Логарифмы

Логарифмы

РАЗРАБОТКА УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ ГОУ СОШ №618 Макаровой Татьяны Павловны

Подготовка к ЕГЭ

© Материал подготовила: Макарова Т.П., учитель школы №618

Свойства функции у = logaх , a > 1:

D(f) = (0; +? ); не является ни четной, ни нечетной; возрастает на (0; + ? ); не ограничена сверху, не ограничена снизу; не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; непрерывна; e(f) = (- ? ;+ ? ); выпукла вверх; дифференцируема.

1

2

4

8

1

2

4

8

У=log0,5х

У=log2х

Х

1/2

Х

1/2

У

У

-1

0

1

2

3

1

0

-1

-2

-3

y=log2x

y=log0,5x

Определите, какие из перечисленных ниже функций являются возрастающими

а какие убывающими?

y = log0,5(2x + 5)

y = lg (x)1/2

y = log2x

2 > 1

Возрастающая

0 < 0,5 < 1

Убывающая

10 > 1

Возрастающая

y = ln(x + 2)

e > 1

Возрастающая

Свойства логарифмов (a > 0, a

1)

«ХИТРОСТИ» свойств логарифмов:

Преобразование логарифмических выражений

Сравнить числа log13150 и log17290. Решение. Так как log13150 < log13169 log13169 = log13132=2, т.е. log13150<2. log17290> log17289= log17172=2, т.е. log17290>2, то log13150 < log17290.

Сравнить числа Решение

Так как И 15+

Преобразование логарифмических выражений

Доказать, что

Преобразование логарифмических выражений

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида loga

f(x) = b, где а > 0, а ? 1, равносильное уравнению f(x) = ab .

Логарифмические уравнения – это уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Уравнение вида logxA=B,A>0

при А?1 и В?0 имеют единственный корень х=А1/В; при А=1 и В=0 имеют решением любое положительное, отличное от единицы, число; при А=1 и В?0 корней нет; при А?1 и В=0 корней нет.

Уравнение вида logaf(x)=logag(x), a>0, a

1 способ.

2 способ.

Тренинг

Уравнения вида logg(x)f(x)=b

Равносильны смешанной системе

Логарифмы с переменным основанием

Тренинг

Уравнения вида logf(x)g(x)=logf(x)h(x)

Или

Тренировочные упражнения

Уравнения вида logg(x)f(x)=logp(x)f(x)

Или

Тренинг

Уравнения вида a>0, a

1, n€N

Пример.

Методы решения логарифмических уравнений

1. Решение уравнений, основанных на определении логарифма

log2(5 – x) = 3. По определению логарифма 5 – х = 23, откуда х = –3. х = –3 – корень уравнения. Ответ: х = –3.

2. Решение уравнений с помощью потенцирования

log3(x + 1) + log3(x + 3) = 1. Потенцируя, имеем: log3(x + 1)(x + 3) = 1. Учитывая область определения получаем систему: или Откуда х1= 0, х2= – 4. Так как х > –1, то корень х2= – 4 – посторонний. Ответ: х = 0

3.Применение основного логарифмического тождества

log2(9 – 2x) =10lg(3 – x) Область определения уравнения откуда х < 3. Применив в правой части уравнения основное логарифмическое тождество, получим: log2(9 – 2x) = 3 – x или 9 – 2x = 23 – x или , 22х – 9 · 2х + 8 = 0, откуда 2х = 1, х1= 0; 2х = 8, х2 = 3. Так как x < 3, то х2 = 3 – посторонний корень. Ответ: х = 0.

4. Логарифмирование

Область определения уравнения задается условиями х > 0, х ? 1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, предварительно упростив его: (10lgx)lgx + xlgx = 20, xlgx + xlgx = 20, xlgx = 10 или lgxlgx = lg10, lg2x = 1, lgx = ±1, значит lgx = 1, x1 = 10; lgx = –1, x2 = 0,1.Оба корня удовлетворяют ограничениям x > 0,x ? 1. Ответ: x1 = 10, x2 = 0,1.

Замена переменных в уравнениях

Две основные идеи решения логарифмических уравнений: приведение уравнения к виду с последующим потенцированием; замена неизвестных вида с предшествующим преобразованием уравнения к удобному для этой замены виду.

5. Замена переменной

Так как – х > 0, т.е. х < 0 и , то данное уравнение можно записать в виде . Пусть тогда получаем t = t2, t (t – 1) = 0, откуда t1 = 0, t2 =1. Значит lg(–x) = 0, x1 = – 1; lg( –x) =1, x2 = –10. Ответ: x1 = – 1, x2 = –10.

Тренировочные упражнения

Ответ: 2;16

Ответ: 9;1/3

Ответ:0,125; 2

Ответ: 1/3; 3

Ответ: 2; 16

6. Переход к другому основанию

Запишем уравнение в виде Далее имеем Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 3, получим: откуда Ответ:

Основные типы задач и схемы решения логарифмических неравенств

Сведение к рациональным неравенствам

Тренинг

Метод интервалов и систем

Тренинг

Неравенства вида logh(x)f(x)<b

Частный случай при

b=0

b=1

b=2

Решите неравенство

Тренинг

Неравенство log h(x) f(x) > logh(x) g(x)

Равносильно совокупности систем неравенств

Решить неравенства

log3(x2 - x) ? log3(x + 8);

Модули и возведение в квадрат Логарифмы и корни

Смешанные задачи с логарифмами