Предел и непрерывность функции одной переменной

Предел и непрерывность функции одной переменной

Понятие функции

y = f(x)

Функцией называется отношение , при котором каждому элементу множества X

Соответствует единственный элемент множества Y

Х – область определения функции; x – аргумент;

-Множество значений функции.

Равенство функций

Функции f и g равны, если 1) области определения совпадают; 2)

Пример:

1. Последовательность

(«Эн-факториал»)

2.

Примеры.

3.

4.

Наибольшее целое число, не превосходящее x:

Аналитическое задание функции

Явно заданные функции: пример: неявно заданные функции: пример: параметрически заданные функции: пример:

Область определения = область существования

Примеры:

Графический способ задания функции

Функция Дирихле

Контрпример:

Табличный способ задания функции

Элементарные свойства функций

Монотонность; четность/нечетность; периодичность; нули функции; и т.П.

Предел функции в точке

Определение (Коши)

Число А называется пределом функции f(x) в точке a , если

Для любого , которое может быть сколь угодно малым,

Найдется такое

Что при всех

Удовлетворяющих условию

Верно неравенство

1. Показать, пользуясь определением предела, что

Примеры.

Функция

Определена всюду, включая точку а=1:f(1)=5.

Геометрическая интерпретация определения предела

Число А есть предел f(x) при x, стремящемся к а, если для любой

- окрестности точки А найдется такая

- Окрестность точки а, что для любого значения x ? а, попадающего в

- Окрестность точки а, значение

Функции y=f(x) принадлежит

- окрестности точки А.

Замечание

Значение функции в точке a не влияет на предел функции в точке.

Найти

Пример 1.

Решение:

Найти

Пример 2.

Решение:

Эквивалентное определение предела по Гейне

Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к а, если для любой последовательности

.

Пример

Показать, что функция

Не имеет предела в точке x=0.

В точке x=0 не имеет предела.

Теоремы о пределах

Теорема 1(единственность предела)

Если функция f(x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

Пусть

Докажем, что

Доказательство:

Ограниченные функции

Функция y = f(x) называется ограниченной в окрестности точки a , если существует такое М >0 (М = const) и такие,что

Определение.

Теорема 2 (ограниченность функции, имеющей предел)

Если функция f(x) определена в окрестности точки a и имеет в точке a конечный предел, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Пусть

Доказательство:

Функция

Ограничена в окрестности

Предела в точке не имеет.

Пример.

Теорема 3 (переход к пределу в неравенстве)

Если для всех x из некоторой окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и каждая из функций и в точке a имеет предел, то

Теорема 4 (предел промежуточной функции)

Если для всех x из некоторой окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a,

И каждая из функций и в точке a имеют один и тот же предел A,

то функция в точке a имеет предел, равный этому же числу А.

Определение предела функции в бесконечности

Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к бесконечности,

если для любого найдется такое число М > 0, что как только

Верно неравенство

И

График функции y=f(x) асимптотически приближается к прямой y=A при

Функция

Показать, что

Пример.

Решение:

Предел функции

Понятие функции. Определение предела функции в точке. Единственность предела. Ограниченность функции, имеющей предел. Переход к пределу в неравенстве. Предел промежуточной функции. Определение предела функции в бесконечности.