Презентация на тему «Понятие о вероятности»

Понятие о вероятности

Основные понятия

Рассмотрим результаты опыта при бросании монеты. Пусть рассматривается событие «А»: «в результате броска выпал герб». Будем рассматривать зависимость отношения n/N, где n – число опытов, при которых событие произошло, N – полное число опытов.

Получается следующая закономерность:

Основные понятия

Рассмотрим результаты опыта при бросании кубика. Пусть рассматривается событие «А»: «в результате броска выпало число 6». Будем рассматривать зависимость отношения n/N, где n – число опытов, при которых событие произошло, N – полное число опытов.

Получается следующая закономерность:

Определение

Пусть есть событие А. Пусть в N испытаниях событие A произошло n раз. Тогда вероятностью числа A называется

Основное правило расчета вероятности

Пусть имеется события А и В, образующие полную непересекающуюся группу событий. Пусть события A и В могут быть разложены в сумму непересекающихся событий

Основное правило расчета вероятности

Очевидно, что в этом случае события A1, A2…An, Bn+1, Bn+2 … BN образуют полную непересекающуюся группу событий. События A1, A2…An называются реализациями события А, а события Bn+1, Bn+2 … BN называются реализациями события В. Пусть p(A1)= p(A2)=…= p(An)= p(Bn+1)=…=p(BN) Такие события называются равновероятными. Тогда: вероятность наступления события А

Ошибка Д' Аламбера

Бросаются две монеты. Какова вероятность, что обе монеты упадут орлом кверху? Д'Аламбер: в результате бросания двух монет возможны следующие три события: "выпали два орла", "выпали две решки" и "выпали орел и решка". Эти события находятся в равных условиях, поэтому их вероятности равны 1/3.

Ошибка Д' Аламбера

Решим эту задачу иначе. Возможные события, которые являются результатом опыта с двумя монетами, будем обозначать двумя буквами. Первая буква означает выпадение орла(О) или решки(Р) на 1-ой монете, а вторая - выпадение орла или решки на 2-ой. Тогда 4 исхода бросания двух монет можно записать так: ОО; ОР; РО; РР. Все эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную неперекрывающуюся группу событий. Пусть событие A - "выпали два орла". Этому событию благоприятствует только один исход ОО. Поэтому M = 1; N = 4; P(A) = M / N= 1/4.

Ошибка Д' Аламбера

Теперь нетрудно заметить ошибку Д'Аламбера. Он считал, что события "выпали два орла" и "выпали орел и решка" равновозможны, а это не так. Последнему событию благоприятствуют два исхода: ОР и РО, поэтому вероятность события "выпали орел и решка" P = M / N = 2/4 = 1/2 ? 1/3.

Свойства вероятности

I. Вероятность достоверного события равна 1. Доказательство: Если событие А достоверное, то любой исход испытания благоприятствует этому событию, следовательно n = N . Значит, P(A) = n / N = N / N = 1 . II. Вероятность невозможного события равна 0. Доказательство: Если событие А невозможное, то ни один из исходов испытания не благоприятствует ему. Следовательно, n = O, но тогда P(A) = n / N = 0 / N = 0 .

Свойства вероятности

III. Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству 0 ? P(A) ? 1. Доказательство: Число исходов, благоприятствующих наступлению события, либо равно 0, либо N , либо, по определению вероятности, является частью всех N исходов испытания. Тогда O ? n ? N, а значит, 0 ? n / N ? 1. Следовательно, 0 ? Р(А) ? 1.

Пример 1

Игроки А и В играли в кости двумя кубиками. Игрок А выбросил 9 очков. Найти вероятность того, что он выиграет.

Решение

Найдем число вариантов выпадения очков при одном броске пары кубиков. На любом из них моет выпасть цифра от одного до шести. Тогда N=6·6=36. Рассчитаем число вариантов, удовлетво-ряющих игрока А:

Игрок Б может выбросить

Количество очков

Число вариантов

2

1 (1+1)

3

2 (1+2; 2+1)

4

3 (1+3;2+2;3+1)

5

4 (1+4;2+3;3+2;4+1)

6

5 (1+5;2+4;3+3;4+2;5+1)

7

6 (1+6;2+5;3+4;4+3;5+2;6+1)

8

5 (2+6;3+5;4+4;5+3;6+2)

Итого

26

Вероятность полной группы событий

Пусть события A1, A2…AN образуют полную неперекрывающуюся группу событий. Тогда

Доказательство

Пусть число всех возможных способов реализации опыта N. Пусть событие А1 реализуется числом способов n1, событие А2 – n2 и т.д. Очевидно, что

Решим ту же задачу другим способом

Найдем число способов, при котором игрок А не выиграет. Возможны варианты: 1. Ничья, реализуется числом способов 4 (9 очков: 3+6,4+5,5+4,6+3) P(“Ничья”)=4/36=1/9 2. Победил Б, для этого ему нужно выбросить более 9 очков.

