Применение свойств обратных тригонометрических функций при решении уравнений и неравенств

Применение свойств обратных тригонометрических функций при решении

уравнений и неравенств

Урок в 10 академическом классе

Учитель Алтухова Ю.В.

Содержание

Слайд 3. Эпиграф Слайд 4. Из истории … Слайд 5. Виды аркфункций Слайд 6. Определения арксинуса, арккосинуса числа Слайд 7. Определения арктангенса и арккотангенса числа Слайд 8. Работаем устно. Связь арксинуса и арккосинуса одного числа Слайд 9. Работаем устно. Связь тангенса и котангенса одного числа Слайд 10. Работаем устно по определениям терминов Слайд 11. Устно. Найти значения выражений Слайд 12. Проверка домашнего задания. Доказать тождества Слайд 13. Проверка домашнего задания. Работа с графиками функций Слайд14. Графический способ решения уравнения из д/з Слайд 15. Графический способ решения Неравенства Слайд 16. Функционально-графический метод Слайд 17. Вывод формул (простейшие) Слайд 18. Формулы решения простейших уравнений Слайд 19. Решаем устно простейшие ур-я

Слайд 20. Проверочный диктант.. Слайд 21. «Ключ» к диктанту Слайд 22. Основные виды уравнений в ШКА Слайд 23. Методы решения уравнений (нер-в) Слайд 24. Пример решения неравенства ФГМ Слайд 25. Пример 2 Слайд 26. Алгоритм решения неравенства ФГМ Слайд 27. Специальные методы решения Слайд 28. График функции y=arcsin x Слайд 29. График функции y=arccos x Слайд 30. График функции y=arctg x Слайд 31. График функции y=arcctg x Слайд 32. Свойства одноименных монот. функций Слайд 33. (неравенств) Слайд 34. Пример решения уравнения Слайд 34. Пример решения неравенства Слайд 35. Дидактический материал. Решите уравнения (неравенства) Слайды 36-38. Д/з: доказать тождества Слайд 40. Методы решения. По определению. Слайд 41. Функционально.-графический Слайд 42. Применим тождества Слайд 43. Свойства одноименных функций Слайд 44. Сведение к квадратному Слайд 45. Тригоном. функция обеих частей Слайд 46. Оценка обеих частей

«Функция, как правило, определяется для тех значений аргумента, какие

для данной задачи представляют реальное значение» Хинчин А.Я.

Обратные тригонометрические функции широко используются в

математическом анализе. Одной из первых функций, для которых было получено представление бесконечным степенным рядом, была функция у=arctgx. Из этого ряда Г.Лейбниц при фиксированном значении аргумента х=1 получил знаменитое представление числа бесконечным рядом:

Содержание

Обратные тригонометрические функции

Содержание

Определение

arcsin a =

arccos a =

Cлед. Слайд

Содержание

Определение

arctg a =

arcctg a =

Cлед. Слайд

Содержание

Работаем устно

Cлед. Слайд

Содержание

Работаем устно

Cлед. Слайд

Содержание

Работаем устно

Имеет ли смысл выражение?

Содержание

Cлед. Слайд

Работаем устно

Найдите значения выражений:

Справка

Cлед. Слайд

Содержание

Проверяем домашнее задание

Cлед. Слайд

Содержание

Проверяем домашнее задание

А)

Б)

Cлед. Слайд

Содержание

Графический метод решения уравнений (пример 1)

Решите графически уравнение

3) Находим абсциссы точек пересечения графиков (значения берутся приближенно). 4)Записываем ответ.

Ответ.1.

.

Содержание

Графический метод решения неравенств (пример 1)

Решите графически неравенство

3) Находим абсциссы точек пересечения графиков (приближенно) 4) Определяем промежуток, на котором график первой функции лежит не выше графика второй (в данном случае) 5) Записываем ответ.

Cлед. Слайд

Содержание

Функционально-графический метод решения уравнений

Пример: решите уравнение

Решение.

3). Уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня. 4). Подбором находим, что x=0. Ответ. 0.

Cлед. Слайд

Для неравенств

Содержание

Попробуйте решить функционально-графическим методом уравнение

А проще?

