Интегралы
<<  Определённый интеграл Применение определенного интеграла  >>
Определенный интеграл
Определенный интеграл
План лекции:
План лекции:
I. Замена переменной в определенном интеграле
I. Замена переменной в определенном интеграле
заменяются новыми пределами t1 =
заменяются новыми пределами t1 =
Вычислим новые пределы интегрирования: при при Теперь
Вычислим новые пределы интегрирования: при при Теперь
II
II
Если знаки разности функций известны, то знаки модуля можно опустить
Если знаки разности функций известны, то знаки модуля можно опустить
б) В случае, если фигура ограничена по бокам точками пересечения
б) В случае, если фигура ограничена по бокам точками пересечения
Пример
Пример
Предел a = -4 находится по построению
Предел a = -4 находится по построению
Тогда кв
Тогда кв
2. Решение физических задач
2. Решение физических задач
Пример
Пример
б) Работа силы
б) Работа силы
Из закона Гука следует, что F = kx, где k – коэффициент
Из закона Гука следует, что F = kx, где k – коэффициент
III
III
Пример 1. . Найти значение z в т. М(1; -1)
Пример 1. . Найти значение z в т. М(1; -1)
Пример 2. Найти область определения функции
Пример 2. Найти область определения функции
Частные производные
Частные производные
Аналогично, частной производной функции z = z(x, y) по аргументу y
Аналогично, частной производной функции z = z(x, y) по аргументу y
Из определения следует, что на момент дифференцирования функция z
Из определения следует, что на момент дифференцирования функция z
При дифференцировании полезна следующая таблица: xx' = 1, xy' = 0 yy'
При дифференцировании полезна следующая таблица: xx' = 1, xy' = 0 yy'
zy' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)y' = (x – const) = (x3)y' – (3x2y)y‘ +
zy' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)y' = (x – const) = (x3)y' – (3x2y)y‘ +
Полный дифференциал
Полный дифференциал
Пример
Пример
Эти 6 производных подставляются в (1) и (2):
Эти 6 производных подставляются в (1) и (2):
Частные производные высших порядков
Частные производные высших порядков
Порядок дифференцирования указан в индексе пи прочтении слева направо
Порядок дифференцирования указан в индексе пи прочтении слева направо
Вначале найдем частные производные первого порядка: z’x = (x2-2xy2)’x
Вначале найдем частные производные первого порядка: z’x = (x2-2xy2)’x
Экстремум функции нескольких переменных
Экстремум функции нескольких переменных
Находить экстремум согласно определению в общем случае бессмысленно
Находить экстремум согласно определению в общем случае бессмысленно
Точками экстремума являются лишь те из критических точек, в
Точками экстремума являются лишь те из критических точек, в
Рассмотрим в критической точке М(a; b) дискриминант
Рассмотрим в критической точке М(a; b) дискриминант
Пример
Пример
Производные существуют во всей области определения
Производные существуют во всей области определения
Тогда A=z’’xx(0; 2)=2, C=z’’yy(0; 2)=2, B=z’’xy(0; 2)=0
Тогда A=z’’xx(0; 2)=2, C=z’’yy(0; 2)=2, B=z’’xy(0; 2)=0
Расслабляйся
Расслабляйся

Презентация на тему: «Определенный интеграл». Автор: INFORMATIKA 1. Файл: «Определенный интеграл.ppt». Размер zip-архива: 232 КБ.

Определенный интеграл

содержание презентации «Определенный интеграл.ppt»
СлайдТекст
1 Определенный интеграл

Определенный интеграл

Продолжение

2 План лекции:

План лекции:

Замена переменной в определенном интеграле. Приложения определенного интеграла. Функции нескольких переменных (частные производные, дифференцирование сложных функций, экстремумы функций нескольких переменных)

3 I. Замена переменной в определенном интеграле

I. Замена переменной в определенном интеграле

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной данный интеграл с помощью замены ?(х) = t преобразуется в другой определенный интеграл с новой переменной интегрирования t, причем старые пределы интегрирования х1 = a и х2 = b

4 заменяются новыми пределами t1 =

заменяются новыми пределами t1 =

(a) и t2 = ?(b) согласно уравнению замены: Пример. Вычислить Сделаем замену:

5 Вычислим новые пределы интегрирования: при при Теперь

Вычислим новые пределы интегрирования: при при Теперь

6 II

II

Приложения определенного интеграла.

