Интегралы
<<  Неопределенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла  >>
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
§1
§1
Определение 1. Функция
Определение 1. Функция
Пример
Пример
Очевидно, что первообразными будут также любые функции
Очевидно, что первообразными будут также любые функции
Таким образом, если
Таким образом, если
Определение 2. Множество
Определение 2. Множество
Здесь
Здесь
Нахождение первообразной для данной функции
Нахождение первообразной для данной функции
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство
Перечислим основные свойства неопределенного интеграла:
Перечислим основные свойства неопределенного интеграла:
4)
4)
То
То
Приведем таблицу основных неопределенных интегралов:
Приведем таблицу основных неопределенных интегралов:
4)
4)
8)
8)
12)
12)
Приведенные в данной таблице интегралы называют табличными
Приведенные в данной таблице интегралы называют табличными
§2
§2
Примеры
Примеры
2)
2)
3)
3)
4)
4)
5)
5)
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
6)
6)
7)
7)
8)
8)
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
2.2. Метод поднесения под знак дифференциала и замены переменной
2.2. Метод поднесения под знак дифференциала и замены переменной
Подведем в этом интеграле множитель
Подведем в этом интеграле множитель
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Следовательно, задача свелась к нахождению интеграла
Следовательно, задача свелась к нахождению интеграла
Примеры поднесения под знак дифференциала:
Примеры поднесения под знак дифференциала:
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Примеры
Примеры
2)
2)
3)
3)
4)
4)
5)
5)
6)
6)
7)
7)
8)
8)
9)
9)
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
?
?
С помощью этой формулы вычисление интеграла
С помощью этой формулы вычисление интеграла
При этом в качестве
При этом в качестве
1. Интегралы вида
1. Интегралы вида
? Многочлен,
? Многочлен,
Тогда формулу (2
Тогда формулу (2
2. Интегралы вида
2. Интегралы вида
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
В этом случае
В этом случае
3. Интегралы вида
3. Интегралы вида
Примеры
Примеры
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
2)
2)
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
2.4. Интегрирование рациональных дробей
2.4. Интегрирование рациональных дробей
Если степень многочлена числителя меньше степени многочлена
Если степень многочлена числителя меньше степени многочлена
Простейшей дробью называется правильная дробь одного из следующих
Простейшей дробью называется правильная дробь одного из следующих
4.
4.
2.4.1. Интегрирование простейших рациональных дробей
2.4.1. Интегрирование простейших рациональных дробей
Примеры
Примеры
2)
2)
3)
3)
Тогда
Тогда
Вернемся к интегралу:
Вернемся к интегралу:
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
4)
4)
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
 
 
 
 
2.4.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения их на
2.4.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения их на
1. Если дана неправильная рациональная дробь, выделить из нее целую
1. Если дана неправильная рациональная дробь, выделить из нее целую
2. Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:
2. Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:
3. Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей:
3. Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей:
 
 
 
 
 
 
Примеры
Примеры
Тогда
Тогда
Итак,
Итак,
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
2)
2)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5. Интегрирование иррациональных функций
2.5. Интегрирование иррациональных функций
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III
III
Где
Где
Пример
Пример
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
IV
IV
Где
Где
Пример
Пример
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
IV
IV
Где
Где
2.6. Интегрирование тригонометрических выражений
2.6. Интегрирование тригонометрических выражений
В результате этой подстановки имеем
В результате этой подстановки имеем
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Универсальная подстановка
Универсальная подстановка
То применяется подстановка
То применяется подстановка
2. Если
2. Если
3. Если
3. Если
II
II
В) если же
В) если же
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Примеры
Примеры
То будем применять универсальную тригонометрическую подстановку:
То будем применять универсальную тригонометрическую подстановку:
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
 
 
 
 
 
 
 
 

Презентация: «Неопределенный интеграл». Автор: Jr. Файл: «Неопределенный интеграл.pptx». Размер zip-архива: 1849 КБ.

Неопределенный интеграл

содержание презентации «Неопределенный интеграл.pptx»
СлайдТекст
1 Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

2 §1

§1

Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов.

В дифференциальном исчислении решается задача:

По данной функции

Найти ее производную

Интегральное исчисление решает обратную задачу:

Если известна ее

Найти функцию

Производная

3 Определение 1. Функция

Определение 1. Функция

Называется

Первообразной функции

Заданной на

Некотором множестве

Если для

Выполняется равенство

4 Пример

Пример

Пусть

Тогда первообразной для данной функции является функция

Так как

5 Очевидно, что первообразными будут также любые функции

Очевидно, что первообразными будут также любые функции

Где

Поскольку

6 Таким образом, если

Таким образом, если

И

? Две

Первообразные одной и той же функции

То

7 Определение 2. Множество

Определение 2. Множество

Всех первообразных функции

На множестве

Называется неопределенным интегралом

И обозначается

8 Здесь

Здесь

? Знак интеграла,

? Подынтегральная функция,

? Подынтегральное выражение,

? Переменная интегрирования.

