = 4; 16у = 32; у =2. Проверкой убеждаемся, что найденное значения является решениями системы.

5. Что за прелесть Логарифмическая “комедия 2 > 3”

1/4 > 1/8, бесспорно правильно. (1/2)2 > (1/2)3, тоже не внушающее сомнение. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, lg(1/2)2 > lg(1/2)3; 2lg(1/2) > 3lg(1/2). После сокращения на lg(1/2) имеем 2 > 3. - Где ошибка?

6.Выполните тест:

1Найдите областью определения: у = log0,3 (6х –х2 ). 1(-? ;0) ?(6 ; + ? ); 2. (-? ; -6) ?(0 ; + ? ); 3.(-6; 0 ). 4.(0; 6 ). 2.Найдите область значений : у =2,5 + log1,7 х. 1(2,5 ; + ? ); 2. (-? ; 2,5); 3 (- ? ; + ? ); 4. (0 ; + ? ). 3.Сравните : log0,5 7 и log0,5 5. 1.>. 2.<. 3.=. 4. Решите уравнение : 7 *5 log5 X = х +21. 1.( 3,5 ). 2. нет решения. 3.( – 3,5) . 4.( 7). 5. Найти значение выражения : log4 (64с) если log4 с = -3,5. 1. ( -6,5 ) . 2. (- 0, 5 ) 3. (- 10, 5 ) 4.( -67,5).

Ответ: 4; 3;2;1;2

Итог урока: Чтобы хорошо решать логарифмические уравнения , нужно совершенствовать навыки решения практических заданий ,так как они являются основным содержанием экзамена и жизни. Домашние задания : № 1563(а,б), №1464(б,в) , № 1567 (б).

№1 Какие из чисел -1; 0; 1; 2; 4; 8 являются корнями уравнения log2

х=х-2? №2 Решить уравнения: а) log16х= 2; в) log2 (2х- х2 ) -=0; г) log3 (х-1)=log3 (2х+1) №3 Решить неравенства: а) log3 х> log3 5; б) log0,4 х< 1; в) log2 (х-4) >0 . №4 Найдите область определения функции: у = log2 (х+4) №5 Сравните числа: log3 6/5 и log3 5/6; log0,2 5 и . Log0,2 17. №6 Определить число корней уравнения: log3 Х= =-2х+4.

Урок 3. Тема урока: «Решение логарифмических уравнений » Тип урока: урок обобщения, систематизация знаний. Ход урока. 1.Актуализация опорных знаний:

Log5 2 (х-3)2 +3 log5 (5 (3 -х )) -10 =0, (2 log5 (х-3))2 +3 log2 (3

-х ) +3 -10 = 0, 4 log5 2 (3-х)2 +3 log2 (3 -х ) -7= 0, Пусть log5(3-х) = t; 4 t 2 -3 t -7 =0, t =-7/4 ; t=1 . log5(3-х) = -7/4, и log5(3-х) = 1, 3-х =5-7/4 , 3-х =5, х =3 -1/57/4. х = - 2. Ответ: { 3 -1/57/4 ; -2}.

2. Решение уравнений: 1. решите уравнения: log5 2 (х-3)2 +3 log5 (15 -5х ) -10 = 0. ОДЗ: 15 -5х>0 , х<3.

Решите уравнения: 3log4 (2+ 30/(2х-11)) = 2log4 (2 – 15/(х+2)) + 8

2+ 30/(2х-11)= (4х-22+30)/(2х-11)=(4х+8)/(2х-11)=4(х+2)/(2х-11) 2 – 15/(х+2)=(2х+4-15)/(2+х)=(2х-11)/(х+2)=((х+2)/(2х-11))-1, 3 log4 (4(х+2)/(2х-11)) = 2log4 ( (х+2)/(2х-11))-1+8 , 3+3 log4 ((х+2)/(2х-11)) = - 2log4 ( (х+2)/(2х-11))+8 , Пусть log4 ((х+2)/(2х-11)) = t, 3+3t = -2 t +8, t = 1. log4 ((х+2)/(2х-11)) =1, (х+2)/(2х-11) =4, х+2=8х-44, х=46/7. Проверкой убеждаемся , что х=46/7 корень уравнения.

3.Физкультминутка:

1. 3 log38 = 8. 2. lg х= - 2 , решением данного уравнения является 100. 3 Функция у= log4/3 Х монотонно возрастает . 4. logа (х+у) = logа х + logа у. 5. logа (х+у) == logа х - logа у. 6. logа (ху) = logа х + logа у.

4.Учимся на чужих ошибках :

Воспользуемся формулой преобразования суммы логарифмов логарифм произведения. Получим уравнения log3 (х – 1) (х -3 ) = 1, отсюда следует х2 – 4х + 3 =3. Корнями последнего уравнения являются х1 =0 и х2 = 4, Ответ : {0 , 4}. Решите уравнения: log3 (х – 1) + log3 (х -3 ) = 1.

Решите уравнения log2 (х +1) - log2 (х -2 ) = 2. Воспользуемся

формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем log2 (х +1) /(х- 2) = 2, откуда следует (х +1) /(х- 2) = 2. Решив последнее уравнения ,находим х = 5. Ответ: х = 5.

. 5.Программированный контроль

Решить уравнен

Задание

Ответы

Вариант 1 l

Вариант 2

Вариант 3

1

2

3

4

G(3х-8)= lg(х - 2)

Log3 (5-2х) = 1

Log2 (4х -5) = log2 (х -14)

-3

1

3

Кор.нет.

Lg 2х+ lgх=8

Log3 2х +3 log3х +9 = 37/ log3

Lg2х - 6lgх+5 = 0

Кор.нет.

100; 0,0001

100000; 10

25; 0,2

Log2 (х-2) + log2 (х +1) = 2

Log2 (х+14) + log2 (х +2) = 6

Log5 (х +1) + log5 (х +5) = 1 2;

2; -18

0

2

3

Ответ : 1вариант (3;2;4

) 2.вариант – (2;4;3.) 3.вариант – (4;3;2.) Итог урока: Пренебрегать теорией нельзя ,в этом мы с вами убедились на уроке : Без знания теоретического материала невозможно уверенно решать практические задания. Определенная часть вопросов направлена на проверку именно теоретических знаний , используемых правил , определений и теорем. Домашние задания : №1568 (а.б) ,№ 1562 (а,б) №1573 (г).