Площадь плоской фигуры: а) площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и двумя непрерывными кривыми y = f1(x) и y = f2(x), где разность функций имеет постоянный знак, находится по формуле

7 Если знаки разности функций известны, то знаки модуля можно опустить

Если знаки разности функций известны, то знаки модуля можно опустить

согласно определению модуля

8 б) В случае, если фигура ограничена по бокам точками пересечения

б) В случае, если фигура ограничена по бокам точками пересечения

кривых f1(x) и f2(x), то площадь вычисляется по такой же формуле, но пределы интегрирования находятся как абсциссы этих точек пересечения.

9 Пример

Пример

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = x2 + 4x и прямой y = x + 4. Сделаем чертеж:

10 Предел a = -4 находится по построению

Предел a = -4 находится по построению

Найдем оба предела интегрирования как абсциссы точек пересечения линий. Так как в точках пересечения значения обеих функций y1 и y2 равны, то

11 Тогда кв

Тогда кв

ед.

12 2. Решение физических задач

2. Решение физических задач

Если точка движется по некоторой кривой со скоростью v(t) ? 0, то путь, пройденный точкой за время [t1; t2], равен

13 Пример

Пример

Скорость точки равна v = 3t2 + 2t (м/с). Найти путь S, который точка преодолела за время t = 4 c, прошедшее с начала движения. В нашем случае t1 = 0, t2 = 4. Тогда

14 б) Работа силы

б) Работа силы

Если переменная сила F(x) действует по оси Ох, то работа силы на отрезке [x1; x2] равна Пример. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила в 1 кг растягивает ее на 1 см?

15 Из закона Гука следует, что F = kx, где k – коэффициент

Из закона Гука следует, что F = kx, где k – коэффициент

пропорциональности. В нашем случае при x = 0,01 м сила F = 1 кг. Отсюда т.е. F = 100 x. Кроме того, x1 = 0, x2 = 0,06. Тогда искомая работа есть

16 III

III

Функции нескольких переменных.

Определение. Если каждой паре действительных чисел (x; y) из области D по определенному правилу ставится в соответствие только одно число z из области Е, то говорит, что на множестве D задана функция двух переменных z = z(x, y). Значение z(a; b) функции z = z (x, y) есть значение этой функции, вычисленное при x = a, y = b.

17 Пример 1. . Найти значение z в т. М(1; -1)

Пример 1. . Найти значение z в т. М(1; -1)

18 Пример 2. Найти область определения функции

Пример 2. Найти область определения функции

Такая функция вычисляется, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. 1 – x2 – y2 ? 0 ? x2 + y2 ? 1

Область есть указанный на рисунке круг.

19 Частные производные

Частные производные

Определение. Частной производной функции z = z(x, y) по аргументу x называется производная этой функции по x, при постоянном y. Обозначения:

20 Аналогично, частной производной функции z = z(x, y) по аргументу y

Аналогично, частной производной функции z = z(x, y) по аргументу y

называется производная этой функции по y при постоянном x. Обозначения:

21 Из определения следует, что на момент дифференцирования функция z

Из определения следует, что на момент дифференцирования функция z

является функцией одной переменной и, следовательно, при нахождении частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования функций одной переменной.

22 При дифференцировании полезна следующая таблица: xx' = 1, xy' = 0 yy'

При дифференцировании полезна следующая таблица: xx' = 1, xy' = 0 yy'

= 1, yx' = 0 cx' = 0, cy' = 0, c – const Примеры. z = x3 – 3x2y + 2y3 + 1, zx', zy' - ? zx' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)x' = (y – const) = (x3)x' – (3x2y)x' + (2y3)x' + 1x' = = 3x2 - 3y · (x2)x' + 0 + 0 = 3x2 – 6xy

23 zy' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)y' = (x – const) = (x3)y' – (3x2y)y‘ +

zy' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)y' = (x – const) = (x3)y' – (3x2y)y‘ +

(2y3)y' + 1y' = = 0 – 3x2 · yy' + 2(y3)y' + 0 = -3x2 + 6y2 2. z = xy, zx', zy' - ? zx' = (xy)x' = yxy-1, zy' = (xy)y' = xylnx (y – const) (x – const)

24 Полный дифференциал

Полный дифференциал

Пусть z=z(x, y), где x=x(u, v), y=y(u, v), u и v – независимые переменные. Тогда частные производные сложной функции z = z(x(u, v), y(u, v)) = f(u, v) находятся по формулам: (1) (2)

25 Пример

Пример

Найдем 6 частных производных, входящих в правые части равенств (1) и (2):

26 Эти 6 производных подставляются в (1) и (2):

Эти 6 производных подставляются в (1) и (2):

В данные выражения подставлять x(u, v) и y(u, v) и упрощать их необязательно. В каждом конкретном случае, когда необходимо вычислить z’u и z’v в т. М(х0; у0), рациональнее предварительно вычислять х и у в этой точке и полученные значения подставлять в (3) и (4).