9 Нахождение первообразной для данной функции

Нахождение первообразной для данной функции

Называется интегрированием функции

Теорема. Для всякой непрерывной на

Функции

Существует на этом промежутке

Первообразная, а, значит, и неопределенный интеграл.

10 Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство

кривых, зависящих от одного параметра

Которые получаются одна из другой путем

Параллельного сдвига вдоль оси

11 Перечислим основные свойства неопределенного интеграла:

Перечислим основные свойства неопределенного интеграла:

1)

2)

3)

12 4)

4)

5) Если

То

Где

? Произвольная функция, имеющая

Непрерывную производную.

13 То

То

6) Если

Для

14 Приведем таблицу основных неопределенных интегралов:

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов:

1)

2)

3)

15 4)

4)

5)

6)

7)

16 8)

8)

9)

10)

11)

17 12)

12)

13)

14)

15)

18 Приведенные в данной таблице интегралы называют табличными

Приведенные в данной таблице интегралы называют табличными

19 §2

§2

Основные методы интегрирования.

2.1. Метод непосредственного интегрирования.

Непосредственным интегрированием называют интегрирование с помощью свойств 3, 4 и 6, тождественных преобразований подынтегральной функции и таблицы основных интегралов.

20 Примеры

Примеры

1)

21 2)

2)

22 3)

3)

23 4)

4)

24 5)

5)

25 Неопределенный интеграл
26 6)

6)

27 7)

7)

28 8)

8)

29 Неопределенный интеграл
30 2.2. Метод поднесения под знак дифференциала и замены переменной

2.2. Метод поднесения под знак дифференциала и замены переменной

На практике часто встречаются интегралы вида

Или интегралы, которые сводятся к такому виду

31 Подведем в этом интеграле множитель

Подведем в этом интеграле множитель

Под знак дифференциала:

А затем произведем подстановку

В результате получим формулу подстановки в неопределенном интеграле:

32 Неопределенный интеграл
33 Следовательно, задача свелась к нахождению интеграла

Следовательно, задача свелась к нахождению интеграла

Который либо уже табличный, либо легко сводится к табличному, и обратной подстановке

34 Примеры поднесения под знак дифференциала:

Примеры поднесения под знак дифференциала:

35 Неопределенный интеграл
36 Неопределенный интеграл
37 Неопределенный интеграл
38 Неопределенный интеграл
39 Неопределенный интеграл
40 Неопределенный интеграл
41 Примеры

Примеры

1)

42 2)

2)

43 3)

3)

44 4)

4)

45 5)

5)

46 6)

6)

47 7)

7)

48 8)

8)

49 9)

9)

50 Неопределенный интеграл
51 ?

?

2.3. Метод интегрирования по частям.

И

Пусть

дифференцируемые функции. Тогда справедлива

Следующая формула интегрирования по частям:

(2.1)

52 С помощью этой формулы вычисление интеграла

С помощью этой формулы вычисление интеграла

Сводится к отысканию другого интеграла

Применение формулы целесообразно в тех случаях, когда

Более прост для нахождения, чем

Интеграл

Исходный, либо подобен ему.

53 При этом в качестве

При этом в качестве

Следует брать такую функцию,

Которая при дифференцировании упрощается, а в качестве

? Ту часть подынтегрального выражения, интеграл

от которого известен или может быть найден. Иногда

Формулу (2.1) приходится применяться несколько раз.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

54 1. Интегралы вида

1. Интегралы вида

55 ? Многочлен,

? Многочлен,

? Число.

Где

Удобно положить

А

Соответственно.

56 Тогда формулу (2

Тогда формулу (2

1) надо применять столько раз, какова

Раз.

Степень многочлена

Т.Е.

57 2. Интегралы вида

2. Интегралы вида

58 Неопределенный интеграл
59 В этом случае

В этом случае

Соответственно,

А

60 3. Интегралы вида

3. Интегралы вида

Можно положить

Или

61 Примеры

Примеры

1)

62 Неопределенный интеграл
63 Неопределенный интеграл
64 2)

2)

65 Неопределенный интеграл
66 2.4. Интегрирование рациональных дробей

2.4. Интегрирование рациональных дробей

Определение. Рациональной дробью называется функция, заданная в виде отношения двух многочленов:

67 Если степень многочлена числителя меньше степени многочлена

Если степень многочлена числителя меньше степени многочлена

знаменателя, т.е.

