Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша

Лекция №6 Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша

Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочно-постоянных знакопеременных функций, задаваемых на отрезке либо и принимающих значения . Для представления реальных, ограниченных во времени сигналов с началом отсчета в нулевой точке, удобно пользоваться функциями Уолша с интервалом определения . .

Базис функций Уолша

Интервал определения функций Уолша можно представить как совокупность равных подынтервалов, на каждом из которых функции Уолша принимают значения +1 или -1, а на концах подынтервалов имеют разрывы первого рода, причем в этих точках функции Уолша непрерывны справа. Совместно записанные и пронумерованные функции Уолша образуют базисную систему, в которой можно разложить произвольный сигнал в ряд Уолша. Поскольку нумерация (упорядочение) функций Уолша может быть выполнена различными способами, то возможны три варианта упорядочения: по Пэли, Хармуту и Адамару.

Функции Радемахера

Каждая из систем упорядочения функций Уолша может быть построена и аналитически описана с помощью кусочно-постоянных функций Радемахера . Эти функции на интервале заданы следующим образом: Выражение является функцией знака Функции Радемахера, имеют вид совокупности меандров.

Функции Радемахера

Три первые функции Радемахера приведены на рисунке:

1

0

1

-1

1

1

0

-1

1

1

0

-1

Функции Радемахера

Функции Радемахера ортонормированны на интервале , но не образуют полной системы функций, т.к. являются нечетными функциями относительно середины интервала. В частности, можно подобрать функцию , которая будет ортогональна всем функциям Радемахера. Поэтому, дополнив систему Радемахера функциями, образованными посредством всевозможных произведений функций Радемахера, построим полную систему функций Уолша с различными способами упорядочения.

Диадно-упорядоченная система функций Уолша

Функции Пэли с номером ( ) формируются из произведений таких функций Радемахера, номера которых определяются по номерам позиций двоичного представления числа , содержащих единицу. Если номер функции имеет следующее двоичное разрядное представление: то функции системы Пэли в общем виде представляются так:

Диадно-упорядоченная система функций Уолша

Пример. Построить систем у функций Пэли для случая

Диадно-упорядоченная система функций Уолша

1

0

1

-1

1

0

1

-1

1

0

1

-1

Система упорядочения по Хармуту

Систему упорядочения по Хармуту называют системой, функции которой упорядочены по частоте следования или по числу переходов через нулевой уровень (числу смены знаков) на интервале . Запишем функции системы Хармута в форме: Анализ показывает, что система Хармута представляет собой систему, в которой чередуются четные и нечетные функции относительно середины временного интервала. Свойство четной и нечетной симметрии уподобляет систему Хармута тригонометрической системе функций .

Свойства функций Уолша

Ортогональность функций на интервале : Модуль функций Уолша равен 1, т.к. функции принимают только значения : 3. Среднее значение функций Уолша для всех равно нулю в силу ортогональности с функцией : 4. Функции Уолша являются ортонормированными: при любом .

Разложение непрерывных сигналов по функциям Уолша

Ряд Уолша записывается в виде: Коэффициенты разложения (спектр Уолша) определяются по формуле: В силу полноты и ортонормированности системы функций Уолша справедливо равенство Парсеваля: