Неравенства
<<  Применение непрерывности урок Решение параметрических уравнений и неравенств с модулями  >>
Практикум по решению нестандартных уравнений и неравенств
Практикум по решению нестандартных уравнений и неравенств
Актуальность
Актуальность
Основные задачи
Основные задачи
Какая же задача называется нестандартной
Какая же задача называется нестандартной
Нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не
Нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не
Уравнения
Уравнения
Содержание
Содержание
Метод разложения на множители
Метод разложения на множители
Пример 2. Решите дробно-рациональное уравнение: Представим уравнение в
Пример 2. Решите дробно-рациональное уравнение: Представим уравнение в
Приравняем нулю каждый из множителей в левой части последнего
Приравняем нулю каждый из множителей в левой части последнего
Пример 3.Решите уравнение: Возведем обе части уравнения в куб:
Пример 3.Решите уравнение: Возведем обе части уравнения в куб:
Введение новой переменной
Введение новой переменной
Пример 5.Решите уравнение: (х+3)
Пример 5.Решите уравнение: (х+3)
Пример 6. Решите уравнение: Отнимем от обеих частей уравнения для того
Пример 6. Решите уравнение: Отнимем от обеих частей уравнения для того
Пример 7. Решите уравнение: х2+8х+8=4(х+2) Положим =t
Пример 7. Решите уравнение: х2+8х+8=4(х+2) Положим =t
Функционально-графический метод
Функционально-графический метод
Пример 9. Решите уравнение: Очевидно один корень уравнения х=2
Пример 9. Решите уравнение: Очевидно один корень уравнения х=2
Элективный курс
Элективный курс
Учебно–тематический план
Учебно–тематический план
4
4
Неравенства
Неравенства
Содержание
Содержание
3 Доказательства неравенств Метод перехода к равносильному неравенству
3 Доказательства неравенств Метод перехода к равносильному неравенству
Числовые неравенства и их свойства
Числовые неравенства и их свойства
Основные методы установления истинности числовых неравенств
Основные методы установления истинности числовых неравенств
Сравнение чисел с помощью составления отношения и сравнение с 1
Сравнение чисел с помощью составления отношения и сравнение с 1
Текстовые задачи на сравнение чисел
Текстовые задачи на сравнение чисел
Задача 3. Человек пил кофе следующим образом: сначала он налил полную
Задача 3. Человек пил кофе следующим образом: сначала он налил полную
Доказательства неравенств
Доказательства неравенств
Метод вставки или метод усиления неравенств
Метод вставки или метод усиления неравенств
Докажите неравенство: а) б) Докажите, что если =1, то S= Докажите, что
Докажите неравенство: а) б) Докажите, что если =1, то S= Докажите, что
Доказательства неравенств с помощью теоретических (опорных) неравенств
Доказательства неравенств с помощью теоретических (опорных) неравенств
Докажите, что если а, b, с – длины сторон треугольника, то Когда это
Докажите, что если а, b, с – длины сторон треугольника, то Когда это
Неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим
Неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим
Докажите, что среднее арифметическое любых трех неотрицательных чисел
Докажите, что среднее арифметическое любых трех неотрицательных чисел
Докажите неравенства
Докажите неравенства
Неравенство Бернулли
Неравенство Бернулли
Докажите, что если у арифметической прогрессии (аn) с положительными
Докажите, что если у арифметической прогрессии (аn) с положительными
Векторное неравенство Коши - Буняковского
Векторное неравенство Коши - Буняковского
Докажите неравенства
Докажите неравенства
Доказательство неравенств с помощью производной
Доказательство неравенств с помощью производной
Доказательство неравенств
Доказательство неравенств
Что больше: а) б) в) Решим более общую задачу: выясним, когда , а
Что больше: а) б) в) Решим более общую задачу: выясним, когда , а
Докажите неравенства
Докажите неравенства
Элективный курс
Элективный курс
Учебно –тематический план
Учебно –тематический план
3
3
Известные факты, рассмотренные под необычным углом, вновь доказывают,
Известные факты, рассмотренные под необычным углом, вновь доказывают,

Презентация: «Понятие дробного рационального уравнения». Автор: Санёк. Файл: «Понятие дробного рационального уравнения.ppt». Размер zip-архива: 513 КБ.

