Неравенства
<<  Неравенства Неравенства  >>
Неравенства
Неравенства
Содержание
Содержание
П1
П1
Число а больше числа b, если разность а-b – положительное число; число
Число а больше числа b, если разность а-b – положительное число; число
Пример: Докажем, что при любых значениях переменной верно неравенство
Пример: Докажем, что при любых значениях переменной верно неравенство
Теорема 1 Теорема 2 Теорема 3 Теорема 4 Следствие из теоремы 4
Теорема 1 Теорема 2 Теорема 3 Теорема 4 Следствие из теоремы 4
Теорема 5 Теорема 6 Следствие из теоремы 6. Оценка суммы, разности,
Теорема 5 Теорема 6 Следствие из теоремы 6. Оценка суммы, разности,
П4
П4
П5
П5
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной
Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с
Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с
Пример: Решим неравенство 16x > 13x+45 Перенесём слагаемое 13x с
Пример: Решим неравенство 16x > 13x+45 Перенесём слагаемое 13x с
П6
П6
Определение:
Определение:
Пример: Решим систему неравенств Ответ: (3,5; 6) или 3,5< x< 6
Пример: Решим систему неравенств Ответ: (3,5; 6) или 3,5< x< 6
Содержание
Содержание
Теорема 1
Теорема 1
Теорема 2
Теорема 2
Теорема 3
Теорема 3
Теорема 4
Теорема 4
Итак, если обе части верного неравенства умножить или разделить на
Итак, если обе части верного неравенства умножить или разделить на
Следствие из теоремы 4
Следствие из теоремы 4
Теорема 5
Теорема 5
Теорема 6
Теорема 6
Следствие из теоремы 6
Следствие из теоремы 6
Доказанные свойства используются для оценки суммы, разности,
Доказанные свойства используются для оценки суммы, разности,
Оценим сумму
Оценим сумму
Оценим разность
Оценим разность
Оценим произведение
Оценим произведение
Оценим частное
Оценим частное

Презентация на тему: «Неравенства». Автор: Polina. Файл: «Неравенства.ppsx». Размер zip-архива: 173 КБ.

Неравенства

содержание презентации «Неравенства.ppsx»
СлайдТекст
1 Неравенства

Неравенства

Творческий проект ученицы 8 класса школы при Посольстве РФ в Великобритании Барановой Полины Учитель математики Щербакова В.Б.

2 Содержание

Содержание

П1.Числовые неравенства и их свойства. П2. Свойства числовых неравенств. П3.Сложение и умножение числовых неравенств. П4.Числовые промежутки. П5.Решение неравенств с одной переменной П6.Решение систем неравенств с одной переменной.

3 П1

П1

Числовые неравенства и их свойства.

Мы можем сравнить любые числа a и b и результат сравнения записать в виде равенства или неравенства (строгого или нестрогого): = , < , > , ? , ?.

4 Число а больше числа b, если разность а-b – положительное число; число

Число а больше числа b, если разность а-b – положительное число; число

а меньше числа b, если разность а-b – отрицательное число.

Определение:

5 Пример: Докажем, что при любых значениях переменной верно неравенство

Пример: Докажем, что при любых значениях переменной верно неравенство

При любом а разность отрицательная и, следовательно, неравенство верно.

6 Теорема 1 Теорема 2 Теорема 3 Теорема 4 Следствие из теоремы 4

Теорема 1 Теорема 2 Теорема 3 Теорема 4 Следствие из теоремы 4

П2. Свойства числовых неравенств.

7 Теорема 5 Теорема 6 Следствие из теоремы 6. Оценка суммы, разности,

Теорема 5 Теорема 6 Следствие из теоремы 6. Оценка суммы, разности,

произведения и частного.

П3.Сложение и умножение числовых неравенств.

8 П4

П4

Числовые промежутки.

9 П5

П5

Решение неравенств с одной переменной

Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.

10 Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной

которое обращает его в верное числовое неравенство.

Определение:

11 Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с

Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с

противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство; если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

12 Пример: Решим неравенство 16x > 13x+45 Перенесём слагаемое 13x с

Пример: Решим неравенство 16x > 13x+45 Перенесём слагаемое 13x с

противоположным знаком в левую часть неравенства: 16x - 13x > 45 Приведём подобные члены: 3x > 45 x > 15 Множество решений неравенства состоит из всех чисел, больших 15. Это множество представляет собой открытый луч (15;+?). Такое неравенство называется линейным неравенством с одной переменной.

13 П6

П6

Решение систем неравенств с одной переменной.

Решить систему – значит найти все её решения или доказать, что решений нет. Ответ после решения системы неравенств с одной переменной можно записать в виде неравенства (например: x > 9) или в виде промежутка (например: (9; +?)).