27 Частные производные высших порядков

Частные производные высших порядков

Частными производными второго порядка функции z=z(x, y) называются частные производные от частных производных первого порядка.

28 Порядок дифференцирования указан в индексе пи прочтении слева направо

Порядок дифференцирования указан в индексе пи прочтении слева направо

Последние две производные отличаются только порядком, называются смешанными и в случае их непрерывности равны.

Пример. z = x2-2xy2 Найти все частные производные 2-ого порядка и проверить равенство z’’xy = z’’yx

29 Вначале найдем частные производные первого порядка: z’x = (x2-2xy2)’x

Вначале найдем частные производные первого порядка: z’x = (x2-2xy2)’x

= 2x-2y2, z’y = (x2-2xy2)’y = -4xy Теперь z’’xx = (2x-2y2)’x = 2, z’’yy = (-4xy)’y = -4x z’’xy = (2x-2y2)’y = -4y, z’’yx = (-4xy)’x = -4y Нетрудно видеть, что z’’xy = z’’yx Выполнение этого условия может служить критерием правильности нахождения частных производных 1-ого порядка и смешанных – 2-ого порядка.

30 Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Точка M(a; b) называется точкой максимума (минимума) функции Z(x , y), если существует такая окрестность точки M, что для всех других точек из этой окрестности Z(x, y)<Z(a, b) (Z(x, y)>Z(a, b)) Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума. Соответствующее значение функции есть экстремум.

31 Находить экстремум согласно определению в общем случае бессмысленно

Находить экстремум согласно определению в общем случае бессмысленно

Выделить из области определения функции конечное число точек, претендующих на точки экстремума, помогает необходимое условие экстремума. «Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки из области определения функции, в которых все ее частные производные 1-ого порядка обращаются в нуль, или не существует хотя бы одна из них». Выделить из множества критических точек точки экстремума позволяют достаточные условия экстремума. Укажем на 2 из них.

32 Точками экстремума являются лишь те из критических точек, в

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, в

окрестности которых приращение функции ?Z = Z(x, y) - Z(a, b) не меняет знака. При этом, если ?Z>0 (?Z<0), то критическая точка есть точка минимума (максимума).

33 Рассмотрим в критической точке М(a; b) дискриминант

Рассмотрим в критической точке М(a; b) дискриминант

=АС-В2, где А=z’’xx(a; b), C=z’’yy(a; b), B=z’’xy(a; b), или B=z’’yx(a; b). Тогда: 1) если ?>0, то М(a; b) - точка экстремума, а именно точка максимума при А<0 (или C<0) и точка минимума при A>0 (или C>0); 2) если ?<0, то в точке М экстремума нет; 3) если ?=0, то требуется дополнительное исследование.

34 Пример

Пример

Найти экстремум функции z=y2-4y+x2 Найдем критические точки. Выпишем частные производные 1-ого порядка: z’x=(y2-4y+x2)’x=2x z’y=(y2-4y+x2)’y=2y-4 Приравниваем их к нулю:

- Критическая точка

35 Производные существуют во всей области определения

Производные существуют во всей области определения

Найдем дискриминант ?=АС-В2. Для этого вначале вычислим частные производные 2-ого порядка: z’xx=(2x)’x=2 z’yy=(2y-4)’y=2 Из равных смешанных производных находят ту, которая получается проще, например, z’’xy: z’’xy=(2x)’y=0

36 Тогда A=z’’xx(0; 2)=2, C=z’’yy(0; 2)=2, B=z’’xy(0; 2)=0

Тогда A=z’’xx(0; 2)=2, C=z’’yy(0; 2)=2, B=z’’xy(0; 2)=0

Дискриминант ?=2·2-02=4>0 => М(0; 2) точка экстремума. A=2>0 => М(0; 2) - точка минимума. Тогда zmin = z(0; 2) = 22 - 4·2 + 0 = -4 Ответ: zmin=-4

37 Расслабляйся

Расслабляйся

«Определенный интеграл»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/opredelennyj-integral-235330.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Интегралы > Определенный интеграл