Презентация на тему «Предел последовательности»

Предел последовательности

План конспекта

Определение последовательности Способы задания последовательностей Ограниченные последовательности: ограниченные сверху, снизу. Монотонные последовательности : убывающие и возрастающие. Свойства монотонности и ограниченности последовательностей yn = qn

Вопросы

Что называют последовательностью?

Определение

Функцию вида у= f(х), х € N называют числовой последовательностью (функция натурального аргумента). Обозначение: у = f(n) = уn или (уn ): у1, у2,у3,… Примеры. 1) 2,3,5,7,9,11,13,15,17,…; 2) арифметические и геометрические прогрессии, 3) 5,5,5,…-постоянная или стационарная

Вопросы

Что называют последовательностью? Какие способы задания последовательностей вам известны?

Способы задания последовательностей

? Словесный (описывается словами правило) последовательность четных чисел: 2,4,6,8,… ? Реккурентный (последующий член выражается через предыдущий) арифметическая прогрессия: a1, an+1 = an+d, где d - разность геометрическая прогрессия: b1,bn+1 = bn· q, где q- знаменатель ?Аналитический (формулой n-го члена) уn = n2 уn = C, где С=const уn = 2n

Вопросы

Что называют последовательностью? Какие способы задания последовательностей вам известны? Расскажите определение ограниченной последовательности сверху, снизу, ограниченной?

Ограниченная последовательность -ограничена и сверху и снизу Пример:

-2,3,-2,3,… М=3 или 4, m=-2 или -3

Ограниченная сверху: все ее члены не больше некоторого числа, т. е. уn ? М, М- верхняя граница Пример. -1,-4,-9,-16,… -n2,… ограничена сверху, М=-1,0,…

Ограниченная снизу: все ее члены не меньше некоторого числа, т.е. уn ? m, m- нижняя граница Пример. 1,4,9,16,… n2 ,… ограничена снизу m=1,?, …

Вопросы

Что называют последовательностью? Какие способы задания последовательностей вам известны? Расскажите определение ограниченной последовательности сверху, снизу, ограниченной? Какие последовательности называют монотонными? Дайте определение возрастающей последовательности, убывающей?

Монотонные последовательности

Возрастающая последовательность: каждый член больше предыдущего,т.е. уn+1 > уn Пример. 1,4,9,16,… n2,…

Убывающая последовательность: каждый член меньше предыдущего,т.е. уn+1 < уn Пример. -1,-4,-9,-16,…-n2,…

Вопросы

Что называют последовательностью? Какие способы задания последовательностей вам известны? Расскажите определение ограниченной последовательности сверху, снизу, ограниченной? Какие последовательности называют монотонными? Дайте определение возрастающей последовательности, убывающей? Что вам известно о последовательностях у = qn ?

yn=2n 2,4,8,16,32,…- q= Возрастающая, ограниченная снизу yn=3n -

q= ? у = qn, q>1 Вывод ?

yn=(1/2)n ?,1/4,1/8,1/16,1/32,…- q= Убывающая, ограниченная снизу, сверху, т.е. ограниченная yn=(1/3)n -? q= ? у = qn и 0<q<1 Вывод ?

Свойство 2. Если 0<q<1, то у = qn- убывает, ограничена

Свойство 1. Если q>1, то у = qn- возрастает, ограничена снизу

План конспекта

Окрестность точки Предел последовательности Формулы вычисления пределов последовательностей Свойства пределов последовательностей Правила вычисления пределов Техника вычисления пределов

Вопросы

Что такое окрестность точки a радиуса r?

Окрестность точки

интервал (a-r, a+r) –окрестность точки a радиуса r. Пример (5,9;6,1)-окрестность точки 6 радиуса 0,1 (-0,1;0,1)- окрестность точки ?

Вопросы

Что такое окрестность точки a радиуса r? Какие последовательности называют сходящимися? Пример.

Понятие сходящейся последовательности

(уn): 1,3,5,7,9,…,(2n-1),... Расходится Нет точки сгущения Нет предела

(хn): 1,1/2,1/3,1/4,1/6,…1/n,.. Сходится Точка сгущения-0 Предел последовательности-0

Вопросы

Какие последовательности называют сходящимися? Пример. Что такое окрестность точки a радиуса r? Сформулируйте определение предела последовательности?

Предел последовательности

Число b-предел последовательности (уn ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Обозначение: 1) lim уn = b или n?? 2) уn ?b

Примеры

?(Уn ):1,1/2,1/3,1/4,…,в любой окрестности 0 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то уn =1/n ?0 ? (уn ): ?,1/4,1/8,1/16,1/32,…; в любой окрестности 0 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то yn=(1/2)n ?0 ? (уn ): 2,4,8,16,32,…-нет точки около которой находятся все члены последовательности,начиная с некоторого номера, то yn=2n ?нет ? (уn ): 5,5,5,…, в любой окрестности 5 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то yn=5 ?5

Вопросы

Какие последовательности называют сходящимися? Пример. Что такое окрестность точки a радиуса r? Сформулируйте определение предела последовательности? Какие формулы пределов последовательностей вы знаете?

Формулы

1) lim 1/n = 0 n?? 2) lim qn = 0, если 0<|q|<1 n?? Если q>1, то lim qn не существует. n?? 3) lim С = С n?? 4) lim (к/nm) = 0 n??

Вопросы

Какие последовательности называют сходящимися? Пример. Что такое окрестность точки a радиуса r? Сформулируйте определение предела последовательности? Какие формулы пределов последовательностей вы знаете? Перечислите свойства сходящихся последовательностей.

? Если последовательность сходится, то только к одному пределу

? Если последовательность сходится , то она ограничена. Обратное-неверно:1,2,3,1,2,3,…-ограниченная последовательность, но она не сходится ?Теорема Вейерштрасса Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Свойства

Вопросы

Какие последовательности называют сходящимися? Пример. Что такое окрестность точки a радиуса r? Сформулируйте определение предела последовательности? Какие формулы пределов последовательностей вы знаете? Перечислите свойства сходящихся последовательностей. Перечислите правила (теоремы) вычисления пределов последовательностей.

Правила вычисления пределов

Если lim хn = b и lim уn =c , то n?? n?? 1)Предел суммы равен сумме пределов: lim (хn+ уn) = b+ c n?? 2)Предел произведения равен произведению пределов: lim (хn·уn) = b·c n?? 3)Предел частного равен частному пределов: lim (хn :уn) = b:c n?? 4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim (k· хn) = k · b n??

Вопросы

Какие последовательности называют сходящимися? Пример. Что такое окрестность точки a радиуса r? Сформулируйте определение предела последовательности? Какие формулы пределов последовательностей вы знаете? Перечислите свойства сходящихся последовательностей. Перечислите правила (теоремы) вычисления пределов последовательностей. Назовите имя выдающегося математика, именем которого названа теорема о свойстве пределов.

Карл Теодор Вейерштрасс- выдающийся немецкий математик, отец

«современного анализа» 1815-1897 г. Кратер на Луне Желающим- доклад

Техника вычисления пределов

Разберите методы вычисления пределов последовательностей по учебнику- стр.143 примеры а) - г).