Алгебра логики
<<  Алгебра логики Понятие об алгебре высказываний  >>
Логика высказываний
Логика высказываний
Высказывания
Высказывания
Истинностные значения
Истинностные значения
Сложные высказывания
Сложные высказывания
Пропозициональные связки
Пропозициональные связки
Таблицы истинности
Таблицы истинности
Пример сложного высказывания
Пример сложного высказывания
Пропозициональные формулы
Пропозициональные формулы
Подформулы
Подформулы
Пропозициональные переменные и оценки
Пропозициональные переменные и оценки
Вычисление истинностных значений
Вычисление истинностных значений
Символы метаязыка
Символы метаязыка
Тавтологии и противоречия
Тавтологии и противоречия
Семантическое следование
Семантическое следование
Пример рассуждения на русском языке
Пример рассуждения на русском языке
Формальный анализ рассуждения
Формальный анализ рассуждения
Эквивалентные формулы
Эквивалентные формулы
Тавтологии как логические законы
Тавтологии как логические законы

Презентация на тему: «Логика высказываний». Автор: Valery. Файл: «Логика высказываний.pps». Размер zip-архива: 1719 КБ.

Логика высказываний

содержание презентации «Логика высказываний.pps»
СлайдТекст
1 Логика высказываний

Логика высказываний

{ Высказывания - истинностные значения - сложные высказывания - пропозициональные связки - таблицы истинности - пример сложного высказывания - пропозициональные формулы – пропозициональные переменные и оценки - вычисление истинностных значений - символы мета-языка - тавтологии и противоречия - семантическое следование - пример рассуждения на русском языке -формальный анализ рассуждения - эквивалентные формулы - тавтологии как логические законы }

2 Высказывания

Высказывания

Река Волга впадает в Каспийское море . . . . . . . . . . . Куда впадает река Волга?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Число 2 больше, чем число 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сравните числа 2 и 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Луна – это спутник Земли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Марс – это спутник Земли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Число 3 больше, чем число 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Мальчик Женя любит манную кашу . . . . . . . . . . . . . . Высказывание, записанное в этой строке, ложно . . .

Высказывание – это такое предложение языка, которое что-то утверждает.

Да Нет Да Нет Да Да Да Да ?

Да Нет Да Нет Да ? ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Является ли предложение высказыванием ?

Истинно ли оно ?

3 Истинностные значения

Истинностные значения

Река Волга впадает в Каспийское море . . . . . . . . . . . Куда впадает река Волга?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Число 2 больше, чем число 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сравните числа 2 и 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Луна – это спутник Земли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Марс – это спутник Земли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Число 3 больше, чем число 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Мальчик Женя любит манную кашу . . . . . . . . . . . . . . Высказывание, записанное в этой строке, ложно . . .

Высказывание – это такое предложение русского языка, которое что-то утверждает и в соответствии с этим может быть признано истинным или ложным.

Истинностное значение

истина Не является высказыванием ложь Не является высказыванием истина ложь истина Может быть истина или ложь Не является высказыванием

4 Сложные высказывания

Сложные высказывания

Простые высказывания:

Сложные высказывания:

Сложные высказывания образуются из простых высказываний при помощи стандартных оборотов естественного языка:

?1 = «Река Волга впадает в Каспийское море» (истина) ?2 = «Число 2 больше, чем число 3» (ложь) ?3 = « Луна – это спутник Земли» (истина) ?4 = «Марс – это спутник Земли» (ложь)

?1 = «Не верно, что река Волга впадает в Каспийское море» (ложь) ?2 = «Число 2 больше, чем число 3, и Луна – это спутник Земли» (ложь) ?3 = « Луна – это спутник Земли или Марс – это спутник Земли» (истина) ?4 = «Если Луна – это спутник Земли, то и Марс – это спутник Земли» (ложь)

?1 = «не верно, что ?1», ?2 = «?2 и ?3», ?3 = «?3 или ?4», ?4 = «если ?3 , то ?4»

5 Пропозициональные связки

Пропозициональные связки

Для сокращённой записи сложных высказываний используют пропозициональные связки, которые вводятся следующим образом :

Например, следующие соотношения

?1 = «не верно, что ?1 », ?2 = «?2 и ?3 », ?3 = «?3 или ?4 », ?4 = «если ?3 , то ?4 »

При помощи пропозициональных связок можно записать короче:

6 Таблицы истинности

Таблицы истинности

?

