Презентация на тему «Предел и непрерывность функции»

Предел и непрерывность функции

Замечательные пределы

I. Первый замечательный предел

Доказательство:

Обозначим

M

C

1

x

0

B

A

M

C

1

x

0

B

A

M

C

1

x

0

B

A

На основании теоремы о пределах

На основании теоремы о пределах (7)

M

C

1

x

0

B

A

Вычисление пределов функций

Вычислить

Вычисление

Вычисление пределов функций

2) Вычислить

Замечательный предел

II. Второй замечательный предел

Теорема 1. Переменная величина при n?? имеет предел, заключенный между 2 и 3.

Определение

Предел переменной величины при n?? называется числом е: Из теоремы 1 и определения следует, что Число е- иррациональное : е=2,7182818284…

Теорема

Теорема 2. Функция при х?? имеет предел, равный числу е.

Доказательство:

1) пусть х?+?

Если х

? , то и n??.

2) пусть х

-?. Введем При t?+? ,будет х?-?.

На основании теоремы о пределах (7):

Теорема доказана

y

e

1

0

x

-1

Если , то при х

? имеем ??0 . Тогда

Вычисление пределов

Вычисление пределов функций

Вычислить

Х=2t

Вычисление пределов функций

Вычислить пусть х=2t, тогда

Механика

Экспонента (exponential function)

Механика (теория колебаний) электротехника радиотехника радиохимия и т.Д.

Непрерывность функции

Пример 1.

Если х?1, то f(x)?f(1)=1

Если х?4, то f(x)?f(4)=6

Если х?3?

Если х?3-, то f(x)?3

Если х?3+, то f(x)?5

Функция в точке х=3 претерпевает разрыв.

y

6

5

3

1

1

3

4

x

0

Пример 2

Если х?3-, то f(x)?f(3)=9

Если х?3+, то f(x)?f(3)=9

Функция f(x) в точке х=3 непрерывна.

y

9

x

0

3

Функция

Определение 1.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если (функция непрерывна в точке х0, если предел функции при х?х0 равен значению функции от предела аргумента). Если равенство не выполняется, то говорят, что функция f(x) в точке х=х0 имеет разрыв.

Непрерывность

Исследовать данную функцию на непрерывность

Для х1=0:

Функция f(x) в точке х1=0 имеет разрыв.

Х2=2

Для х2=2:

Функция f(x) в точке х2=2 непрерывна.

Т.Е.

y

1

x

0

2

Функция непрерывна

так как , то Если функция непрерывна, то при отыскании её предела можно вместо аргумента подставить его предельное значение.

Вычислить предел функции:

Приращение функции

Определение 2.

Функция f(x) называется непрерывной, если бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое же приращение функции

Приращение аргумента

Приращение функции

y

y=f(x)

f(x)=f(x0+?x)

f(x0)

x

0

x0

x=x0+?x

?y

?x

Сравнение бесконечно малых

Пусть при х?х0 функции ?(х)?0 и ?(х)?0. Тогда:

1) если , то ?(х) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем ?(х). (?(х) имеет более высокий порядок малости, чем ?(х))

Пример

Пусть ?(х) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем ?(х).

Функции

Если , то ?(х) и ?(х) называются бесконечно малыми одного порядка .

Пример. Функции sin3x и sinx являются при х?0 бесконечно малыми одного порядка, т.к.

Sinx

Если , то ?(х) и ?(х) называются эквивалентными бесконечно малыми. (?(х)? ?(х))

Пример. Функции sinx и x являются при х?0 эквивалентными бесконечно малыми (sinx?x) , т.к.

Ln(1+x)

Пример. Функции ln(1+x) и x являются при х?0 эквивалентными бесконечно малыми (ln(1+x)?x) , т.к.

1-cosx

Если , то ?(х) называется бесконечно малой n-го порядка относительно ?(х)

Пример. Функция 1-cosx является при х?0 бесконечно малой второго порядка малости по отношению к бесконечно малой x , т.к.

Правила сравнения

Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения.

Пример. Функция является при х?? бесконечно большой более низкого порядка, чем , т.к.

Примеры эквивалентных бесконечно малых функций:

sin x ~ x

ln(1+x) ~ x

tan x ~ x

e x-1 ~ x

a x-1 ~ x lna

arcsin x ~ x

1-cos x ~ x2/2

arctan x ~ x

Найти предел

Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции: