Системы уравнений
<<  Методы решения систем линейных уравнений Решение систем линейных неравенств с одной переменной  >>
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
Назовем матрицей системы матрицу, составленную из коэффициентов при
Назовем матрицей системы матрицу, составленную из коэффициентов при
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Теорема Кронекера–Капелли
Теорема Кронекера–Капелли
Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то
Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то
Две системы, множества решений которых совпадают, называются
Две системы, множества решений которых совпадают, называются
Пример
Пример
Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных
Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных
Метод Гаусса
Метод Гаусса
Разрешается: 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует
Разрешается: 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует
С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная
С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная
Установить совместность и решить систему
Установить совместность и решить систему
Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую
Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую
Прямой ход
Прямой ход
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Обратный ход
Обратный ход
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Имеем Далее, подставляя его в третье уравнение, найдем Подставляя и во
Имеем Далее, подставляя его в третье уравнение, найдем Подставляя и во
Общее решение системы линейных уравнений
Общее решение системы линейных уравнений
Пример
Пример
Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее
Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее
Однородные системы
Однородные системы
Теорема о совместности однородной системы
Теорема о совместности однородной системы
При r<n система является неопределенной, т.е. имеет бесчисленное
При r<n система является неопределенной, т.е. имеет бесчисленное
Пример
Пример
Составим матрицу системы и методом элементарных преобразований найдем
Составим матрицу системы и методом элементарных преобразований найдем
r=2
r=2
Выберем в качестве базисного минор Тогда укороченная система имеет вид
Выберем в качестве базисного минор Тогда укороченная система имеет вид
Общее решение системы
Общее решение системы
Фундаментальная система решений
Фундаментальная система решений
Матрицы-столбы, т.е. фундаментальную систему решений обозначают Е1, Е2
Матрицы-столбы, т.е. фундаментальную систему решений обозначают Е1, Е2
Из общего решения последней системы найдем фундаментальную систему
Из общего решения последней системы найдем фундаментальную систему

Презентация на тему: «Метод Гаусса решения систем линейных уравнений». Автор: Admin. Файл: «Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.ppt». Размер zip-архива: 67 КБ.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

содержание презентации «Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.ppt»
СлайдТекст
1 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

2 Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

3 Назовем матрицей системы матрицу, составленную из коэффициентов при

Назовем матрицей системы матрицу, составленную из коэффициентов при

неизвестных. Матрицу, полученную из А добавлением столбца свободных членов, называют расширенной матрицей:

4 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
5 Теорема Кронекера–Капелли

Теорема Кронекера–Капелли

Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е.

6 Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то

Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то

система имеет единственное решение, если же ранг меньше числа неизвестных, то система имеет множество решений.

7 Две системы, множества решений которых совпадают, называются

Две системы, множества решений которых совпадают, называются

эквивалентными или равносильными. Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием.

8 Пример

Пример

Исследовать систему линейных уравнений

9 Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных

Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных

преобразований вычислим одновременно ранги обеих матриц.

10 Метод Гаусса

Метод Гаусса

Для того чтобы решить систему уравнений методом Гаусса выписывают расширенную матрицу этой системы и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали, содержащей элементы будут располагаться нули.

11 Разрешается: 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует

Разрешается: 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует

изменению порядка уравнений; 2) умножать строки на любые отличные от нуля числа, что соответствует умножению соответствующих уравнений на эти числа; 3) прибавлять к любой строке матрицы другую, умноженную на отличное от нуля число, что соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого, умноженного на число.

12 С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная

С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная

матрица новой системы, равносильной исходной, т. е. такой системы, решение которой совпадает с решением исходной системы

13 Установить совместность и решить систему

Установить совместность и решить систему

14 Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую

Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую

строки для того, чтобы элемент равнялся единице (так удобнее производить преобразования матрицы).

15 Прямой ход

Прямой ход

16 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
17 Обратный ход

Обратный ход

Ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы совпали с числом неизвестных. Согласно теореме Кронекера-Капелли система уравнений совместна и решение ее единственно. Выпишем систему уравнений, расширенную матрицу которой мы получили в результате преобразований:

18 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
19 Имеем Далее, подставляя его в третье уравнение, найдем Подставляя и во

Имеем Далее, подставляя его в третье уравнение, найдем Подставляя и во

второе уравнение, получим и, наконец, подставляя в первое уравнение найденные неизвестные, получим Таким образом, имеем решение системы

20 Общее решение системы линейных уравнений

Общее решение системы линейных уравнений

Если ранг матрицы равен , то любой отличный от нуля минор порядка этой матрицы называется базисным.

21 Пример

Пример

Решить систему уравнений

22 Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее

Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее

23 Однородные системы

Однородные системы

24 Теорема о совместности однородной системы

Теорема о совместности однородной системы

Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных n.

25 При r<n система является неопределенной, т.е. имеет бесчисленное

При r<n система является неопределенной, т.е. имеет бесчисленное

множество решений, в том числе и нетривиальное. Если m=n, т.е. число уравнений совпадает с числом неизвестных, матрица системы является квадратной. условие r<n в этом случае означает, что определитель системы, т.е. det А=0, что следует из определения ранга матрицы.

26 Пример

Пример

27 Составим матрицу системы и методом элементарных преобразований найдем

Составим матрицу системы и методом элементарных преобразований найдем

ее ранг.

28 r=2

r=2

29 Выберем в качестве базисного минор Тогда укороченная система имеет вид

Выберем в качестве базисного минор Тогда укороченная система имеет вид

30 Общее решение системы

Общее решение системы

31 Фундаментальная система решений

Фундаментальная система решений

Назовем фундаментальной системой решений систему матриц-столбцов, полученную из общего решения при условии, что свободным неизвестным дают последовательно значения

32 Матрицы-столбы, т.е. фундаментальную систему решений обозначают Е1, Е2

Матрицы-столбы, т.е. фундаментальную систему решений обозначают Е1, Е2

…, Еn. Общее решение будет представлено в виде

33 Из общего решения последней системы найдем фундаментальную систему

Из общего решения последней системы найдем фундаментальную систему

решений. , Общее решение можно записать в виде

«Метод Гаусса решения систем линейных уравнений»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/metod-gaussa-reshenija-sistem-linejnykh-uravnenij-82107.html
cсылка на страницу

Системы уравнений

17 презентаций о системах уравнений
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Системы уравнений > Метод Гаусса решения систем линейных уравнений