Понятие дробного рационального уравнения

содержание презентации «Понятие дробного рационального уравнения.ppt»
СлайдТекст
1 Практикум по решению нестандартных уравнений и неравенств

Практикум по решению нестандартных уравнений и неравенств

Лысенко Надежда Анатольевна, Остапенко Лилия Анатольевна

2 Актуальность

Актуальность

Развивается творческое и логическое мышление формируются способности нестандартно мыслить проявляется самостоятельность умение применять способы решения задачи в практической деятельности использовать полученные знания и умения в решении прикладных и практических задач

3 Основные задачи

Основные задачи

подготовить учащихся к итоговой аттестации; подготовить учащихся к поступлению в ВУЗ; научить различным приемам при решении уравнений; приобщить учащихся к работе с математической литературой

4 Какая же задача называется нестандартной

Какая же задача называется нестандартной

5 Нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не

Нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не

имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения» (Фридман Л.М., Турецкий Е. Н. )

6 Уравнения

Уравнения

7 Содержание

Содержание

1 Понятие уравнения и его свойства 2 Методы решения уравнений Метод разложения на множители Метод введения новой переменной Функционально-графический метод 3 Приложение Элективный курс «Решение нестандартных уравнений»

8 Метод разложения на множители

Метод разложения на множители

Пример 1. Решить алгебраическое уравнение : (х-a)?+(х-b)?=(2х-a-b)? . Соберём все члены в левой части уравнения и сумму кубов (х-a)?+(х-b)? разложим на множители. После этого в левой части можно выделить общий множитель 2х-a-b: (2х-a-b)((х-a)?-(х-a)(х-b)+(х-b)?-(2х-a-b)?)=0, (2х-a-b)(-3х?+3(a+b)х-3ab)=0. Отсюда х? =(a+b):2, х?=a, х?=b. Ответ:(a+b ):2; a; b.

9 Пример 2. Решите дробно-рациональное уравнение: Представим уравнение в

Пример 2. Решите дробно-рациональное уравнение: Представим уравнение в

таком виде Приведем разности в левой и правой частях этого уравнения к общим знаменателям: (х-6) ( - )=0

10 Приравняем нулю каждый из множителей в левой части последнего

Приравняем нулю каждый из множителей в левой части последнего

уравнения. Получим х – 6 =0 или 8х= 66, учитывая при этом, что х=-9, х=-6, х=-15, х= -8. Тогда Ответ: 6,-33/4.

11 Пример 3.Решите уравнение: Возведем обе части уравнения в куб:

Пример 3.Решите уравнение: Возведем обе части уравнения в куб:

(х-1)(2х-1)=(1-х)?, (х-1)(2х-1+(х-1)?)=0, (х-1)х?=0. Отсюда х?=1, х?=х?=0. Проверка по первоначальному уравнению показывает, что значение х=1 ему удовлетворяет, а значение х=0 – не удовлетворяет. Ответ: 1.

12 Введение новой переменной

Введение новой переменной

Пример 4. Решите уравнение: (х-1)(х-2)(х-4)(х-8)= 4х2. (х?-9х+8)(х?-6х+8)=4х?. (x-9+ )(x-6+ )=4 Введем подстановку: х-9+ =у. y(у+3)=4, у2+3у-4=0; у1=1, у2=-4. х?,?=5 Ответ: 5 .

13 Пример 5.Решите уравнение: (х+3)

Пример 5.Решите уравнение: (х+3)

+(х+5)?=16. Положим х+4=y ,т. к. =х+4. Имеем: (y-1)?+(y+1)?=16. Теперь нужно в левой части уравнения (y-1) и ( y+1) возвести в квадрат, а затем то, что получилось, ещё раз возвести в квадрат. После упрощений образуется биквадратное уравнение: y?+6y?-7=0. Его корни y?,? = . Отсюда х?=-3, х?=-5. Ответ: -3; -5.

14 Пример 6. Решите уравнение: Отнимем от обеих частей уравнения для того

Пример 6. Решите уравнение: Отнимем от обеих частей уравнения для того

чтобы получить в левой части квадрат разности: А теперь очевидная подстановка = у. Ответ: .

15 Пример 7. Решите уравнение: х2+8х+8=4(х+2) Положим =t

Пример 7. Решите уравнение: х2+8х+8=4(х+2) Положим =t

При , х+1=t2. (t2-1)2+8(t2-1)+8=4(t2-1)t, t4-2t2+1+8t2-8+8=4t3+4t, t4-4t3+6t2-4t+1=0. Последнее уравнение имеет четырехкратный корень t=1. t-1)4=0. Если t=1, то х=0. Ответ: 0.

16 Функционально-графический метод

Функционально-графический метод

Пример 8.Решите уравнение: Найдём область определения D уравнения. Она совпадает с множеством всех решений системы неравенств Решением первого неравенства является множество , второго отрезок . Следовательно, область D состоит всего из двух точек -0 и 1. Значение х=0 не удовлетворяет уравнению, значение х=1- удовлетворяет. Ответ: 1.

17 Пример 9. Решите уравнение: Очевидно один корень уравнения х=2

Пример 9. Решите уравнение: Очевидно один корень уравнения х=2

Имеет ли оно другие корни? Левая часть уравнения есть возрастающая функция, как сумма трех возрастающих функций. Но монотонная функция каждое свое значение (в данном случае значение 7) принимает в единственной точке, поэтому других корней у уравнения нет. Ответ: 2.

18 Элективный курс

Элективный курс

Тема «Решение нестандартных уравнений» Цель: Расширение и углубление знаний по математике; развитие интеллектуальных способностей, логического мышления и познавательного интереса.

19 Учебно–тематический план

Учебно–тематический план

1

Алгебраические уравнения. (Разложение на множители. Замена переменной. Уравнения с параметрами. Возвратные уравнения и уравнения, решаемые тем же способом, что и возвратные. Искусственные приёмы.)

8

2

Дробно-рациональные уравнения. (Сведение к алгебраическому. Замена переменной. Метод группировки.)

4

3

Иррациональные уравнения. (Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Введение новых переменных. Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию. Решение с помощью неравенств. Искусственные приёмы.)

8

Тема и содержание

Ча сы

Форма контроля

Самостоятельное решение заданий ЕГЭ части В и части С из сборников

Тестирование

Самостоятельное решение конкурсных задач

20 4

4

Тригонометрические уравнения. (Разложение на множители. Метод подстановки. С помощью неравенств. Уравнения с обратными тригонометрическими функциями. Искусственные приёмы. )

8

5

Уравнения и неравенства смешанного типа. (Метод оценки. Использование монотонности функций. Графический способ.)

4

6

Итоговое занятие.

2

Самостоятель ное решение конкурсных задач

Самостоятель ное решение заданий ЕГЭ из части В и части С

Защита проектов, рефератов, творческих работ

21 Неравенства

Неравенства

22 Содержание

Содержание

1 Числовые неравенства и их свойства Понятие неравенства Свойства неравенств 2 Основные методы установления истинности числовых неравенств Сравнение чисел с помощью составления разности Сравнение чисел с помощью составления отношения и сравнение с 1 Текстовые задачи на сравнение чисел

23 3 Доказательства неравенств Метод перехода к равносильному неравенству

3 Доказательства неравенств Метод перехода к равносильному неравенству

Метод вставки или метод усиления неравенств 4 Доказательства неравенств с помощью теоретических (опорных) неравенств Доказательства неравенств со взаимно – обратными числами Неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши) Неравенство Бернулли Векторные неравенство Коши – Буняковского Доказательство неравенств с помощью производной

24 Числовые неравенства и их свойства

Числовые неравенства и их свойства

Понятие неравенства Свойства неравенств Свойство 1. Если a > b и b > c, то a > c. Свойство 2. Если а > b, то a+с > b+c. Свойство 3. Если а > b и m>0, то am > bm. Если а > b и m<0, то am < bm. Свойство 4. Если а > b и с > d, то а + c > b+d. Свойство 5. Если а,b,с,d –положительные числа, и а>b, с>d, то ас > bd. Свойство 6. Если а и b – неотрицательные числа и а > b, то а? > b?, где n є N.