14 Определение:

Определение:

Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

15 Пример: Решим систему неравенств Ответ: (3,5; 6) или 3,5< x< 6

Пример: Решим систему неравенств Ответ: (3,5; 6) или 3,5< x< 6

16 Содержание

Содержание

П1.Числовые неравенства и их свойства. П2. Свойства числовых неравенств. П3.Сложение и умножение числовых неравенств. П4.Числовые промежутки. П5.Решение неравенств с одной переменной П6.Решение систем неравенств с одной переменной.

17 Теорема 1

Теорема 1

Если a > b, то b < a; если a < b, то b > a. Действительно, если разность а-b – положительное число, то разность b-a – отрицательное число, и наоборот. П2. Свойства числовых неравенств.

18 Теорема 2

Теорема 2

Если a < b и b < с, то а < с. Докажем, что разность а – с – отрицательное число. Прибавим к этой разности числа b и -b и сгруппируем слагаемые: а - с = а – с + b – b = (а - b) + (b – с) По условию a < b и b < с. Поэтому слагаемые а – b и b – с – отрицательные числа. Значит, и их сумма является отрицательным числом. Следовательно, а < с. П2. Свойства числовых неравенств.

19 Теорема 3

Теорема 3

Если a < b и с – любое число, то а + с < b + с. Преобразуем разность (а + с) – (b + с): (а + с) – (b + с) = а – b По условию a < b, поэтому а – b – отрицательное число. Значит, и разность (а + b) – (b + с) отрицательна. Следовательно, а + с < b + с. Итак, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. П2. Свойства числовых неравенств.

20 Теорема 4

Теорема 4

Если а < b и с – положительное число, то ac < bc. Если а < b и с – отрицательное число, то ac > bc. Представим разность ас – bс в виде произведения: ас – bс = с(а - b) Так как а < b, то а- b – отрицательное число. Если с < 0, то произведение с(а - b) отрицательно и, следовательно, ас > bc. Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деления. П2. Свойства числовых неравенств.

21 Итак, если обе части верного неравенства умножить или разделить на

Итак, если обе части верного неравенства умножить или разделить на

одно и то же положительное число, то получится верное неравенство; если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. П2. Свойства числовых неравенств.

22 Следствие из теоремы 4

Следствие из теоремы 4

Если a и b – положительные числа и a < b, то . Разделим обе части неравенства a < b на положительное число ab: . Сократив дроби, получим, что . П2. Свойства числовых неравенств.

23 Теорема 5

Теорема 5

Если a < b и c < d, то a + b< b + d. Прибавив к обеим частям неравенства число, получим. Прибавив к обеим частям неравенства число, получим. Из неравенств и следует, что. Теорема справедлива и в случае почленного сложения более чем двух неравенств. Таким образом, если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство. П3.Сложение и умножение числовых неравенств.

24 Теорема 6

Теорема 6

Если a < b и c < d, где a, b, c и d – положительные числа, то ac < bd. Умножив обе части неравенства a < b на положительное число c, получим ac < bc. Умножив обе части неравенства c < d на положительное число b, получим bc < bd. Из неравенств ac < bc и bc < bd следует, что ac < bd. Теорема справедлива и для почленного умножения более чем двух неравенств указанного вида. Таким образом, если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство. П3.Сложение и умножение числовых неравенств.

25 Следствие из теоремы 6

Следствие из теоремы 6

Если числа a и b положительны и a < b, то , где n – натуральное число. Перемножив почленно n верных неравенств a < b, в которых a и b – положительные числа, получим верное неравенство . П3.Сложение и умножение числовых неравенств.

26 Доказанные свойства используются для оценки суммы, разности,

Доказанные свойства используются для оценки суммы, разности,

произведения и частности. Пусть известно, что 15< x < 16 и 2< y < 3. Оценим сумму. Оценим разность. Оценим произведение. Оценим частное.

27 Оценим сумму

Оценим сумму

Назад

x+y. Применив теорему о почленном сложении неравенств к неравенствам 15< x и 2< y, а затем к неравенствам x <16 и y< 3, получим 17< x+y <19. Запись: 15 < x <16 2 < y < 3 17 < x+y <19

28 Оценим разность

Оценим разность

Назад

x-y Для этого представим разность x-y в виде суммы x+(-y). Сначала оценим выражение -. Так как 2 3, то -2 -3. Применив теперь теорему о почленном сложении неравенств: 15 < x <16 -3 < -y< -2 12 < x-y <14

29 Оценим произведение

Оценим произведение

Назад

xy Так как каждое из чисел x и y заключено между положительными числами, то они также являются положительными числами. Применив теорему о почленном умножении неравенств, получим: 15 < x < 16 2 < y < 3 30 < xy < 48

30 Оценим частное

Оценим частное

Назад

Для этого представим частное в виде произведения x . Сначала оценим выражение. Так как 2 < y < 3, то . По теореме о почленном умножении неравенств имеем: 15 < x < 16 5 < < 8

«Неравенства»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/neravenstva-184144.html
cсылка на страницу

Неравенства

38 презентаций о неравенствах
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды