Интегралы
<<  Первообразная Определённый интеграл  >>
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Интеграл
Интеграл
Более подробно остановимся на «определённом интеграле»
Более подробно остановимся на «определённом интеграле»
Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
Задача 1
Задача 1
Пусть графически задана функция f(x), непрерывная на своей области
Пусть графически задана функция f(x), непрерывная на своей области
Будем рассматривать её на отрезке
Будем рассматривать её на отрезке
Построим фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x = а
Построим фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x = а
Разделим основание [АD] трапеции ABCD точками х0=а;х1;х2;…; хn= b (x0=
Разделим основание [АD] трапеции ABCD точками х0=а;х1;х2;…; хn= b (x0=
Рассмотрим отдельно k- й столбик , т.е. криволинейную трапецию,
Рассмотрим отдельно k- й столбик , т.е. криволинейную трапецию,
Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной
Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной
Если теперь то же самое сделать со всеми остальными столбиками, то
Если теперь то же самое сделать со всеми остальными столбиками, то
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Итак,S
Итак,S
Задача 2
Задача 2
Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность в точке x
Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность в точке x
2) Рассмотрим k-тый участок [ хk,хk+1] и будем считать, что плотность
2) Рассмотрим k-тый участок [ хk,хk+1] и будем считать, что плотность
3) найдём приближённое значение массы m k-го участка: mk=p(хk)
3) найдём приближённое значение массы m k-го участка: mk=p(хk)
4)Найдём приближённое значение массы m стержня: m
4)Найдём приближённое значение массы m стержня: m
Искомая масса равна пределу последовательности Sn
Искомая масса равна пределу последовательности Sn
Задача 3
Задача 3
Разделим промежуток времени [a;b] на n равных частей
Разделим промежуток времени [a;b] на n равных частей
Определённый интеграл
Определённый интеграл
S – площадь криволинейной трапеции
S – площадь криволинейной трапеции
M – массу неоднородного стержня
M – массу неоднородного стержня
S – перемещение точки
S – перемещение точки
S – площадь криволинейной трапеции
S – площадь криволинейной трапеции
C
C
Формула Ньютона – Лейбница
Формула Ньютона – Лейбница
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление площадей плоских фигур
C
C
Пример1
Пример1
2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке
2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке
Рассмотрим функцию – f(x)
Рассмотрим функцию – f(x)
2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке
2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = - х2 - 1,
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = - х2 - 1,
3. Фигура ограничена осью Ох, прямыми х = а, х = b и графиком функции
3. Фигура ограничена осью Ох, прямыми х = а, х = b и графиком функции
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin х, y = 0, х = -
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin х, y = 0, х = -
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Очевидно, что искомая площадь S численно равна алгебраической сумме
Очевидно, что искомая площадь S численно равна алгебраической сумме
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin х, y
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin х, y

Презентация на тему: «Определённый интеграл». Автор: Андрей. Файл: «Определённый интеграл.ppt». Размер zip-архива: 1807 КБ.

Определённый интеграл

содержание презентации «Определённый интеграл.ppt»
СлайдТекст
1 Определённый интеграл

Определённый интеграл

2 Интеграл

Интеграл

Неопределённый

Определённый

3 Более подробно остановимся на «определённом интеграле»

Более подробно остановимся на «определённом интеграле»

Само слово интеграл происходит от латинского слова integer - «целый». В русском языке слово интеграция означает восстановление, воссоединение, восполнение. В математической модели речь идёт фактически о воссоединении целого по отдельным частям. Что же такое «определённый интеграл»?

4 Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

5 Задача 1

Задача 1

(О вычислении площади криволинейной трапеции)

6 Пусть графически задана функция f(x), непрерывная на своей области

Пусть графически задана функция f(x), непрерывная на своей области

определения D(f)

7 Будем рассматривать её на отрезке

Будем рассматривать её на отрезке

y

А

b

8 Построим фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x = а

Построим фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x = а

x = b и у = 0. Назовём её криволинейной трапецией ABCD

Поставим задачу нахождения её площади S

C

B

x=a

x=b

A

D

А

b

y=0

9 Разделим основание [АD] трапеции ABCD точками х0=а;х1;х2;…; хn= b (x0=

Разделим основание [АD] трапеции ABCD точками х0=а;х1;х2;…; хn= b (x0=

a<x1<x2<…<xi<xi+1<xn=b)

Тогда криволинейная трапеция разобьётся – на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.

x0

xn

10 Рассмотрим отдельно k- й столбик , т.е. криволинейную трапецию,

Рассмотрим отдельно k- й столбик , т.е. криволинейную трапецию,

основанием которой служит отрезок [xk; xk+1]

У= f(x)

Xк+1

xk

11 Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной

Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной

f(xk)

Площадь прямоугольника равна f(хk)· ?хk, где ?хk – длина отрезка [хk,хk+1]; естественно считать составленное произведение приближённым значением площади k-го столбика.

12 Если теперь то же самое сделать со всеми остальными столбиками, то

Если теперь то же самое сделать со всеми остальными столбиками, то

придём к следующему результату: площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площадь Sn, ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников. Имеем : Sn = f(x0)?x0+ f(x1)?x1+f(x2)?x2+ …+ f(xk)?xk +…+f(xn-1)?xn-1;

13 Определённый интеграл
14 Итак,S

Итак,S

Sn,причём это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.

Искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности Sn

15 Задача 2

Задача 2

(О вычислении массы стержня)

16 Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность в точке x

Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность в точке x

вычисляется по формуле p = p (x). Найти массу стержня. Решение. 1) разобьём отрезок [a,b] на n равных частей.

x

X0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn

17 2) Рассмотрим k-тый участок [ хk,хk+1] и будем считать, что плотность

2) Рассмотрим k-тый участок [ хk,хk+1] и будем считать, что плотность

во всех точках этого участка постоянна, а именно такая, как, например, в точке хk. Итак, мы считаем, что p = p(хk)

x

X0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn

18 3) найдём приближённое значение массы m k-го участка: mk=p(хk)

3) найдём приближённое значение массы m k-го участка: mk=p(хk)

хk, где ?хk- длина отрезка.

x

X0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn

19 4)Найдём приближённое значение массы m стержня: m

4)Найдём приближённое значение массы m стержня: m

Sn, где Sn= m0 +m1+ m2+m3+…+mk+…+mn-1= = p(х0)?х0+p(x1)?х1+p(x2) ?х2+…+p(хn-1)?хn-1.

x

X0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn

20 Искомая масса равна пределу последовательности Sn

Искомая масса равна пределу последовательности Sn

21 Задача 3

Задача 3

(О перемещении точки)

По прямой движется точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v=v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [a; b].

22 Разделим промежуток времени [a;b] на n равных частей

Разделим промежуток времени [a;b] на n равных частей

Рассмотрим промежуток времени [ ]. Будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, т.е Приближенное значение перемещения точки за промежуток времени [ ]: Приближенное значение перемещения s: Точное значение перемещения вычисляется по формуле :

23 Определённый интеграл
24 S – площадь криволинейной трапеции

S – площадь криволинейной трапеции

В этом и состоит геометрический смысл определённого интеграла.

25 M – массу неоднородного стержня

M – массу неоднородного стержня

В этом и состоит физический смысл определённого интеграла.

26 S – перемещение точки

S – перемещение точки

В этом и состоит физический смысл определённого интеграла.

27 S – площадь криволинейной трапеции

S – площадь криволинейной трапеции

28 C

C

B

x=a

x=b

A

D

А

b

y=0

29 Формула Ньютона – Лейбница

Формула Ньютона – Лейбница

30 Вычисление площадей плоских фигур

Вычисление площадей плоских фигур

31 C

C

B

x=a

x=b

A

D

А

b

y=0

32 Пример1

Пример1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0,5х2 + 1, y = 0, х = - 2, x = 3 .

33 2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке

2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке

[а; b] функции f(х), осью Ох и прямыми х = а, х = b.

34 Рассмотрим функцию – f(x)

Рассмотрим функцию – f(x)

Фигура аА1В1b симметрична фигуре аАВb относительно оси Ох, а следовательно, их площади S1 и S равны. Но

2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке [а; b] функции f(х), осью Ох и прямыми х = а, х = b.

35 2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке

2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке

[а; b] функции f(х), осью Ох и прямыми х = а, х = b.

36 Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = - х2 - 1,

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = - х2 - 1,

у = 0, х =-1, х = 2.

37 3. Фигура ограничена осью Ох, прямыми х = а, х = b и графиком функции

3. Фигура ограничена осью Ох, прямыми х = а, х = b и графиком функции

f(х), которая непрерывна на отрезке [а; b] и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке. В этом случае разбивают отрезок [а; b] на такие частичные отрезки, на которых функция f(х) знакопостоянна: имеется три таких отрезка: [a; c], [с; d], [d; b].

38 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin х, y = 0, х = -

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin х, y = 0, х = -

/2, х = ? .

Очевидно, что sin х ? 0 для всех х ? [- ? /2; 0] и sin х ? 0 для всех х ? [0; ?]. Поэтому

39 Определённый интеграл
40 Определённый интеграл
41 Определённый интеграл
42 Определённый интеграл
43 Очевидно, что искомая площадь S численно равна алгебраической сумме

Очевидно, что искомая площадь S численно равна алгебраической сумме

интегралов, взятых по каждому из полученных отрезков, причем знаки, с которыми эти интегралы входят в алгебраическую сумму, совпадают со

Знаками функции f(х) на соответствующих отрезках.

Так, площадь фигуры, изображенной на рисунке, вычисляется по формуле:

3. Фигура ограничена осью Ох, прямыми х = а, х = b и графиком функции f(х), которая непрерывна на отрезке [а; b] и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке. В этом случае разбивают отрезок [а; b] на такие частичные отрезки, на которых функция f(х) знакопостоянна: имеется три таких отрезка: [a; c], [с; d], [d; b].

44 Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin х, y

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin х, y

= 0, х = -?/2, х = ? .

Очевидно, что sin х ? 0 для всех х ? [- ? /2; 0] и sin х ? 0 для всех х ? [0; ?]. Поэтому

«Определённый интеграл»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/opredeljonnyj-integral-194599.html
cсылка на страницу

Интегралы

12 презентаций об интегралах
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Интегралы > Определённый интеграл