25 Основные методы установления истинности числовых неравенств

Основные методы установления истинности числовых неравенств

Сравнение чисел с помощью составления разности Пример 1. Что больше а) 222221/333333 или 444443/666665 ; б) в) 199910+200120 или 2 200010?

26 Сравнение чисел с помощью составления отношения и сравнение с 1

Сравнение чисел с помощью составления отношения и сравнение с 1

Пример 2. Что больше: а) б) 202505 или 505202?

27 Текстовые задачи на сравнение чисел

Текстовые задачи на сравнение чисел

Задача 1. Пункты А и В расположены на берегу реки в 10 километрах друг от друга. Катер проплыл из А в В и обратно без остановки. Больше или меньше времени понадобится ему для того, чтобы проплыть 20 км по озеру, в котором нет течения? Ответ: меньше. Задача 2. Если первая грузовая автомашина сделает 4 рейса, а вторая-3, то вместе они перевезут меньше 21 т груза. Если же первая автомашина сделает 7 рейсов, а вторая 4, то вместе они перевезут больше 33 т груза. Какая автомашина имеет большую грузоподъемность? Ответ: первая.

28 Задача 3. Человек пил кофе следующим образом: сначала он налил полную

Задача 3. Человек пил кофе следующим образом: сначала он налил полную

чашку кофе, выпил половину, затем доверху налил молоко; потом выпил 1/4 и снова налил доверху молоко; выпил 1/8 новой смеси и опять долил чашку доверху молоком; и т.д., кроме последнего раза, когда он выпил чашку до дна. Чего он выпил больше: кофе или молока? Ответ: кофе.

29 Доказательства неравенств

Доказательства неравенств

Метод перехода к равносильному неравенству 1.Докажите неравенство: (Х-3)(Х-4)(Х-5)(Х-6)+1?0 2. Верно ли, что при всех действительных значениях Х Х4+(Х+2)4?2? Докажите неравенство:

30 Метод вставки или метод усиления неравенств

Метод вставки или метод усиления неравенств

При доказательстве неравенств нередко используется метод вставки или метод усиления неравенств. Заключается он в следующем: для того, чтобы доказать неравенство а>b, достаточно доказать, что существует такое число (или выражение) с, что а>с и с>b. Как найти число с? Кроме того, иногда приходится вставлять между а и b не одно промежуточное число с, а два-три, а то и больше.

31 Докажите неравенство: а) б) Докажите, что если =1, то S= Докажите, что

Докажите неравенство: а) б) Докажите, что если =1, то S= Докажите, что

если a>1,b>1,то S=

.

32 Доказательства неравенств с помощью теоретических (опорных) неравенств

Доказательства неравенств с помощью теоретических (опорных) неравенств

Доказательства неравенств со взаимно – обратными числами Сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2: (а +1/a) ?2 (4.1), причем равенство достигается только при а=1. Докажите неравенство: Докажите, что если числа а и b положительные, то выполняется неравенство

33 Докажите, что если а, b, с – длины сторон треугольника, то Когда это

Докажите, что если а, b, с – длины сторон треугольника, то Когда это

неравенство превращается в равенство?

34 Неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

Неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

(неравенство Коши)

Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел а и b не меньше их среднего геометрического: Причем равенство достигается только при а=b. Докажите, что среднее арифметическое любых четырех неотрицательных чисел а,b,c,d не меньше их среднего геометрического: Причем равенство достигается только при a=b=c=d.

35 Докажите, что среднее арифметическое любых трех неотрицательных чисел

Докажите, что среднее арифметическое любых трех неотрицательных чисел

a,b,c не меньше их среднего геометрического: , причем равенство достигается при a=b=c. Вывод: Cреднее арифметическое любых n неотрицательных чисел a1,a2…an не меньше их среднего геометрического: Причем это неравенство превращается в равенство только при равенстве всех чисел между собой a1=a2=…=an. Неравенство было впервые доказано знаменитым французским математиком 19 века О. Коши и называется неравенство Коши.