Количество очков

Число вариантов

10

3(4+6,5+5,6+4)

11

2(5+6,6+5)

12

1(6+6)

Итого

6

Рассчитаем варианты

Тогда:

Вероятность последующих событий

Пусть последовательно исследуются два независимых события A1 и A2, причем их вероятности соответственно P(A1) и P(A2). Тогда вероятность события A, состоящего в том, что последовательно произойдут события A1 и A2 может быть вычислена:

Доказательство

Пусть событие A1 реализуется числом благоприятных исходов n1 из числа возможных исходов N1, а событие A2 реализуется числом благоприятных исходов n2 из числа возможных исходов N2. Так события A1 и A2 независимы, то число благоприятных исходов для события A n=n1·n2, а число возможных исходов для события A N=N1·N2. Тогда вероятность события A

Важное замечание

При расчете вероятности нескольких последующих событий важно проверить, не изменилась ли ситуация!

Пример 2

В ящике 4 белых и 6 черных шаров. Наудачу выбирают один шар, затем кладут его на место и вынимают второй шар. Найти вероятность, что дважды вытащен черный шар.

Решение

Всего 4+6=10 шаров, т.е. 10 равновозможных вариантов. Необходимо при первой попытке вытащить черный шар. Это можно сделать 6 способами. Вероятность этого события, назовем его событие A1, составляет

Перед второй попыткой вытащенный шар положили на место

В ящике по-прежнему всего 4+6=10 шаров, т.е. 10 равновозможных вариантов. Необходимо при второй попытке вытащить черный шар. Это можно сделать 6 способами. Вероятность этого события, назовем его событие A2, составляет также

Вероятность события A, состоящего в том, что дважды был вытащен черный

шар

Пример 3

В ящике 4 белых и 6 черных шаров. Наудачу выбирают один шар, затем откладывают его в сторону и вынимают второй шар. Найти вероятность, что дважды вытащен черный шар.

Решение

Всего 4+6=10 шаров, т.е. 10 равновозможных вариантов. Необходимо при первой попытке вытащить черный шар. Это можно сделать 6 способами. Вероятность этого события, назовем его событие A1, составляет

Перед второй попыткой вытащенный шар не положили на место

В ящике теперь всего 4+5=9 шаров, т.е. 9 равновозможных вариантов. Необходимо при второй попытке вытащить черный шар. Это можно сделать 5 способами. Вероятность этого события, назовем его событие A2, составляет

Вероятность события A, состоящего в том, что дважды был вытащен черный

шар

Домашнее задание

Теорию событий выучить! Основы теории вероятности и правила расчета вероятности разобрать и если что-то непонятно подготовить вопросы. Задачи.

Задача 1

В ящике 4 белых и 6 черных шаров. Наудачу выбирают два шара. Найти вероятность, вытащенные шары окажутся разного цвета. Рассмотреть случаи, когда первый вытащенный шар откладывают в сторону и вынимают второй шар и когда его кладут на место перед второй попыткой.

Задача 2

В 30-е годы каждому велосипедисту полагался номер, включающий в себя 4 цифры от 0 до 9 на любой позиции. Некто купил велосипед и пошел получать номер. Будучи человеком суеверным и зная, что есть такай противная неисправность как «восьмерка» он страшно боялся, что в номере будет присутствовать хотя бы одна цифра 8. Однако по дороге он успокоил себя, решив, что т.к. «плохая» цифра 1 из десяти, то вероятность этого крайне мала: p=0.1. Какова в действительности эта вероятность? Чему она была бы равна, если число цифр в номере было бы 8, а не 4?

Задача 3

Перед последним туром чемпионата страны по футболу «ЦСКА», «Локомотив», «Зенит», «Спартак» и «Торпедо» набрали равные показатели. Однокруговой турнир ничего не дал – одни ничьи. Было решено провести турнир по пенальти. Считая пенальти лотереей и шансы команд абсолютно равными найти вероятность события, что «Зенит» будет с медалями , а «Спартак» - нет.