Презентация на тему «Понятие обратной функции»

Понятие обратной функции

Определение обратных тригонометрических функций.

Алгебра и начала анализа, 10 класс.

Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Рассмотрим пример какой-либо функции, заданной в явном виде формулой

y=f(x). Пусть, для определенности, это будет линейная функция y=2x–7. Вспомним, как выполняется такая задача: найти значение функции по заданному значению аргумента. Вспомнили?..

…Правильно: для этого надо данное значение аргумента подставить в формулу и произвести вычисления. Например, при x=2, значение функции равно y=2?2–7=–3.

Эту же задачу можно выполнить графическим способом. Для этого нужно: 1) построить график данной функции;

2) отметить на оси абсцисс значение 2;

y

1

3) получить на графике точку с отмеченной абсциссой 2;

2

1

x

0

3,5

4) найти ординату полученной в п.3 точки.

–3

Для любой другой функции задача нахождения значения функции по заданному значению аргумента решается аналогично.

–7

А теперь вспомним, как решается обратная задача по нахождению значения

аргумента при заданном значении функции. В нашем примере с линейной функцией y=2x–7 это происходит по следующему алгоритму: в формулу, задающую данную функцию подставляют заданное значение функции и решают полученное уравнение с переменной х. Например, при у=–5 ? 2x–7=–5 ? х=1.

Эту же задачу можно выполнить графическим способом. Для этого нужно: 1) построить график данной функции;

2) отметить на оси ординат значение –5;

3) получить на графике точку с отмеченной ординатой –5;

y

1

1

1

x

4) найти абсциссу полученной в п.3 точки.

0

3,5

Для любой другой функции задача нахождения значения аргумента по заданному значению функции решается аналогично.

–5

–7

y=2x–7

Однако, при решении обратной задачи можно поступить по-другому. Для этого составляют обратную зависимость, считая заданное значение данной функции аргументом этой зависимости. Сделать это можно двумя способами:

Выразить из формулы данной функции х через у. В нашем случае: y=2x–7 ? 2х=у+7 ? х=0,5у+3,5. А теперь записать эту зависимость, как новую функцию, в привычном для нас виде: у=0,5х+3,5. Или

2) Поменять в формуле данной функции х и у. В нашем случае: y=2x–7 ? х=2у–7. А теперь записать эту зависимость, как новую функцию, в привычном для нас виде, выразив у через х : 2у=х+7 ? у=0,5х+3,5.

D(y) - область определения.

E(y) - область значений.

Умножить на 2 и вычесть 7

Прибавить 7 и разделить на 2.

D(y) - область определения

E(y) - область значений

Таким образом, мы получили обратную для функции y=2x–7 зависимость,

которая является в свою очередь также функцией у=0,5х+3,5. С помощью обратной функции мы можем решать обратную задачу по нахождению значения аргумента при заданном значении данной функции. Только для обратной функции это заданное значение функции является аргументом! Значит, для у=х=–5 ? у=0,5?(–5)+3,5=1.

Примечание 1. Если для данной функции можно составить обратную зависимость, являющуюся также функцией, то говорят , что данная функция обратима и обратная зависимость является обратной функцией.

Примечание 2. Если функция y=f(x) является обратимой и y=g(x) – обратная для неё функция, то: 1) D(f)=E(g) и E(f)=D(g); 2) f(g(х))=g(f(х))=x.

Примечание 3. Графики данной и обратной для неё функций симметричны относительно прямой у=х.

y=x

В рассмотренном нами случае: f(x)=2x–7 и g(x)=0,5у+3,5 – обратные функции.

y

g(x)=0,5x+3,5

1

1

x

0

f(x)=2x–7

E(y)

D(y)

y=x

Чтобы обратная для данной функции зависимость была также функцией необходимо и достаточно, чтобы каждое свое значение функция принимала только при одном значении аргумента. Значит, чтобы функция была обратимой, данная функция должна быть монотонно возрастающей или монотонно убывающей на всей своей области определения.

y

3

9

–3

1

x

0

1

y=x

y

0

x

Рассмотрим теперь знакомую Вам тригонометрическую функцию y=sinx

На всей области определения (x??) она обратимой не является (самостоятельно объясните почему). Выберем ближайший к началу отсчета промежуток возрастания данной функции – отрезок . На данном промежутке функция обратима и обратной для неё является функция:

Теперь перед нами стоит задача выразить эту зависимость в привычном для нас виде, т.е. y через x. Это можно сделать с помощью нового для Вас понятия – arcsinx, т.е.

Правильно: arcsin0,1.

Читают – «арксинус числа икс».

А теперь ответьте на вопрос: синус какого угла равен 0,1?...

Итак, если D(sin)= и E(sin)=[–1; 1], то D(arcsin)=[–1; 1] и E(arcsin)=

. К тому же, зная график функции y=sinx и свойство графиков взаимно обратных функций, нетрудно получить график функции y=arcsinx.

y=x

y

y=arcsinx

y=sinx

1

?1

x

0

1

?1

y=x

Аналогично можно ввести понятие арккосинуса числа.

y

y=arccosx

1

x

0

?1

?1

y=cosx

a

1

0

–1

arccosa

Дадим теперь определение двум оставшимся обратным тригонометрическим функциям y=arctgx и y=arcctgx.

Задание. Заполните предложенную таблицу:

y=x

y=x

y

y

1

y=arctgx

1

y=arcctgx

x

0

x

0

–1

–1

y=ctgx

y=tgx

Тригонометрические функции связаны между собой различными

тригонометрическими формулами (например, sin2x+cos2x=1). Обратные тригонометрические функции также связаны друг с другом. Полезно вывести и помнить следующие тождества:

При a>0,

Понятие об обратных тригонометрических функциях позволяет нам решать тригонометрические уравнения и неравенства. Но это уже тема нового урока!