?

¬?

? ?

? ?

???

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

Если истинностные значения простых высказываний известны, то истинностные значения сложных высказываний можно определить при помощи таблиц истинности: таблицы истинности для каждой из пропозициональных связок могут быть сведены в единую таблицу, в которой значению истина соответствует 1, а значению ложь – 0.

Замечания: дизъюнкция отвечает не разделительному, но объединительному союзу или импликация отвечает правилу «из лжи следует всё, что угодно»

7 Пример сложного высказывания

Пример сложного высказывания

@

? = «Когда идёт дождь, отменяются работы в поле, а когда нет работ в поле, тогда в клубе бывают танцы – но ведь идёт дождь, а потому в клубе будут танцы!»

Логическая структура этого сложного высказывания ? может быть выявлена, если ввести такие простые высказывания: A = «Идёт дождь», B = «Есть работы в поле», C = «В клубе танцы». Тогда исходное высказывание ? может быть представлено так : ? = (A ? ¬B) (¬B ?C) ? (A ? C)

8 Пропозициональные формулы

Пропозициональные формулы

Символически записанное сложное высказывание (A ? ¬B) (¬B ?C) ? (A ? C) представляет собой пример пропозициональной формулы. Вообще, пропозициональные формулы (а короче: формулы) строятся из пропозициональных букв (которые представляют собой заглавные буквы латинского алфавита, быть может с индексами), пропозициональных связок и скобок в соответствии с таким формальным определением: Пропозициональная буква есть формула. Если ? и ? формулы, то (¬?), (? ?), (? ?), (???) – тоже формулы.

9 Подформулы

Подформулы

Главной связкой формулы называется та, которая в процессе построения этой формулы появляется последней. Так, для формулы ?2 главной связкой является отрицание, для ?4 – конъюнкция, для ? и ?3 – импликация, а формула ?1 главной связки не имеет, так как она является атомарной.

10 Пропозициональные переменные и оценки

Пропозициональные переменные и оценки

Пропозициональные буквы A, B, C… могут быть (как это и было в примере) обозначениями высказываний, а высказывания могут быть истинными или ложными. Поэтому пропозициональные буквы можно рассматривать как пропозициональные переменные, принимающие значения из множества {0,1}. Всякое распределение этих двух истинностных значений между всеми пропозициональными переменными называется оценкой (или означиванием). Таким образом, оценка v есть функция, которая сопоставляет каждой пропозициональной переменной определённое истинностное значение (истина 1 или ложь 0). Через V обозначается множество всех оценок. Если ? – пропозициональная формула и v – некоторая оценка, то при помощи таблиц истинности может быть вычислено истинностное значение формулы ? при оценке v . Это значение (истина 1 или ложь 0) обозначается через ? (v).

V

A

B

C

0

0

0

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

Множество оценок V для трёх пропозициональных переменных :

11 Вычисление истинностных значений

Вычисление истинностных значений

A

B

C

(A ? ¬B) (¬B ?C) ? (A ? C)

0

0

0

0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0

0

0

1

0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1

0

1

0

0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0

0

1

1

0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1

1

0

0

1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0

1

0

1

1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1

1

1

0

1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0

1

1

1

1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1

Порядок вычислений: жёлтые значения (подписываются) зелёные значения (вычисляются по жёлтым) белые значения (вычисляются по жёлтым и зелёным) розовые значения (вычисляются по белым и жёлтым) красные значения (вычисляются по розовым и являются итоговыми)