36 Докажите неравенства

Докажите неравенства

А) б) (а+2)(b+2)(a+b) ?16ab (a?0, b?0) в)

37 Неравенство Бернулли

Неравенство Бернулли

При любом натуральном n и любом а?-1 выполняется неравенство (1+а)n ?1+na , причем равенство возможно только при n=1 или а=0 Это неравенство называется неравенством Бернулли Докажите неравенство: а) (1,01)100>2 б) 1036>937

38 Докажите, что если у арифметической прогрессии (аn) с положительными

Докажите, что если у арифметической прогрессии (аn) с положительными

числами и геометрической прогрессии (bn) равны два первых члена: a1=b1, a2=b2, то при любом n>2 справедливо неравенство bn ? аn .

39 Векторное неравенство Коши - Буняковского

Векторное неравенство Коши - Буняковского

Векторным неравенством Коши- Буняковского, названным так по имени двух выдающихся математиков XXI века-французского О.Коши (1789-1855) и русского В.Я. Буняковского (1804-1889), называется неравенство , где - векторы, - их скалярное произведение, - длины этих векторов.

40 Докажите неравенства

Докажите неравенства

1. 2. 3. 4. Докажите, что если a+b+c=3, то

41 Доказательство неравенств с помощью производной

Доказательство неравенств с помощью производной

Признак возрастания и убывания функции: если производная функции положительна (отрицательна) на некотором промежутке, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке. Признак экстремума: если производная функции в критической точке (то есть точке из области определения функции, в которой производная равна 0 или не существует) меняет знак с плюса на минус, то эта точка является точкой максимума, а если с минуса на плюс, то точкой минимума функции.

42 Доказательство неравенств

Доказательство неравенств

Докажите, что если Докажите неравенство: Докажем неравенство Бернулли с помощью производной , причем равенство достигается при

43 Что больше: а) б) в) Решим более общую задачу: выясним, когда , а

Что больше: а) б) в) Решим более общую задачу: выясним, когда , а

когда , если a>1, b>1 и числа a и b различны.

44 Докажите неравенства

Докажите неравенства

А) б)

45 Элективный курс

Элективный курс

Тема « Нестандартные неравенства» Цель: расширение и углубление знаний по математике; развитие интеллектуальных способностей, логического мышления и познавательного интереса; способствует подготовке к математическим конкурсам и олимпиадам разного уровня; оказание помощи в выборе профиля обучения в более старших классах.

46 Учебно –тематический план

Учебно –тематический план

Тема и содержание

Всего часов

Форма работы

1

Числовые неравенства и их свойства. (Понятие положительного и отрицательного действительного числа ,число нуль .Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше» для действительных чисел, его геометрическая интерпретация и свойства. Понятие «меньше», «не больше» и «не меньше». Числовые неравенства. Простейшие свойства числовых неравенств.)

2

Лекция

2

Основные методы установления истинности числовых неравенств. ( Сравнение двух чисел-значений числовых выражений «по определению» , путем сравнения их отношения с единицей, путем сравнения их степеней, путем сравнения с промежуточными числами).

4

Лекция-1 Семинар-2,5 Тестирование-0,5

47 3

3

Решение текстовых задач на сравнение чисел.

2

Решение задач.

4

Основные методы доказательства неравенств. (Метод перехода к равносильному неравенству; метод вставки или метод усиления неравенств.)

3

Лекция-1 Самостоятельное решение задач.

5

Доказательство неравенств с помощью опорных неравенств. ( Доказательство неравенств со взаимно-обратными числами. Среднее арифметическое и среднее геометрическое. Частные случаи неравенства Коши ,их обоснование и применение. Неравенство Коши для произвольного числа переменных. Исторический экскурс . Некоторые неравенства эквивалентные неравенству Коши.) Неравенство Бернулли и его применение.

6

Лекция-1,5 Самостоятельное решение заданий .Защита проектов, рефератов, творческих работ-4,5.

48 Известные факты, рассмотренные под необычным углом, вновь доказывают,

Известные факты, рассмотренные под необычным углом, вновь доказывают,

что математика – интереснейшая дисциплина, полная загадок и тайн.

«Понятие дробного рационального уравнения»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/ponjatie-drobnogo-ratsionalnogo-uravnenija-226135.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Неравенства > Понятие дробного рационального уравнения