По определению:

Так как…

Cлед. Слайд

Содержание

Простейшие уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции

arcsinx=t

arccosx=t

arctgx=t

arcctgx=t

Виды

Методы

Cлед. Слайд

Содержание

Работаем устно

Cлед. Слайд

Содержание

Методы

Решаем простейшие…

Вариант 1

Вариант 2

Cлед. Слайд

Содержание

Проверьте себя

Вариант 1 Вариант 2

Cлед. Слайд

Содержание

Виды уравнений

Целые уравнения Дробно-рациональные Иррациональные Тригонометрические Уравнения, содержащие переменную под знаком обратной тригонометрической функции Показательные Логарифмические

Cлед. Слайд

Содержание

Распознать

Методы решения уравнений (неравенств)

Основные

Графический

Специальные

Функционально- графический

Применяем определение

Примени тождество Примени свойства одноименных монотонных функций Сведи к квадратному Возьми удобную тригонометрическую функцию обеих частей Оцени обе части

К простейшим, теория

Cлед. Слайд

Содержание

Практика

Решить неравенство, используя функционально-графический метод

1) Решение.

1.

2.

3. Уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня

4. Подбором x=0

5. Строим схематически графики через точку с абсциссой 0

Содержание

Решить неравенство, используя функционально-графический метод

1) Решение.

3. Уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня

5. Строим схематически графики через точку с абсциссой 1/2

Содержание

Функционально-графический метод решения неравенства f(x) < g(x)

1. Подбором найдем корень уравнения f(x)=g(x), используя свойства монотонных функций;

2. Построим схематически графики обеих функций, проходящие через точку с найденной абсциссой;

3. Выберем решение неравенства, соответствующее знаку неравенства;

4. Запишем ответ.

Содержание

:

Специальные методы решения уравнений (неравенств)

Используй тождества для обратных тригонометрических функций Выполни замену, сведи к алгебраическому «Возьми удобную функцию» обеих частей уравнения (неравенства) Используй свойства монотонности одноименных функций Оцени обе части уравнения (неравенства)

Методы

Содержание

У = arcsinx

Содержание

У=arccos x

Содержание

У=arctgx

Содержание

У=arcctgx

Содержание

Применение свойств одноименных монотонных функций к решению уравнений

=

Содержание

>

>

>

>

>

>

>

>

Применение свойств одноименных монотонных функций к решению неравенств

Содержание

Решение уравнений с помощью свойств одноименных монотонных функций

Пример:

Решение.

1)Функция у=arcsin t монотонна для поэтому каждое свое значение она принимает при единственном значении аргумента, значит,

Ответ. 0

Содержание

Решение неравенств с помощью свойств одноименных монотонных функций

Пример:

Решение.

2)Функция у=arcsin t монотонно возрастает на D, поэтому исходное неравенство на D равносильно неравенству того же знака, то есть

Содержание

Решите уравнения

Содержание

Методы

Задание №1

Доказать тождества

К дом. заданию

Содержание

Доказать тождества

К дом. заданию

Содержание

Задание № 2. Используя тождества 5-25, составить новые, верные на ОДЗ,

например: имеем тождество

Тогда тождество

также верно на ОДЗ.

К дом. заданию

Содержание

Методы решения уравнений (неравенств), содержащих обратные

тригонометрические функции (Поменяйте знак «=» на знак

I . Используем определение

И решите полученное неравенство)

Содержание

II

Используем функционально- графический метод

Содержание

III

Применим тождество

Содержание

IV

Используем свойства одноименных монотонных функций (не забудьте учесть ОДЗ!)

Содержание

V. Сведем к квадратному (алгебраическому)

Содержание

VI

Возьмем «удобную тригонометрическую функцию» обеих частей уравнения (неравенства)

Содержание

VII

Оценим обе части

Содержание

Решите уравнения

Определи вид уравнения

Виды

Содержание

Методы решения уравнений (неравенств)

Основные

Графический

Специальные

Функционально- графический

Применяем определение

Примени тождество Примени свойства одноименных монотонных функций Сведи к квадратному Возьми удобную тригонометрическую функцию обеих частей Оцени обе части

К простейшим, теория

Cлед. Слайд

Содержание

Практика

Простейшие уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции

arcsinx=t

arccosx=t

arctgx=t

arcctgx=t

Виды

Методы

Содержание

Свойства аркфункций

Назад

Содержание

Спасибо за урок

Успехов в дальнейшем изучении тригонометрии!

Содержание

Об авторе

Презентацию подготовила учитель математики Брянского городского лицея №1 имени А.С.Пушкина Алтухова Юлия Вячеславна