То рациональная дробь называется правильной;

В противном случае, т.Е. Если

Дробь называется неправильной.

68 Простейшей дробью называется правильная дробь одного из следующих

Простейшей дробью называется правильная дробь одного из следующих

типов:

1.

2.

3.

69 4.

4.

5.

Где

70 2.4.1. Интегрирование простейших рациональных дробей

2.4.1. Интегрирование простейших рациональных дробей

Интегрирование простейших рациональных дробей рассмотрим на примерах.

71 Примеры

Примеры

1)

72 2)

2)

73 3)

3)

Выделим в знаменателе последнего подынтегрального выражения полный квадрат.

74 Тогда

Тогда

75 Вернемся к интегралу:

Вернемся к интегралу:

76 Неопределенный интеграл
77 4)

4)

В числителе подынтегрального выражения нужно получить производную знаменателя, т.е.

Тогда

78 Неопределенный интеграл
79  

 

80  

 

81 2.4.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения их на

2.4.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения их на

простейшие дроби.

Перед интегрированием рациональной дроби

Необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования и вычисления:

82 1. Если дана неправильная рациональная дробь, выделить из нее целую

1. Если дана неправильная рациональная дробь, выделить из нее целую

часть, разделив числитель на знаменатель столбиком, т.е. представить эту дробь в виде:

Где

? Многочлен,

? Правильная рациональная дробь.

83 2. Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

2. Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

Где

84 3. Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей:

3. Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей:

85  

 

86  

 

87  

 

88 Примеры

Примеры

1)

89 Тогда

Тогда

90 Итак,

Итак,

91 Неопределенный интеграл
92 2)

2)

93  

 

94  

 

95  

 

96  

 

97  

 

98  

 

99  

 

100 2.5. Интегрирование иррациональных функций

2.5. Интегрирование иррациональных функций

2.5.1. Квадратичные иррациональности.

I. Интегралы вида

101  

 

(2.5)

102  

 

103  

 

Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:

104  

 

105  

 

106  

 

107  

 

108  

 

109  

 

110 III

III

Интегралы вида

? Рациональная функция,

Где

Сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки

111 Где

Где

112 Пример

Пример

113 Неопределенный интеграл
114 Неопределенный интеграл
115 IV

IV

Интегралы вида

? Рациональная функция,

Где

Сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки

116 Где

Где

117 Пример

Пример

118 Неопределенный интеграл
119 Неопределенный интеграл
120 IV

IV

Интегралы вида

? Рациональная функция,

Где

Сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки

121 Где

Где

122 2.6. Интегрирование тригонометрических выражений

2.6. Интегрирование тригонометрических выражений

I. Интегралы вида

? Рациональная функция аргументов

Где

Приводятся к интегралам от

И

Рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки:

123 В результате этой подстановки имеем

В результате этой подстановки имеем

124 Неопределенный интеграл
125 Универсальная подстановка

Универсальная подстановка

Во многих

случаях приводит к сложным вычислениям, поэтому на практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств и вида подынтегральной функции. Укажем эти случаи:

? Четная функция

1. Если

Т.Е.

Относительно

И

126 То применяется подстановка

То применяется подстановка

При этом используются формулы

127 2. Если

2. Если

? Нечетная функция

Относительно

Т.Е.

То применяется подстановка

128 3. Если

3. Если

? Нечетная функция

Относительно

Т.Е.

То применяется подстановка

129 II

II

Интегралы вида

Находят

А) при нечетном

С помощью подстановки

Б) при нечетном

С помощью подстановки

130 В) если же

В) если же

И

? Четные, то подынтегральную

Функцию необходимо преобразовать с помощью формул тригонометрии:

131 Неопределенный интеграл
132 Примеры

Примеры

1)

Так, как для подынтегральной функции

Не выполняется ни одно из условий:

133 То будем применять универсальную тригонометрическую подстановку:

То будем применять универсальную тригонометрическую подстановку:

134 Неопределенный интеграл
135 Неопределенный интеграл
136 Неопределенный интеграл
137  

 

138  

 

139  

 

140  

 

«Неопределенный интеграл»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/neopredelennyj-integral-246823.html
cсылка на страницу

Интегралы

12 презентаций об интегралах
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Интегралы > Неопределенный интеграл