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8

Значения подформул подписываются под их главными связками

12 Символы метаязыка

Символы метаязыка

В метаязыке используются следующие символы (для сокращения стандартных оборотов естественного языка): мета-импликация ? – читается: «если … , то …», «следует»; мета-эквивалентность ? – читается: «тогда и только тогда», «равносильно»; квантор общности ? – читается: «для любого», «для всех»; квантор существования ? – читается: «существует», «найдется хотя бы один». Эти символы иногда включают в алфавиты формальных языков, однако здесь все они представляют собой элементы не формального языка, но того метаязыка, на котором можно рассуждать о формальном языке логики высказываний (пропозициональном языке). К средствам метаязыка можно отнести и символ принадлежности ? : запись x?X означает, что элемент x принадлежит множеству X .

Формальный язык – это язык, предназначенный для записи формальных предложений (в нашем случае – пропозициональных формул) Метаязык – это язык, на котором можно говорить о формальном языке.

13 Тавтологии и противоречия

Тавтологии и противоречия

14 Семантическое следование

Семантическое следование

Запись ?1,?2,…,?n ? означает, что {?1,?2,…,?n } ?, то есть ?v?v (?1(v)=?2(v)=…=? n(v)= 1 ? ? (v)=1), запись ? означает, что формула ? семантически следует из пустого множества формул, то есть является тавтологией.

Пусть ? – это некоторое множество формул, ? – формула и v – оценка, тогда запись ?(v) = 1 означает, что ???? (?(v) = 1),

? означает, что ?v?v (? (v)=1 ? ?(v)=1),

И читается:

Запись ?

?

«Из множества формул ? семантически следует формула ?»,

?

?

?

?

?

15 Пример рассуждения на русском языке

Пример рассуждения на русском языке

@

«Если бы он ей не сказал, она ни за что не узнала бы. А не спроси она его, он бы и не сказал ей. Но она узнала. Значит, она его спросила.»

Логическая структура этого рассуждения может быть выявлена, если ввести высказывания: A = «Он ей сказал», B = «Она узнала», C = «Она его спросила». Тогда исходное рассуждение может быть представлено так: Из высказываний (¬A ? ¬B) , (¬C ?¬A) , B следует высказывание C

16 Формальный анализ рассуждения

Формальный анализ рассуждения

A

B

C

¬A ? ¬B

¬C ? ¬A

B

C

0

0

0

10 1 10

10 1 10

0

0

0

0

1

10 1 10

01 1 10

0

1

0

1

0

10 0 01

10 1 10

1

0

0

1

1

10 0 01

01 1 10

1

1

1

0

0

01 1 10

10 0 01

0

0

1

0

1

01 1 10

01 1 01

0

1

1

1

0

01 1 01

10 0 01

1

0

1

1

1

01 1 01

01 1 01

1

1

?

(¬A ? ¬B) , (¬C ?¬A) , B C

Рассматриваемое рассуждение должно быть признано верным: все три формулы ¬A ? ¬B, ¬C ? ¬A и B одновременно истинны только при оценке v8 , но при этой оценке истинна также и формула C, поэтому имеет место семантическое следование

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8

17 Эквивалентные формулы

Эквивалентные формулы

Две пропозициональные формулы ? и ? эквивалентны ( ? ~ ? ), если их истинностные значения при любой оценке одинаковы: ? ? ? ? ?v?V ( ?(v) = ?(v) ) . Запись ? ?? служит сокращением для записи формулы (? ?? ) (? ?? ). Таким образом вводится ещё одна (производная) пропозициональная связка эквивалентность ? (здесь символ ? есть символ формального языка, в то время как символ ~ является символом метаязыка).

Лемма: ? ~ ? ? ? ? ? .

?

?

?

? ? ?

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

18 Тавтологии как логические законы

Тавтологии как логические законы

«Логика высказываний»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/logika-vyskazyvanij-181841.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды